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普宁勤建中学2016-2017学年度高一第二学期第一次月考数学试题注意事项
1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号第Ⅱ卷必须用
0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答,答案无效
3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.命题“”的否定是A.B.C.D.
2.已知向量,则下列与共线的向量A.B.C.D.
3.抛物线的焦点到其准线的距离为A.B.C.D.
4.与双曲线有相同的渐近线的双曲线E的离心率为A.B.C.或D.或
5.时“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.平面内到轴于与到轴的距离之和为1的点的轨迹围成的图形的面积为A.1B.2C.3D.
47.若为假命题,为真命题,则的真假为A.假且假B.假,真或假C.真且假D.真,真或假
8.如图,已知向量均为单位向量,且两两夹角均为,分别为的中点,则向量等于A.B.C.D.
9.已知,若三向量共面,则的值为A.1B.2C.3D.
410.已知分别为双曲线的左、右焦点,P为C右支上一点,且,则外接圆的半径为A.B.C.D.
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosB=4csinC﹣bcosA,则cosC= .14.当x∈R时,一元二次不等式x2﹣kx+1>0恒成立,则k的取值范围是 .15.若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是 .16.已知实数x,y满足,若z=ax+y有最大值7,则实数a的值为 .
三、解答题(共5小题,满分60分)17.已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别是棱B1C1,C1D1的中点.(I)求AD1与EF所成角的大小;(II)求AF与平面BEB1所成角的余弦值.18.已知数列{an}满足a2=,且an+1=3an﹣1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式以及数列{an}的前n项和Sn的表达式;
(2)若不等式≤m对∀n∈N*恒成立,求实数m的取值范围.19.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足=.(I)求C的值;(II)若=2,b=4,求△ABC的面积.20.已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC=CC1=AB,E是线段CC1的中点,连接AE,B1E,AB1,B1C,BC1,得到的图形如图所示.(I)证明BC1⊥平面AB1C;(II)求二面角E﹣AB1﹣C的大小.21.已知椭圆C+=1(a>b>0)过点(,﹣),且离心率为.(I)求椭圆C的标准方程;(II)若点A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆C上的亮点,且x1≠x2,点P(1,0),证明△PAB不可能为等边三角形. 请考生从
22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分22.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(I)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(II)直线l的参数方程为(t为参数),α为直线l的倾斜角,l与C交于A,B两点,且|AB|=,求l的斜率.23.已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;数学参考答案BCDCABBADD13..14.﹣2<k<2. 15.. 16.﹣17.解(I)建立如图所示的坐标系,D(0,0,0),A(1,0,0),E(0,,1),F(,1,1),D1(0,0,1),=(﹣1,0,1),=(,,0),设AD1与EF所成角为α,∴cosα=||=,∴AD1与EF所成角的大小为60°;(II)=(0,0,1),=(﹣1,﹣,1),设平面BEB1的法向量为=(x,y,z),则,取=(1,﹣2,0),∵=(﹣,1,1),∴AF与平面BEB1所成角的正弦值为||=,∴AF与平面BEB1所成角的余弦值为. 18.解
(1)∵an+1=3an﹣1(n∈N*),∴an+1﹣=3(an﹣),∴数列是等比数列,首项为3,公比为3.∴an﹣=3×3n﹣1=3n,∴an=+3n,∴Sn=+=.
(2)不等式≤m,化为≤m,∵=单调递减,∴m≥=.∴实数m的取值范围是. 19.解(I)∵=.∴=,由正弦定理可得,可得tanC=,∴C=.(II)∵C=,=2,b=4,∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC,可得(2a)2=a2+
(4)2﹣2×,整理可得a2+4a﹣16=0,解得a=2﹣2,∴S△ABC=absinC=(2﹣2)××=2﹣2. 20.证明(Ⅰ)∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC=CC1=AB,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,设AC=BC=CC1=AB=1,则B(0,1,0),C1(0,0,1),A(1,0,0),B1(0,1,1),C(0,0,0),=(0,﹣1,1),=(﹣1,1,1),=(﹣1,0,0),=(﹣1,0,1),∴•=0,=0﹣1+1=0,∴BC1⊥AC,BC1⊥AB1,∵AC∩AB1=A,∴BC1⊥平面AB1C.解(Ⅱ)∵BC1⊥平面AB1C,∴=(0,﹣1,1)是平面AB1C的法向量,E(0,,0),=(﹣1,0,),设平面AB1E的法向量=(x,y,z),则,取x=1,得=(1,﹣1,2),设二面角E﹣AB1﹣C的大小为θ,则cosθ===,∴θ=30°.∴二面角E﹣AB1﹣C的大小为30°. 21.(I)解由题意,得,解得.∴椭圆C的标准方程为;(II)证明证明A(x1,y1),则,且x1∈[﹣,],|PA|===,B(x2,y2),同理可得|PB|=,且x2∈[﹣,].y=在[﹣,]上单调,∴有x1=x2⇔|PA|=|PB|,∵x1≠x2,∴|PA|≠|PB|,∴△PAB不可能为等边三角形. 请考生从
22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分22.解(Ⅰ)∵在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25,∴x2+y2+12x+11=0,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,∴C的极坐标方程为ρ2+ρcosθ+11=0.(Ⅱ)∵直线l的参数方程为(t为参数),α为直线l的倾斜角,∴直线l的直角坐标方程为=0,∵l与C交于A,B两点,且|AB|=,∴圆心(﹣6,0)到直线l的距离d==,解得cosα=,当cosα=时,l的斜率k=tanα=2;当cosα=﹣时,l的斜率k=tanα=﹣2. 23.解
(1)当a=2时,f(x)=|2x﹣2|+2,∵f(x)≤6,∴|2x﹣2|+2≤6,|2x﹣2|≤4,|x﹣1|≤2,∴﹣2≤x﹣1≤2,解得﹣1≤x≤3,∴不等式f(x)≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}.
(2)∵g(x)=|2x﹣1|,∴f(x)+g(x)=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3,2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3,|x﹣|+|x﹣|≥,当a≥3时,成立,当a<3时,|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥>0,∴(a﹣1)2≥(3﹣a)2,解得2≤a<3,∴a的取值范围是[2,+∞).。