2017版高考数学一轮总复习第8章立体几何初步第二节空间几何体的表面积与体积AB卷文新人教A版

【大高考】2017版高考数学一轮总复习第8章立体几何初步第二节空间几何体的表面积与体积AB卷文新人教A版

1.2016·新课标全国Ⅱ，4体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为　　A.12πB.πC.8πD.4π解析　由题可知正方体的棱长为2，其体对角线2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝2R2π＝12π，故选A.答案　A

2.2016·新课标全国Ⅱ，7如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为　　A.20πB.24πC.28πD.32π解析　由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧＝×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.答案　C

3.2016·新课标全国Ⅲ，10如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为　　A.18＋36B.54＋18C.90D.81解析　由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3，3，，几何体的表面积S＝3×6×2＋3×3×2＋3××2＝54＋

18.答案　B

4.2015·新课标全国Ⅰ，11圆柱被一个平面截去一部分后与半球半径为r组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝　　A.1B.2C.4D.8解析　由题意知，2r·2r＋·2πr·2r＋πr2＋πr2＋·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，∴r＝

2.答案　B

5.2015·新课标全国Ⅱ，10已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为　　A.36πB.64πC.144πD.256π解析　如图，要使三棱锥OABC即COAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥COAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VOABC最大＝VCOAB最大＝×S△OAB×R＝××R2×R＝R3＝36，所以R＝6，得S球O＝4πR2＝4π×62＝144π.选C.答案　C

6.2013·新课标全国Ⅰ，15已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________.解析　平面α截球O所得截面为圆面，圆心为H，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2得OH＝R，由圆H的面积为π，得圆H的半径为1，所以2＋12＝R2，得出R2＝，所以球O的表面积S＝4πR2＝4π·＝.答案　

7.2013·新课标全国Ⅱ，15已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________.解析　如图所示，在正四棱锥OABCD中，VOABCD＝×S正方形ABCD·|OO1|＝×2×|OO1|＝，∴|OO1|＝，|AO1|＝，在Rt△OO1A中，OA＝＝＝，即R＝，∴S球＝4πR2＝24π.答案　24π　

8.2016·新课标全国Ⅲ，11在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是　　A.4πB.C.6πD.解析　由题意知，底面三角形的内切圆直径为

4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.答案　B

9.2016·新课标全国Ⅰ，7如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是　　A.17π　　　　　　B.18πC.20πD.28π解析　由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球被过球心O且互相垂直的三个平面切掉左上角的后得到的组合体，其表面积是球面面积的和三个圆面积之和，易得球的半径为2，则得S＝×4π×22＋3×π×22＝17π，故选A.答案　A

10.2015·新课标全国Ⅰ，6《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”其意思为“在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为

1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有　　A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛解析　由题意知米堆的底面半径为尺，体积V＝×πR2·h＝立方尺.所以堆放的米大约为≈22斛.答案　B

11.2015·新课标全国Ⅱ，6一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为　　A.　　　　B.C.D.解析　如图，由题意知，该几何体是正方体ABCDA1B1C1D1被过三点A、B

1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥AA1B1D1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为＝＝.选D.答案　D

12.2014·新课标全国Ⅱ，7正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为　　A.3B.C.1D.解析　由题意可知AD⊥BC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面DB1C1，又AD＝2·sin60°＝，所以VAB1DC1＝AD·S△B1DC1＝×××2×＝1，故选C.答案　C

13.2013·新课标全国Ⅰ，11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　A.16＋8πB.8＋8πC.16＋16πD.8＋16π解析　由三视图分析可知，几何体由底面半径为2，高为4的半圆柱和长、宽、高分别为2，4，2的长方体组合而成，V＝×4×4π＋2×4×2＝16＋8π，由三视图准确得出几何体的形状是解题的关键.答案　A

14.2015·新课标全国Ⅱ，19如图，长方体ABCDA1B1C1D1中AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝

4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.1在图中画出这个正方形不必说明画法和理由；2求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解　1交线围成的正方形EHGF如图2作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝

8.因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝

10.于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝

6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为也正确.

1.2015·安徽，9一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是　　A.1＋B.1＋2C.2＋D.2解析　由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示.∴其表面积S表＝2××2×1＋2××2＝2＋，故选C.答案　C

2.2014·陕西，5将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是　　A.4πB.3πC.2πD.π解析　由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.答案　C

3.2014·山东，13一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.解析　由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则×6××22×h＝2，解得h＝1，底面正六边形的中心到其边的距离为，故侧面等腰三角形底边上的高为＝2，故该六棱锥的侧面积为×12×2＝

12.答案　

124.2016·山东，5一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为　　A.＋πB.＋πC.＋πD.1＋π解析　由三视图知，半球的半径R＝，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V＝×1×1×1＋×π×＝＋π，故选C.答案　C

5.2015·山东，9已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为　　A.B.C.2πD.4π解析　如图，设等腰直角三角形为△ABC，∠C＝90°，AC＝CB＝2，则AB＝

2.设D为AB中点，则BD＝AD＝CD＝.∴所围成的几何体为两个圆锥的组合体，其体积V＝2××π×2×＝.答案　B

6.2015·湖南，10某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为材料利用率＝新工件的体积/原工件的体积　　A.B.C.D.解析　欲使正方体最大，则其上底面四个顶点需在圆锥上.圆锥体积V1＝π×12×2＝π.作几何体截面图，则内接正方体棱长a＝.∴正方体体积V2＝a3＝＝，∴＝×＝.故选A.答案　A

7.2014·重庆，7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　A.12B.18C.24D.30解析　此几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的，三棱柱和三棱锥的底面都是直角三角形，两直角边长分别为3和4，其面积为6，三棱柱的高为5，三棱锥的高为3，所以该几何体的体积为6×5－×6×3＝24，选择C.答案　C

8.2016·浙江，9某几何体的三视图如图所示单位cm，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm

3.解析　由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为2cm，下面长方体是底面边长为4cm，高为2cm，其直观图如右图其表面积S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80cm

2.体积V＝2×2×2＋4×4×2＝40cm

3.答案　80　

409.2016·四川，12已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.解析　由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图，由正、俯视图可知，△ABC为等腰三角形，且AC＝2，AC边上的高为1，∴S△ABC＝×2×1＝.由侧视图可知三棱锥的高h＝1，∴VSABC＝S△ABCh＝.答案　

10.2016·北京，11某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________.解析　由三视图知该四棱柱为直四棱柱，底面积S＝＝，高h＝1，所以四棱柱体积V＝S·h＝×1＝.答案　

11.2015·四川，14在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是________.解析　由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，∵VPA1MN＝VA1PMN，又∵AA1∥平面PMN，∴VA1PMN＝VAPMN，∴VAPMN＝××1××＝，故VPA1MN＝.答案　

12.2015·湖南，18如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点.1证明平面AEF⊥平面B1BCC1；2若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积.1证明　∵△ABC为正三角形，E为BC中点，∴AE⊥BC，∴又B1B⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴B1B⊥AE，∴由B1B∩BC＝B知，AE⊥平面B1BCC1，又由AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC

1.2解　设AB中点为M，连接CM，则CM⊥AB，由平面A1ABB1⊥平面ABC且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB知，CM⊥面A1ABB1，∴∠CA1M即为直线A1C与平面A1ABB1所成的角.∴∠CA1M＝45°，易知CM＝×2＝，在等腰Rt△CMA中，AM＝CM＝，在Rt△A1AM中，A1A＝＝.∴FC＝A1A＝，又S△AEC＝××4＝，∴V三棱锥FAEC＝××＝.

13.2014·广东，18如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝

2.作如图2折叠折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.1证明CF⊥平面MDF；2求三棱锥MCDE的体积.1证明　∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，且PD∩CD＝D，∴AD⊥平面PCD，∵CF⊂平面PCD，∴AD⊥CF，又MF⊥CF，MF∩AD＝M，∴CF⊥平面MDF.2解　∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD，又CD＝AB＝1，PC＝2，∴PD＝.由1知CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF.∴由S△PCD＝PD×CD＝PC×DF得DF＝，∴CF＝＝，∵EF∥CD，∴＝，∴DE＝×DP＝.∴S△CDE＝CD×DE＝×1×＝.∵AD⊥平面PCD，即MD⊥平面CDE，且ME＝PE＝PD－ED＝，∴MD＝＝＝，∴三棱锥MCDE的体积为VMCDE＝S△CDE×MD＝××＝.PAGE12。