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【大高考】2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第4节双曲线及其性质模拟创新题理
一、选择题
1.2016·山东青岛模拟已知双曲线-=1a0,b0的一条渐近线平行于直线l x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析 由题意知=,c=5,所以a2=20,b2=5,则双曲线的方程为-=1,故选A.答案 A
2.2015·河南开封模拟已知ab0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C
1、C2的离心率分别为 A.,3B.,C.,2D.,2解析 由题意知,·=,所以a2=2b2,则C
1、C2的离心率分别为e1=,e2=,故选B.答案 B
3.2014·洛阳模拟设点P是双曲线-=1a0,b0与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率为 A.B.C.D.解析 令c=,则c为双曲线的半焦距长.据题意,F1F2是圆的直径,∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|
2.∴2c2=3|PF2|2+|PF2|2,即2c=|PF2|.根据双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|-|PF2|=3|PF2|-|PF2|=2|PF2|=2a.∴e==,∴双曲线的离心率为.答案 D
二、填空题
4.2016·四川成都模拟已知双曲线-=1a>0,b>0的一条渐近线方程为2x+3y=0,则双曲线的离心率是________.解析 由渐近线方程可设a=3k,b=2k,k>0,∴c=k,双曲线离心率为e==.答案
5.2014·广州一模已知双曲线-=1的右焦点为,0,则该双曲线的渐近线方程为______________.解析 由题意得c=,所以9+a=c2=13,所以a=
4.即双曲线方程为-=1,所以双曲线的渐近线为2x±3y=
0.答案 2x±3y=0创新导向题双曲线定义应用问题
6.P是双曲线-=1a>0,b>0的右支上的一点,F1,F2分别是左、右焦点,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为 A.aB.bC.D.a+b-解析 如图所示,F1-c,0,F2c,0,设x轴与内切圆的切点是H,PF1,PF2与内切圆的交点分别为M,N,由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PM|=|PN|,故|MF1|-|NF2|=2a,则|HF1|-|HF2|=2a,设内切圆圆心的横坐标为x,则点H的横坐标为x,故x+c-c-x=2a,解得x=a,故选A.答案 A双曲线几何性质应用问题
7.线段AB是圆C1x2+y2+2x-6y=0的一条直径,离心率为的双曲线C2以A,B为焦点,若P是圆C1与双曲线C2的一个公共点,则|PA|+|PB|= A.2B.4C.4D.6解析 圆C1的半径r==,∵AB是圆C1的直径,双曲线C2以A,B为焦点.∴双曲线的焦距2c=|AB|=
2.又P是圆与双曲线的一个公共点,∴||PA|-|PB||=2a,|PA|2+|PB|2=40,∴|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|=4a2,∵c=,e==,∴a=,∴2|PA||PB|=32,∴|PA|2+|PB|2+2|PA|·|PB|=|PA|+|PB|2=72,∴|PA|+|PB|=
6.故选D.答案 D专项提升测试模拟精选题
一、选择题
8.2015·青岛一中月考已知椭圆C1+=1ab0与双曲线C2x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则 A.a2=B.a2=13C.b2=D.b2=2解析 由题意知,a2=b2+5,因此椭圆方程为a2-5x2+a2y2+5a2-a4=0,双曲线的一条渐近线方程为y=2x,联立方程消去y,得5a2-5x2+5a2-a4=0,∴直线截椭圆的弦长d=×2=a,解得a2=,b2=.答案 C
二、填空题
9.2016·豫晋冀三省调研已知双曲线C的中心在原点,且左、右焦点分别为F
1、F2,以F1F2为底边作正三角形,若双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点,则双曲线C的离心率为________.解析 设以F1F2为底边的正三角形与双曲线C的右支交于点M,连接MF1,则在Rt△MF1F2中,有|F1F2|=2c,|MF1|=c,|MF2|=c,由双曲线的定义知|MF1|-|MF2|=2a,即c-c=2a,所以双曲线C的离心率e===+
1.答案 +
110.2016·广东茂名模拟已知抛物线y2=4x与双曲线-=1a>0,b>0有相同的焦点F,O是坐标原点,点A、B是两曲线的交点,若+·=0,则双曲线的实轴长为________.解析 抛物线y2=4x与双曲线-=1有相同的焦点F1,0,由+·=0知AF⊥x轴,不妨设A点在第一象限,则A点坐标为1,
2.设双曲线的左焦点为F′,则|FF′|=
2.由勾股定理得|AF′|=
2.由双曲线定义知2a=|AF′|-|AF|=2-
2.答案 2-
211.2016·湖南常德3月模拟已知双曲线-=1a>0,b>0的左顶点为M,右焦点为F,过F的直线l与双曲线交于A,B两点,且满足+=2,·=0,则该双曲线的离心率是________.解析 因为+=2,所以F为AB的中点,所以AB⊥x轴,即|AB|=,又·=0,所以MA⊥MB,所以|MF|=,所以a+c=,即c2-ac-2a2=0,所以e2-e-2=
0.解得e=
2.答案
212.2014·衡水模拟设点F
1、F2是双曲线x2-=1的两个焦点,点P是双曲线上一点,若3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积为________.解析 据题意,|PF1|=|PF2|,且|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=8,|PF2|=
6.又|F1F2|=4,在△PF1F2中,由余弦定理得,cos∠F1PF2==.所以sin∠F1PF2==,所以S△PF1F2=×6×8×=
3.答案 3
三、解答题
13.2016·重庆万州模拟已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点4,-.点M3,m在双曲线上.1求双曲线方程;2求证·=0;3求△F1MF2的面积.1解 ∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λλ≠
0.∵双曲线过点4,-,∴16-10=λ,即λ=
6.∴双曲线方程为x2-y2=
6.2证明 由1可知,在双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1-2,0,F22,
0.∴kMF1=,kMF2=,又∵点M3,m在双曲线上,∴9-m2=6,m2=
3.∴kMF1·kMF2=×=-=-
1.∴MF1⊥MF
2.∴·=
0.3解 由2知MF1⊥MF2,∴△MF1F2为直角三角形.又F1-2,0,F22,0,m=±,M3,或3,-,由两点间距离公式得|MF1|==,|MF2|==,S△F1MF2=|MF1||MF2|=×·=×12=
6.即△F1MF2的面积为
6.创新导向题双曲线中的探索性问题
14.已知双曲线E-=1a>0,b>0的两条渐近线分别为l1y=2x,l2y=-2x.1求双曲线E的离心率;2如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点A,B分别在第
一、四象限,且△OAB的面积恒为
8.试探究是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.解 1因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,从而双曲线E的离心率e==.2由1知,双曲线E的方程为-=
1.设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a,因为△OAB的面积为8,所以|OC|·|AB|=8,因此a·4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为-=
1.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为-=
1.以下证明当直线l不与x轴垂直时,双曲线E-=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,则C,记Ax1,y1,Bx2,y
2.由得y1=,同理得y2=.由S△OAB=|OC|·|y1-y2|,得·=8,即m2=4|4-k2|=4k2-
4.由得4-k2x2-2kmx-m2-16=
0.因为4-k2<0,所以Δ=4k2m2+44-k2m2+16=-164k2-m2-16,因为m2=4k2-4,所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=
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