还剩14页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
2017高考数学一轮复习第八章立体几何
8.5空间向量与立体几何课时练理时间45分钟基础组
1.[2016·枣强中学猜题]若直线l的方向向量为a=1,-1,2,平面α的法向量为u=-22,-4,则 A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交答案 B解析 因为直线l的方向向量a=1,-12与平面α的法向量u=-22,-4共线,则说明了直线与平面垂直,故选B.2.[2016·衡水中学期中]正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为 A.aB.aC.aD.a答案 A解析 =++=-++=-++++=+-,∴||===a.3.[2016·武邑中学期中]平面α的一个法向量为120,平面β的一个法向量为2,-10,则平面α和平面β的位置关系是 A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合答案 C解析 由120·2,-10=1×2+2×-1+0×0=0,知两平面的法向量互相垂直,所以两平面互相垂直.4.[2016·衡水中学期末]如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为 A.B.C.D.答案 A解析 设CB=1,则CA=CC1=2,故B001,C1020,A200,B1021,则=02,-1,=-221,cos〈,〉===,即直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.故选A.
5.[2016·冀州中学猜题]如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,B1C的中点,则EF和平面ABCD所成角的正切值为 A.B.C.D.2答案 B解析 如图,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则点C010,D1001,B1111,F,E,==001为底面的一个法向量,cos〈,〉===,所以EF和平面ABCD所成角θ的正弦值为sinθ=,∴tanθ==.故选B.6.[2016·武邑中学仿真]过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为 A.30°B.45°C.60°D.90°答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=PA=1,知A000,B100,D010,C110,P001由题意得,AD⊥平面ABP,设E为PD的中点,连接AE,则AE⊥PD,又∵CD⊥平面PAD,∴AE⊥CD,又PD∩CD=D,∴AE⊥平面CDP.∴=010,=分别是平面ABP、平面CDP的法向量,而〈,〉=45°,∴平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为45°.7.[2016·衡水中学模拟]若平面α的一个法向量为n=411,直线l的一个方向向量为a=-2,-33,则l与α所成角的正弦值为________.答案 解析 设l与α所成角为θ,则sinθ=|cos〈n,a〉|===.8.[2016·冀州中学期中]已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离是________.答案 解析 如图建立空间直角坐标系D-xyz,则A1204,A200,B1224,D1004,=-204,=024,=004,设平面AB1D1的法向量为n=x,y,z,则即解得x=2z且y=-2z,不妨设n=2,-21,设点A1到平面AB1D1的距离为d.则d==.9.[2016·衡水中学仿真]已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4,D是棱AA1的中点.如图所示.1求证DC1⊥平面BCD;2求二面角A-BD-C的大小.解 1证明按如图所示建立空间直角坐标系.由题意,可得点C000,A200,B020,D202,A1204,C1004.于是,=-202,=-20,-2,=-2,2,-2.可算得·=0,·=
0.因此,DC1⊥DC,DC1⊥DB.又DC∩DB=D,所以DC1⊥平面BDC.2设n=x,y,z是平面ABD的法向量,则又=-220,=002,所以取y=1,可得即平面ABD的一个法向量是n=110.由1知,是平面DBC的一个法向量,记n与的夹角为θ,则cosθ==-,θ=.结合三棱柱可知,二面角A-BD-C是锐角,故所求二面角A-BD-C的大小是.
10.[2016·枣强中学预测]如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,BB1=,M是线段B1D1的中点.1求证BM∥平面D1AC;2求证D1O⊥平面AB1C;3求二面角B-AB1-C的大小.解 1证明建立如图所示的空间直角坐标系,则点O110,D100,,∴=-1,-1,,又点B220,M11,,∴=-1,-1,,∴=,又∵OD1与BM不共线,∴OD1∥BM.又OD1⊂平面D1AC,BM⊄平面D1AC,∴BM∥平面D1AC.2证明连接OB1,∵·=-1,-1,·11,=0,·=-1,-1,·-220=0,∴⊥,⊥,即OD1⊥OB1,OD1⊥AC,又OB1∩AC=O,∴D1O⊥平面AB1C.3∵CB⊥AB,CB⊥BB1,∴CB⊥平面ABB1,∴=-200为平面ABB1的一个法向量.∵⊥,⊥,∴=-1,-1,为平面AB1C的一个法向量.∴cos〈,〉===,∴与的夹角为60°,即二面角B-AB1-C的大小为60°.11.[2016·冀州中学一轮检测]如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D为AC中点,AE⊥BD于点E,延长AE交BC于点F,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,如图2所示.1求证AE⊥平面BCD;2求二面角A-DC-B的余弦值;3在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC?若存在,请指明点M的位置;若不存在,请说明理由.解 1证明因为平面ABD⊥平面BCD,交线为BD,又在△ABD中,AE⊥BD于点E,AE⊂平面ABD,所以AE⊥平面BCD.2由1中AE⊥平面BCD可得AE⊥EF.由题意可知EF⊥BD,又AE⊥BD,如图,以E为坐标原点,分别以EF,ED,EA所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系E-xyz,不妨设AB=BD=DC=AD=2,则BE=ED=
1.由图1条件计算得AE=,BC=2,BF=,则E000,D010,B0,-1,0,A00,,F,C,20,=,10,=01,-.由AE⊥平面BCD可知平面DCB的法向量为,=00,,设平面ADC的法向量为n=x,y,z,则即令z=1,则y=,x=-1,所以n=-1,,1.因为平面DCB的法向量为,所以cos〈n,〉==.所以二面角A-DC-B的余弦值为.3设=λ,其中λ∈
[01].由于=,所以=λ=λ,其中λ∈
[01].所以=+=.由·n=0,即-λ+1-λ=0,解得λ=∈01.所以在线段AF上存在点M使EM∥平面ADC,且=.12.[2016·武邑中学一轮检测]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.1求证D1E⊥A1D;2当E点为AB的中点时,求点E到平面ACD1的距离;3AE为何值时,二面角D1-EC-D的大小为?解 1证明建立如图所示的空间直角坐标系,则D000,A100,A1101,B120,C020,C1021,D1001.∵E在棱AB上移动,∴设E1,a0,0≤a≤
2.∵=1,a,-1,=-10,-1,∴·=0,∴D1E⊥A1D.2设平面ACD1的法向量为m=x,y,z,点E到平面ACD1的距离为h.∵=-120,=-101,∴令y=1,则m=212.又E110,=1,-10,∴CE与平面ACD1所成角的正弦值为==,∴h=||·=.3设平面D1EC的法向量为n=x1,y1,z1,∵=1,a,-1,=02,-1,∴令y1=1,得n=2-a12.易知平面ECD的一个法向量为=001,则|cos〈n,〉|==,可得a=2-或a=2+不符合,舍去,∴当AE=2-时,二面角D1-EC-D的大小为.能力组13.[2016·武邑中学月考]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.求证1CM∥平面PAD;2平面PAB⊥平面PAD.证明 以C为坐标原点,CB为x轴,CD为y轴,CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,∴∠PBC=30°,∵PC=2,∴BC=2,PB=4,∴D010,B2,00,A2,40,P002,M,∴=0,-12,=2,30,=.1设n=x,y,z为平面PAD的一个法向量,由得令y=2,得n=-,21.∵n·=-×+2×0+1×=0,∴n⊥.又CM⊄平面PAD,∴CM∥平面PAD.2如图,取AP的中点E,连接BE,则E,21,=-,21.∵PB=AB,∴BE⊥PA.又∵·=-,21·2,30=0,∴⊥,∴BE⊥DA.又PA∩DA=A,∴BE⊥平面PAD.又∵BE⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.14.[2016·衡水中学热身]在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1为矩形,AB=1,AA1=,D为AA1的中点,BD与AB1交于点O,CO⊥侧面ABB1A
1.1证明BC⊥AB1;2若OC=OA,求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值.解 1证明由题意tan∠ABD==,tan∠AB1B==,注意到0∠ABD,∠AB1B,所以∠ABD=∠AB1B.所以∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1=.所以AB1⊥BD.又CO⊥侧面ABB1A1,所以AB1⊥CO.又BD与CO交于点O,所以AB1⊥面CBD.又因为BC⊂面CBD,所以BC⊥AB
1.2如图,分别以OD,OB1,OC所在的直线为x轴、y轴、z轴,以O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz,则A,B,C,B1,D.又因为=2,所以C
1.所以=,=,=.设平面ABC的法向量为n=x,y,z,则根据·n=0,·n=0可得n=1,,-是平面ABC的一个法向量,设直线C1D与平面ABC所成角为α.则sinα==.15.[2016·冀州中学期末]如图,在几何体ABC-A1B1C1中,点A1,B1,C1在平面ABC内的正投影分别为A,B,C,且AB⊥BC,AA1=BB1=4,AB=BC=CC1=2,E为AB1中点.1求证CE∥平面A1B1C1;2求二面角B1-AC1-C的大小.解 1证明由题知AA1⊥平面ABC,BB1⊥平面ABC,CC1⊥平面ABC,∴AA1∥BB1∥CC
1.如图,取A1B1中点F,连接EF,FC1,∵E为AB1中点,∴EF綊A1A.∵AA1=4,CC1=2,∴CC1綊A1A,∴EF綊CC1,∴四边形EFC1C为平行四边形,∴CE∥C1F.∵CE⊄平面A1B1C1,C1F⊂平面A1B1C1,∴CE∥平面A1B1C
1.2由题知,AB⊥BC,又BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AB,BB1⊥BC,分别以BA,BC,BB1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A200,C020,B1004,C1022,∴=-220,=002,=-204,=02,-2.设平面ACC1的法向量为m=x1,y1,z1,则m·=0,m·=0,∴,令x1=1,得m=110,设平面AB1C1的法向量为n=x2,y2,z2,则n·=0,n·=0,∴令z2=1,得∴n=211.∴cos〈m,n〉==.由图知,二面角B1-AC1-C是钝角,∴二面角B1-AC1-C的大小为150°.
16.[2016·衡水中学预测]在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,∠ABC=90°,如图
①所示,把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD,如图
②所示.1求证CD⊥AB;2若点M为线段BC的中点,求DM与平面ACD所成角的正弦值;3在线段BC上是否存在点N,使得AN与平面ACD所成的角为60°?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.解 1证明由已知条件可得,BD=2,CD=2,又BD2+CD2=BC2,∴CD⊥BD.∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,∴CD⊥平面ABD.∵AB⊂平面ABD,∴CD⊥AB.2以点D为原点,BD所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则各相关点的坐标为A101,B200,C020,D000,M110.∴=0,-20,=-10,-1,=-110,=110.设平面ACD的法向量为n=x,y,z,则⊥n,⊥n,∴令x=1,得平面ACD的一个法向量为n=10,-1.若DM与平面ACD所成的角为θ,则DM与平面ACD所成角的正弦值为sinθ=|cos〈n,〉|==.3假设在线段BC上存在点N,使得AN与平面ACD所成的角为60°.设=λ,0λ1,则N2-2λ,2λ,0,∴=1-2λ,2λ,-1.∵平面ACD的一个法向量为n=10,-1,且直线AN与平面ACD所成的角为60°,∴sin60°==,整理得8λ2+2λ-1=0,∴λ=或λ=-舍去.综上所述,在线段BC上存在点N,使AN与平面ACD所成的角为60°,此时=.PAGE16。