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2017高考数学一轮复习第六章数列
6.4数列求和、数列的综合应用课时练理 时间80分钟基础组
1.[2016·冀州中学猜题]已知等比数列{an}中的各项都是正数,且5a1,a34a2成等差数列,则= A.-1B.1C.52nD.52n-1答案 C解析 设等比数列{an}的公比为qq0,则依题意有a3=5a1+4a2,即a1q2=5a1+4a1q,q2-4q-5=0,解得q=-1或q=
5.又q0,因此q=5,所以==q2n=52n,选C.2.[2016·武邑中学仿真]已知正项等差数列{an}满足an+1+an-1=an≥2,等比数列{bn}满足bn+1bn-1=2bnn≥2,则log2a2+b2= A.-1或2B.0或2C.2D.1答案 C解析 由题意可知an+1+an-1=2an=a,解得an=2n≥2由于数列{an}每项都是正数,故an=0舍去,又bn+1bn-1=b=2bnn≥2,所以bn=2n≥2,所以log2a2+b2=log24=
2.3.[2016·衡水中学模拟]已知等比数列{an}的公比q=2,且2a4,a648成等差数列,则{an}的前8项和为 A.127B.255C.511D.1023答案 B解析 ∵2a4,a648成等差数列,∴2a6=2a4+48,∴2a1q5=2a1q3+48,解得a1=1,∴S8==
255.4.[2016·冀州中学期中]已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数,数列{bn}满足bn=lgan,b3=18,b6=12,则数列{bn}的前n项和的最大值等于 A.126B.130C.132D.134答案 C解析 ∵bn+1-bn=lgan+1-lgan=lg为常数,∴{bn}为等差数列.设公差为d,则∴由bn=-2n+24≥0,得n≤12,∴{bn}的前11项为正,第12项为零,从第13项起为负,∴S11,S12最大且S11=S12=
132.
5.[2016·衡水中学仿真]设数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,记数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn.若a5=b5,a6=b6,且S7-S5=4T6-T4,则=________.答案 -解析 由S7-S5=4T6-T4得,a6+a7=4b5+b6,又a5=b5,a6=b6,所以a6+a7=4a5+a6,所以6a1+25d=0,所以a1=-d,又q====-5,所以====-.6.[2016·枣强中学预测]已知数列{an}的通项公式为an=25-n,数列{bn}的通项公式为bn=n+k,设cn=若在数列{cn}中,c5≤cn对任意n∈N*恒成立,则实数k的取值范围是________.答案 [-5,-3]解析 cn是取an和bn中的较大值,又c5是数列{cn}中的最小项,由于函数y=25-n是减函数,函数y=n+k是增函数,所以b5≤a5≤b6或a5≤b5≤a4,即5+k≤25-5≤6+k或25-5≤5+k≤25-4,解得-5≤k≤-4或-4≤k≤-3,所以-5≤k≤-
3.7.[2016·冀州中学一轮检测]如图,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点123456的横、纵坐标分别对应数列{an}n∈N*的前12项如下表所示,按如此规律下去,则a2011+a2012+a2013=________.a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6答案 1007解析 由a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4可知,这个数列的规律是奇数项为1,-12,-23,-3,…,偶数项为123,…,故a2011+a2013=1,a2012=1006,故a2011+a2012+a2013=
1007.8.[2016·武邑中学一轮检测]等差数列{an}的前n项和记为Sn,若S4≥4,S7≤28,则a10的最大值为________.答案 16解析 ∵等差数列{an}的前n项和为Sn,S4≥4,S7≤28,∴即∴∴≤a10≤4+6d,∴≤4+6d,解得d≤2,∴a10≤4+6×2=
16.
9.[2016·武邑中学月考]已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,若对任意的正整数n,不等式S2n-Sn恒成立,则常数m所能取得的最大整数为________.答案 5解析 要使S2n-Sn恒成立,只需S2n-Snmin.因为S2n+1-Sn+1-S2n-Sn=S2n+2-S2n-Sn+1-Sn=a2n+1+a2n+2-an+1=+-+-=-0,所以{S2n-Sn}为递增数列,所以S2n-Sn≥S2-S1=,所以⇒m,m所能取得的最大整数为
5.10.[2016·衡水中学热身]数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1n≥1.1求{an}的通项公式;2等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn.解 1由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1n≥2,两式相减得an+1-an=2an,则an+1=3ann≥2.又a2=2S1+1=3,∴a2=3a
1.故{an}是首项为1,公比为3的等比数列,∴an=3n-
1.2设{bn}的公差为d.由T3=15,即b1+b2+b3=15,可得b2=5,故b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列可得5-d+1·5+d+9=5+32,解得d=2或d=-
10.∵等差数列{bn}的各项为正,∴d0,∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+×2=n2+2n.11.[2016·冀州中学期末]某企业为了进行技术改造,设计了两种方案,甲方案一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算,试比较两种方案中,哪种获利更多?参考数据取
1.0510=
1.
6291.310=
13.
7861.510=
57.665解 甲方案中,每年所获利润组成等比数列,首项为1,公比为1+30%,所以10年所获得的总利润为S10=1+1+30%+1+30%2+…+1+30%9==
42.62万元,贷款到期时,需要偿还银行的本息是101+5%10=
16.29万元,故使用甲方案所获纯利润为
42.62-
16.29=
26.33万元.乙方案中,每年的利润组成等差数列,首项为1,公差为
0.5,所以10年所获得的总利润为T10=1+1+
0.5+1+2×
0.5+…+1+9×
0.5=10×1+×
0.5=
32.5万元,从第一年起,每年的贷款在到期时所产生的本息组成等比数列,首项为1×1+5%10万元,公比为,故贷款到期时,需要偿还银行的本息是1×[1+5%10+1+5%9+…+1+5%]=
1.05×≈
13.21万元,故使用乙方案所获纯利润为
32.5-
13.21=
19.29万元.综上可知,甲方案获利更多.
12.[2016·衡水中学预测]数列{an}满足an+1=,a1=
1.1证明数列是等差数列;2求数列的前n项和Sn,并证明++…+.解 1证明∵an+1=,∴=,化简得=2+,即-=2,故数列是以1为首项,2为公差的等差数列.2由1知=2n-1,∴Sn==n
2.证法一++…+=++…+++…+=++…+=1-=.证法二数学归纳法当n=1时,=1,=,不等式成立.假设当n=k时,不等式成立,即++…+.则当n=k+1时,++…+++,又∵+-=1-+-1+=-=0,∴++…++,∴原不等式成立.解法三++…+=++…+1,又∵1,∴++…+.能力组
13.[2016·枣强中学热身]设fx是定义在R上的恒不为零的函数,对任意实数x,y∈R,都有fx·fy=fx+y,若a1=,an=fnn∈N*,则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是 A.B.C.D.答案 C解析 因为对任意实数x,y∈R,都有fx·fy=fx+y,所以令x=n,y=1,得fn·f1=fn+1,即==f1=,所以数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,an=n,所以Sn==1-,则Sn∈.故选C.14.[2016·衡水中学猜题]已知函数fx=log2x-logx20x1,数列{an}满足f2an=2nn∈N*.1求数列{an}的通项公式;2判断数列{an}的单调性.解 1由已知得log22an-=2n,∴an-=2n,即a-2nan-1=0,∴an=n±.∵0x1,∴02an1,∴an
0.∴an=n-.2∵an+1-an=n+1--n-=1-1-=0,∴an+1an,∴{an}是递增数列.15.[2016·衡水中学一轮检测]在数列{an}中,a1=1,an+1·an=an-an+
1.1求数列{an}的通项公式;2若bn=lg,求数列{bn}的前n项和Sn.解 1由题意得-=1,又因为a1=1,所以=
1.所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,所以=n,即an=.所以数列{an}的通项公式为an=.2由1得bn=lgn-lgn+2,所以Sn=lg1-lg3+lg2-lg4+lg3-lg5+…+lgn-2-lgn+lgn-1-lgn+1+lgn-lgn+2=lg1+lg2-lgn+1-lgn+2=lg.16.[2016·冀州中学模拟]已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a单位m2,其中有部分旧住房要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房,同时也拆除面积为b单位m2的旧住房.1分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式;2如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%,则每年拆除的旧住房面积b是多少?计算时取
1.15=
1.6.解 1第一年末的住房面积为a·-b=
1.1a-bm2.第二年末的住房面积为-b=a·2-b=
1.21a-
2.1bm2.2第三年末的住房面积为-b=a3-bm2,第四年末的住房面积为a4-bm2,第五年末的住房面积为a5-b=
1.15a-b=
1.6a-6bm2.依题意,得
1.6a-6b=
1.3a,解得b=.所以每年拆除的旧房面积为m
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