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2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程
10.4直线与圆锥曲线的位置关系课时练理 时间90分钟基础组
1.[2016·衡水二中预测]抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是 A.4B.3C.4D.8答案 C解析 ∵y2=4x,∴F10,l x=-1,过焦点F且斜率为的直线l1y=x-1,与y2=4x联立,解得A3,2,∴AK=4,∴S△AKF=×4×2=
4.故选C.2.[2016·枣强中学月考]已知双曲线-=1a0,b0上一点C,过双曲线中心的直线交双曲线于A,B两点,记直线AC,BC的斜率分别为k1,k2,当+ln|k1|+ln|k2|最小时,双曲线离心率为 A.B.C.+1D.2答案 B解析 设点Ax1,y1,Cx2,y2,由于点A,B为过原点的直线与双曲线的交点,所以根据双曲线的对称性可得A,B关于原点对称,即B-x1,-y1.则k1·k2=·=,由于点A,C都在双曲线上,故有-=1,-=1,两式相减,得-=0,所以k1k2==
0.则+ln|k1|+ln|k2|=+lnk1k2,对于函数y=+lnxx0利用导数法可以得到当x=2时,函数y=+lnxx0取得最小值.故当+ln|k1|+ln|k2|取得最小值时,k1k2==2,所以e==,故选B.3.[2016·衡水二中猜题]斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点,则|AB|的最大值为 A.2B.C.D.答案 C解析 设A、B两点的坐标分别为x1,y
1、x2,y2,直线l的方程为y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4t2-1=
0.Δ=2t2-5t2-10,即t
25.则x1+x2=-t,x1x2=.∴|AB|=|x1-x2|=·=·=,当t=0时,|AB|max=.
4.[2016·衡水二中一轮检测]直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A、B两点,且AB中点的横坐标为2,则k的值是________.答案 2解析 设Ax1,y
1、Bx2,y2,由消去y得k2x2-4k+2x+4=0,由题意得∴即k=
2.5.[2016·冀州中学周测]已知两定点M-10,N10,若直线上存在点P,使|PM|+|PN|=4,则该直线为“A型直线”.给出下列直线,其中是“A型直线”的是________填序号.
①y=x+1;
②y=2;
③y=-x+3;
④y=-2x+
3.答案
①④解析 由题意可知,点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,其方程是+=1,
①把y=x+1代入+=1并整理得,7x2+8x-8=0,∵Δ=82-4×7×-80,直线与椭圆有两个交点,∴y=x+1是“A型直线”.
②把y=2代入+=1,得=-不成立,直线与椭圆无交点,∴y=2不是“A型直线”.
③把y=-x+3代入+=1并整理得,7x2-24x+24=0,Δ=-242-4×7×240,∴y=-x+3不是“A型直线”.
④把y=-2x+3代入+=1并整理得,19x2-48x+24=0,∵Δ=-482-4×19×240,∴y=-2x+3是“A型直线”.6.[2016·冀州中学热身]已知焦点在y轴上的椭圆C1+=1经过点A10,且离心率为.1求椭圆C1的方程;2过抛物线C2y=x2+hh∈R上点P的切线与椭圆C1交于两点M、N,记线段MN与PA的中点分别为G、H,当GH与y轴平行时,求h的最小值.解 1由题意可得解得a=2,b=1,所以椭圆C1的方程为+x2=
1.2设Pt,t2+h,由y′=2x,得抛物线C2在点P处的切线斜率为k=y′|x=t=2t,所以MN的方程为y=2tx-t2+h,代入椭圆方程得4x2+2tx-t2+h2-4=0,化简得41+t2x2-4tt2-hx+t2-h2-4=
0.又MN与椭圆C1有两个交点,故Δ=16[-t4+2h+2t2-h2+4]0,
①设Mx1,y1,Nx2,y2,MN中点的横坐标为x0,则x0==,设线段PA中点的横坐标为x3=,由已知得x0=x3,即=,
②显然t≠0,所以h=-,
③当t0时,t+≥2,当且仅当t=1时取等号,此时h≤-3,不满足
①式,故舍去;当t0时,-t+≥2,当且仅当t=-1时取等号,此时h≥1,满足
①式.综上,h的最小值为
1.
7.[2016·枣强中学周测]已知圆O x2+y2=,直线l y=kx+m与椭圆C+y2=1相交于P、Q两点,O为原点.1若直线l过椭圆C的左焦点,与圆O交于A、B两点,且∠AOB=60°,求直线l的方程;2若△POQ的重心恰好在圆上,求m的取值范围.解 1左焦点坐标为F-10,设直线l的方程为y=kx+1,由∠AOB=60°,得圆心O到直线l的距离d=,又d=,∴=,解得k=±.∴直线l的方程为y=±x+1.2设Px1,y1,Qx2,y2,由得1+2k2x2+4kmx+2m2-2=
0.由Δ0得1+2k2m2
①,且x1+x2=-.∵△POQ的重心恰好在圆x2+y2=上,∴x1+x22+y1+y22=4,即x1+x22+[kx1+x2+2m]2=4,即1+k2x1+x22+4kmx1+x2+4m2=
4.∴-+4m2=4,化简得m2=,代入
①式得2k20,∴k≠0,又m2==1+=1+.∵k≠0,∴m21,∴m1或m-
1.8.[2016·冀州中学预测]已知F
1、F2是双曲线x2-=1的两个焦点,离心率等于的椭圆E与双曲线x2-=1的焦点相同,动点Pm,n满足|PF1|+|PF2|=10,曲线M的方程为+=
1.1求椭圆E的方程;2判断直线mx+ny=1与曲线M的公共点的个数,并说明理由;当直线mx+ny=1与曲线M相交时,求直线mx+ny=1截曲线M所得弦长的取值范围.解 1∵F
1、F2是双曲线x2-=1的两个焦点,∴不妨设F1-40,F240.∵椭圆E与双曲线x2-=1的焦点相同,∴设椭圆E的方程为+=1ab0,根据已知得解方程组得∴椭圆E的方程为+=
1.2∵动点Pm,n满足|PF1|+|PF2|=10,∴Pm,n是椭圆E上的点.∴+=
1.∵+≤+=,∴m2+n2≥
9.∵曲线M是圆心为00,半径r=的圆,圆心00到直线mx+ny=1的距离d=≤,∴直线mx+ny=1与曲线M有两个公共点.设直线mx+ny=1截曲线M所得弦长为l,则l=
2.∵+≤+=1,∴m2+n2≤
25.∴9≤m2+n2≤
25.∴≤≤,∴≤2-≤.∴≤≤.∴≤l≤.∴直线mx+ny=1截曲线M所得弦长的取值范围为.9.[2016·衡水二中期中]如图所示,已知抛物线C y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A,B两点.1若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;2若线段|AB|=20,求直线l的方程.解 1由已知得焦点坐标为F10.因为线段AB的中点在直线y=2上,所以直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,Ax1,y1,Bx2,y2,AB的中点Mx0,y0,则由得y1+y2y1-y2=4x1-x2,所以2y0k=
4.又y0=2,所以k=1,故直线l的方程是y=x-
1.2设直线l的方程为x=my+1,与抛物线方程联立得消元得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,Δ=16m2+
10.|AB|=|y1-y2|=·=·=4m2+1.所以4m2+1=20,解得m=±2,所以直线l的方程是x=±2y+1,即x±2y-1=
0.10.[2016·枣强中学模拟]已知点A、B的坐标分别是-
10、10.直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-
2.1求动点M的轨迹方程;2若过点N的直线l交动点M的轨迹于C、D两点,且N为线段CD的中点,求直线l的方程.解 1设Mx,y.因为kAM·kBM=-2,所以·=-2x≠±1,化简得2x2+y2=2x≠±1,即为动点M的轨迹方程.2设Cx1,y1,Dx2,y2.当直线l⊥x轴时,直线l的方程为x=,则C,D,此时线段CD的中点不是点N,不合题意.故设直线l的方程为y-1=k.将Cx1,y1,Dx2,y2代入2x2+y2=2x≠±1,得2x+y=2,
①2x+y=
2.
②①-
②整理得k==-=-=-
1.所以直线l的方程为y-1=-,即2x+2y-3=
0.11.[2016·衡水二中期末]已知定点G-30,S是圆C x-32+y2=72上的动点,SG的垂直平分线与SC交于点E,设点E的轨迹为M.1求M的方程;2是否存在斜率为1的直线l,使得l与曲线M相交于A,B两点,且以AB为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.解 1由题意,知|EG|=|ES|,∴|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6,又|GC|=66,∴点E的轨迹是以G,C为焦点,长轴长为6的椭圆.故动点E的轨迹M的方程为+=
1.2假设存在符合题意的直线l与椭圆M相交于Ax1,y1,Bx2,y2两点,其方程为y=x+m,由消去y,化简得3x2+4mx+2m2-18=
0.∵直线l与椭圆M相交于A,B两点,∴Δ=16m2-122m2-180,化简得m227,解得-3m3,∴x1+x2=-,x1x2=.∵以线段AB为直径的圆恰好经过原点,∴·=0,∴x1x2+y1y2=0,又y1y2=x1+mx2+m=x1x2+mx1+x2+m2,∴x1x2+y1y2=2x1x2+mx1+x2+m2=-+m2=0,解得m=±2,由于±2∈-3,3,∴符合题意的直线l存在,所求的直线l的方程为y=x+2或y=x-
2.12.[2016·武邑中学猜题]已知椭圆C+=1ab0的离心率为,F为椭圆在x轴正半轴上的焦点,M,N两点在椭圆C上,且=λλ0,定点A-40.1求证当λ=1时,⊥;2若当λ=1时有·=,求椭圆C的方程;3在2的条件下,M,N两点在椭圆C上运动,当··tan∠MAN的值为6时,求出直线MN的方程.解 1证明设Mx1,y1,Nx2,y2,Fc0,则=c-x1,-y1,=x2-c,y2,当λ=1时,=,∴-y1=y2,x1+x2=2c,由M,N两点在椭圆上,∴x=a2,x=a2,∴x=x.若x1=-x2,则x1+x2=0≠2c舍去,∴x1=x2,∴=02y2,=c+40,·=0,∴⊥.2当λ=1时,不妨设M,N,∴·=c+42-=,∵=.∴a2=c2,b2=,∴c2+8c+16=,∴c=2,a2=6,b2=2,故椭圆C的方程为+=
1.3因为··tan∠MAN=2S△AMN=|AF||yM-yN|=6,由2知点F20,所以|AF|=6,即得|yM-yN|=.当MN⊥x轴时,|yM-yN|=|MN|==≠,故直线MN的斜率存在,不妨设直线MN的方程为y=kx-2k≠0.联立得1+3k2y2+4ky-2k2=0,yM+yN=-,yM·yN=-,∴|yM-yN|==,解得k=±
1.此时,直线MN的方程为x-y-2=0或x+y-2=
0.能力组
13.[2016·冀州中学仿真]已知F
1、F2是双曲线-=1a0,b0的左、右两个焦点,以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M,与双曲线交于点N设点M、N均在第一象限,当直线MF1与直线ON平行时,双曲线的离心率的取值为e0,则e0所在的区间为 A.1,B.,C.,2D.23答案 A解析 由可得N,由可得Ma,b,又F1-c0,则kMF1=,kON=,∵MF1∥ON,∴=,∴a=ba+c,又b2=c2-a2,∴2a2c-c3=2ac2-2a3,∴2e0-e=2e-2,设fx=x3+2x2-2x-2,f′x=3x2+4x-2,当x1时,f′x0,所以fx在1,+∞上单调递增,即fx在1,+∞上至多有1个零点,f1=1+2-2-20,f=2+4-2-20,∴1e
0.故选A.14.[2016·武邑中学预测]已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点左、右焦点分别为F
1、F2,它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1e2的取值范围是 A.0,+∞B.C.D.答案 B解析 设椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2m,焦距为2c,则有得|PF2|=a-m,又|PF2|=|F1F2|=2c,∴a-m=2c,又由e1=,e2=,得a=,m=,从而有-=2c,得e2=,从而e1e2=e1·=,由e21,且e2=,可得e1,令1-2e1=t,则0t,e1e2==.又ft=t+-2在上为减函数,则0t时,ftf,∴0t时,ft,故e1e
2.15.[2016·衡水二中模拟]如图,F是椭圆的右焦点,以点F为圆心的圆过原点O和椭圆的右顶点,设P是椭圆上的动点,点P到椭圆两焦点的距离之和等于
4.1求椭圆和圆的标准方程;2设直线l的方程为x=4,PM⊥l,垂足为M,是否存在点P,使得△FPM为等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解 1由题意,设椭圆的标准方程为+=1ab0,由已知可得2a=4,a=2c,解得a=2,c=1,b2=a2-c2=
3.∴椭圆的标准方程为+=1,圆的标准方程为x-12+y2=
1.2设Px,y,则M4,y,F10,其中-2≤x≤2,∵Px,y在椭圆上,∴+=1,∴y2=3-x
2.∴|PF|2=x-12+y2=x-12+3-x2=x-42,|PM|2=|x-4|2,|FM|2=32+y2=12-x
2.
①若|PF|=|FM|,则x-42=12-x2,解得x=-2或x=4舍去,当x=-2时,P-20,此时P、F、M三点共线,不符合题意,∴|PF|≠|FM|;
②若|PM|=|PF|,则x-42=x-42,解得x=4,不符合题意;
③若|PM|=|FM|,则x-42=12-x2,解得x=4舍去或x=,当x=时,y=±,∴P,满足题意.综上可得,存在点P或,使得△FPM为等腰三角形.16.[2016·枣强中学期末]如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左,右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.1求该椭圆的离心率和标准方程;2过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程.解 1设所求椭圆的标准方程为+=1ab0,右焦点为F2c0.因为△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,所以∠B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,则b=,又c2=a2-b2,所以4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e==.在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故S△AB1B2=·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b
2.由题设条件S△AB1B2=4得b2=4,从而a2=5b2=
20.因此所求椭圆的标准方程为+=
1.2由1知B1-20,B220.由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-
2.代入椭圆方程得m2+5y2-4my-16=
0.设Px1,y1,Qx2,y2,则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1·y2=-.又=x1-2,y1,=x2-2,y2,所以·=x1-2x2-2+y1y2=my1-4my2-4+y1y2=m2+1y1y2-4my1+y2+16=--+16=-,由PB2⊥QB2,得·=0,即16m2-64=0,解得m=±
2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=
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