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文本内容:
基本不等式25分钟 50分
一、选择题每小题5分共35分
1.2016·郑州模拟设a0b
0.若a+b=1则+的最小值是 A.2B.C.4D.8【解析】选C.由题意+=+=2++≥2+2=4当且仅当=即a=b=时取等号所以最小值为
4.
2.2015·马鞍山模拟设x0y0且2x+y=6则9x+3y有 A.最大值27B.最小值27C.最大值54D.最小值54【解析】选D.因为x0y0且2x+y=6所以9x+3y≥2=2=2=54当且仅当x=y=3时9x+3y有最小值
54.
3.2014·重庆高考若log43a+4b=log2则a+b的最小值是 A.6+2B.7+2C.6+4D.7+4【解析】选D.log43a+4b=log2可得3a+4b=ab且a0b0=1即+=1所以a+b=a+b=7++≥7+2=7+
4.
4.设a0若关于x的不等式x+≥5在1+∞上恒成立则a的最小值为 A.16B.9C.4D.2【解析】选C.x+=x-1++1≥2+1=2+1≥
5.所以2≥4≥2a≥
4.
5.若两个正实数xy满足+=1且不等式x+m2-3m有解则实数m的取值范围是 A.-14B.-∞-1∪4+∞C.-41D.-∞0∪3+∞【解析】选B.由题可知1=+≥2=即≥4于是有m2-3mx+≥≥4故m2-3m4化简得m+1m-40即实数m的取值范围为-∞-1∪4+∞.
6.设ab∈R定义运算“∧”和“∨”如下:a∧b=a∨b=若正数abcd满足ab≥4c+d≤4则 A.a∧b≥2c∧d≤2B.a∧b≥2c∨d≥2C.a∨b≥2c∧d≤2D.a∨b≥2c∨d≥2【解析】选C.根据题意知:a∧b表示ab中较小的a∨b表示ab中较大的.因为≥ab≥4所以a+b≥
4.又因为ab为正数所以ab中至少有一个大于或等于2所以a∨b≥
2.因为c+d≤4cd为正数所以cd中至少有一个小于或等于2所以c∧d≤
2.
7.2016·黄冈模拟已知b0直线b2+1x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直则ab的最小值等于 A.1B.2C.2D.2【解题提示】由题意可知直线的斜率存在利用直线的垂直关系求出ab关系然后利用基本不等式求出ab的最小值.【解析】选B.b0两条直线的斜率存在因为直线b2+1x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直所以b2+1-ab2=0ab=b+≥
2.
二、填空题每小题5分共15分
8.已知Ax1y1Bx2y2是函数y=2x图象上两个不同的点若x1+2x2=4则y1+的最小值为 .【解析】y1+=+≥2=8当且仅当x1=2x2=2时等号成立.答案:
89.2014·福建高考要制作一个容积为4m3高为1m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元侧面造价是每平方米10元则该容器的最低总造价是 单位:元.【解析】由容器体积为4高为1可知容器的底面积为
4.设底面长为x则宽为总造价为W.由题意W=·10+4×20=20+80≥20×2+80=160当且仅当x=即x=2时取“=”.答案:
16010.已知函数y=a2x-4+1a0且a≠1的图象过定点A且点A在直线+=1mn0上则m+n的最小值为 .【解析】由已知函数y=a2x-4+1的图象过定点A22且点A在直线+=1上所以+=1所以m+n=m+n=4++≥4+2=8当且仅当即m=n=4时取等号所以m+n的最小值为
8.答案:820分钟 35分
1.5分2015·四川高考设实数xy满足则xy的最大值为 A.B.C.12D.14【解析】选A.由条件得:y≤
2.于是xy≤2x≤=.xy当且仅当x=y=5时取到最大值.经验证x=y=5在可行域内.【加固训练】圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0ab∈R对称则ab的取值范围是 A.B.C.D.【解题提示】圆关于直线对称则圆心在直线上利用此条件可解.【解析】选A.由已知得圆心坐标为-12故-2a-2b+2=0即a+b=1故ab≤=.
2.5分2016·江门模拟y=x1的最小值为 A.2+2B.2-2C.2D.2【解析】选A.因为x1所以x-10y===x-1+2+≥2+2=2+2当且仅当x-1=时取等号.
3.12分为响应国家扩大内需的政策某厂家拟在2016年举行促销活动经调查测算该产品的年销量即该厂的年产量x万件与年促销费用tt≥0万元满足x=4-k为常数.如果不搞促销活动那么该产品的年销量只能是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为6万元每生产1万件该产品需要再投入12万元厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的
1.5倍产品成本包括固定投入和再投入两部分.1将该厂家2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数.2该厂家2016年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大【解析】1由题意有1=4-得k=3故x=4-.故y=
1.5××x-6+12x-t=3+6x-t=3+6-t=27--tt≥
0.2由1知:y=27--t=
27.5-.因为+≥2×=6当且仅当=t+即t=
2.5时等号成立.故y=27--t=
27.5-≤
27.5-6=
21.
5.所以当年促销费用投入
2.5万元时厂家利润最大.【加固训练】某车间分批生产某种产品每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件则平均仓储时间为天且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小每批应生产产品 件.【解析】记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为fx则fx==+≥2=20当且仅当=即x=80x0时等号成立.故每批应生产产品80件可使fx最小.答案:
804.13分已知不等式x2-5ax+b0的解集为{x|x4或x1}.1求实数ab的值.2若0x1fx=+求fx的最小值.【解题提示】1由三个二次的关系可得解方程组可得.2由1知fx=+=[x+1-x]=5++由基本不等式可得.【解析】1由题意可得解得所以实数ab的值分别为
14.2由1知fx=+因为0x1所以01-x1所以00所以fx=+=[x+1-x]=5++≥5+2=9当且仅当=即x=时等号成立.所以fx的最小值为
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