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文本内容:
几何概型25分钟 50分
一、选择题每小题5分共35分
1.2016·保定模拟实数m是
[06]上的随机数则关于x的方程x2-mx+4=0有实根的概率为 A.B.C.D.【解析】选B.关于x的方程x2-mx+4=0有实根只需Δ=m2-16≥0⇒m≤-4或m≥4在
[06]上满足此条件的m的区间长度为2区间
[06]的长度为6所以方程有实根的概率P==.
2.如图向边长为2的正方形中随机投入一粒黄豆若圆C的方程为x-22+y-22=则黄豆落入阴影部分的概率为 A.B.1-C.1-D.【解析】选B.由题意可知黄豆落入阴影部分的概率为=1-.
3.任意画一个正方形再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形以此类推这样一共画了4个正方形如图所示若向图形中随机投一点则所投点落在第四个正方形中的概率是 A.B.C.D.【解析】选C.依题意可知第四个正方形的边长是第一个正方形边长的倍所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的倍由几何概型可知所投点落在第四个正方形中的概率为.【加固训练】分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆重叠部分如图中阴影区域所示若向该正方形内随机投一点则该点落在阴影区域的概率为 A.B. C. D.【解析】选B.设正方形边长为2阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去2个△BOC的面积即为π-2则阴影区域的面积为2π-4所以所求概率为P==.
4.2016·莆田模拟已知集合A={y|y=x2-2x+2-1≤x≤2}B=若任取x∈A则x∈A∩B的概率为 A.B.C.D.【解题提示】化简集合AB转化为与长度有关的几何概型问题求解.【解析】选C.当-1≤x≤2时y=x2-2x+2=x-12+1∈
[15]故A=
[15]1即0解得x4或x3所以B=-∞3∪4+∞A∩B=[13∪45]根据几何概型的概率计算公式得P==.
5.随着科技的进步微爆技术正逐步被应用到我们日常生活中的各个方面.某医院为探究微爆技术在治疗肾结石方面的应用设计了一个试验:在一个棱长为1cm的正方体的中心放置微量手术专用炸药而爆炸的威力范围是一个半径为R的球则爆炸之后形成的碎片全部落在正方体内部的概率为 A.B.C.D.【解析】选A.由题意可知要使碎片全部落在正方体的内部则该爆炸的威力范围的半径R不大于正方体的内切球的半径r=.所以该事件的概率P==.
6.2016·荆门模拟已知集合表示的平面区域为Ω若在区域Ω内任取一点Pxy则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为 A.B.C.D.【解题提示】平面区域Ω可利用线性规划知识画出并确定其形状计算其面积的大小.【解析】选D.满足不等式组的区域如图△ABO内部含边界由于直线y=x与y=-x垂直△ABO与圆x2+y2=2的公共部分是圆则点P落在圆x2+y2≤2内的概率为P===.【加固训练】已知平面区域Ω={xy|x-12+y-12≤1}平面区域M=若向区域Ω内随机抛掷一点P则点P落在区域M内的概率为 A. B.C.D.【解析】选B.如图所示画出区域Ω与区域M则区域Ω是以11为圆心1为半径的圆其面积为π区域M是边长为的正方形其面积为×=2故所求的概率为.
7.2016·广州模拟在区间
[15]和
[24]上分别取一个数记为ab则方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为 A.B.C.D.【解析】选B.方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆故即化简得又a∈
[15]b∈
[24]画出满足不等式组的平面区域如图阴影部分所示求得阴影部分的面积为故所求的概率P==.
二、填空题每小题5分共15分
8.2016·孝感模拟已知一个三角形的三边长分别是556一只蚂蚁在其内部爬行若不考虑蚂蚁的大小则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 .【解析】由已知三角形的面积为S=×6×4=12阴影部分的面积为×π×22=2π故某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是P==1-.答案:1-
9.2016·益阳模拟在平面直角坐标系xOy中设不等式组所表示的平面区域是W从区域W中随机取点Mxy则|OM|≤2的概率是 .【解析】作出可行域如图所示:不等式组所表示的平面区域W是图中正方形ABCD则正方形ABCD的面积是2×2=
4.从区域W中随机取点Mxy使|OM|≤2则点M落在图中阴影部分在Rt△AOM中MA=∠AOM=所以阴影部分的面积是2=+故所求的概率是=.答案:
10.2015·乐山模拟如图矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A0-1Bπ-1Cπ1D01正弦曲线fx=sinx和余弦曲线gx=cosx在矩形ABCD内交于点F向矩形ABCD区域内随机投掷一点则该点落在阴影区域内的概率是 .【解析】根据题意可得曲线y=sinx与y=cosx围成的区域其面积为sinx-cosxdx=-cosx-sinx=1-=1+.又矩形ABCD的面积为2π由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是.答案:20分钟 40分
1.5分2016·肇庆模拟已知m∈
[17]则函数fx=-4m-1x2+15m2-2m-7x+2在实数集R上是增函数的概率为 .【解析】f′x=x2-24m-1x+15m2-2m-7依题意知f′x在R上恒大于或等于0所以Δ=4m2-6m+8≤0得2≤m≤
4.又m∈
[17]所以所求的概率为=.答案:
2.5分2016·石家庄模拟已知直线AB:x+y-6=0与抛物线y=x2及x轴正半轴围成的阴影部分如图所示若从Rt△AOB区域内任取一点Mxy则点M取自阴影部分的概率为 .【解析】因为直线x+y-6=0与抛物线y=x2在第一象限的交点为24所以S阴影=x2dx+×4×4=且S△OAB=×6×6=18故点M取自阴影部分的概率是=.答案:
3.5分2016·长沙模拟如图所示在长方体ABCD-A1B1C1D1中点EH分别是棱A1B1D1C1上的点点E与点B1不重合且EH∥A1D1过EH的平面与棱BB1CC1相交交点分别为点FG.若AB=2AA1=2aEF=aB1E=B1F在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点则该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为 .【解题提示】解题关键是用间接法表示几何体A1ABFE-D1DCGH的体积.【解析】在等腰直角三角形B1EF中因为斜边EF=a所以B1E=B1F=a根据几何概型概率公式得P===1-=1-=1-=1-·a·a=1-=.答案:
4.12分已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干其中标号为0的小球1个标号为1的小球1个标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球取到标号为2的小球的概率是.1求n的值.2从袋子中不放回地随机抽取2个小球记第一次取出的小球标号为a第二次取出的小球标号为b.
①记“2≤a+b≤3”为事件A求事件A的概率;
②在区间
[02]内任取2个实数xy求事件“x2+y2a-b2恒成立”的概率.【解析】1依题意共有小球n+2个标号为2的小球n个从袋子中随机抽取1个小球取到标号为2的小球的概率为=得n=
2.2
①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果而满足2≤a+b≤3的结果有8种故PA==.
②由
①可知a-b2≤4故x2+y24xy可以看成平面中的点的坐标则全部结果所构成的区域为Ω={xy|0≤x≤20≤y≤2xy∈R}由几何概型得概率为P==1-.
5.13分已知关于x的二次函数fx=b2x2-a+1x+
1.1若ab分别表示将一质地均匀的正方体骰子六个面的点数分别为123456先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数求y=fx恰有一个零点的概率.2若ab∈
[16]求满足y=fx有零点的概率.【解析】1设ab表示一个基本事件则抛掷两次骰子的所有基本事件有1112131415162122…6566共36个.用A表示事件“y=fx恰有一个零点”即Δ=[-a+1]2-4b2=0则a+1=2b.则A包含的基本事件有113253共3个所以PA==.答:事件“y=fx恰有一个零点”的概率为.2用B表示事件“y=fx有零点”即a+1≥2b.试验的全部结果所构成的区域为{ab|1≤a≤61≤b≤6}构成事件B的区域为{ab|1≤a≤61≤b≤6a-2b+10}所以所求的概率为PB==.答:事件“y=fx有零点”的概率为.PAGE-8-。
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