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课时跟踪检测
(五十二)直线与圆锥曲线的位置关系一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线有________条.解析∵通径2p=2,又|AB|=x1+x2+p,∴|AB|=32p,故这样的直线有且只有2条.答案22.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则=________.解析设Ax1,y1,Bx2,y2,AB的中点Mx0,y0,结合题意,由点差法得,=-·=-·=-·=-1,∴=.答案3.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则·=________.解析依题意,当直线l经过椭圆的右焦点10时,其方程为y-0=tan45°x-1,即y=x-1,代入椭圆方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=,所以两个交点坐标分别为0,-1,,∴·=-,同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也可得·=-.答案-4.已知椭圆C+=1a>b>0,F,0为其右焦点,过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为
2.则椭圆C的方程为________.解析由题意得解得∴椭圆C的方程为+=
1.答案+=15.双曲线-=1的左右焦点分别为F1,F2,若在双曲线的右支存在点P,使|PF1|=3|PF2|.则P点坐标为________.解析设点Px0,y0,P到左、右准线的距离分别为d1,d
2.则|PF1|=ed1,|PF2|=ed
2.因为|PF1|=3|PF2|,所以d1=3d2,即x0+=3,所以x0==.再将x0=代入双曲线方程,得y0=±.所以所求点P坐标为.答案二保高考,全练题型做到高考达标1.与双曲线-=1有共同的渐近线,一条准线为x=的双曲线的标准方程为________.解析由题设可设所求双曲线方程为-=1λ0.该双曲线的右准线方程为x==,所以λ=4,所以所求的双曲线方程为-=
1.答案-=12.已知抛物线y2=2pxp>0,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为________.解析设Ax1,y1,Bx2,y2,且两点在抛物线上,∴
①-
②得y1-y2y1+y2=2px1-x2,又线段AB的中点的纵坐标为2,∴y1+y2=4,又直线的斜率为1,∴=1,∴2p=4,p=2,∴抛物线的准线方程为x=-=-
1.答案x=-13.已知椭圆+=10b2的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是________.解析由椭圆的方程,可知长半轴长为a=2,由椭圆的定义,可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-|AF2|+|BF2|≥
3.由椭圆的性质,可知过椭圆焦点的弦中,通径最短,即=3,可求得b2=3,即b=.答案4.2016·淮安模拟抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是________.解析∵y2=4x,∴F10,准线l x=-1,过焦点F且斜率为的直线l1y=x-1,与y2=4x联立,解得A32,∴AK=4,∴S△AKF=×4×2=
4.答案45.中心为原点,一个焦点为F05的椭圆,截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为,则该椭圆方程为________.解析由已知得c=5,设椭圆的方程为+=1,联立得消去y得10a2-450x2-12a2-50x+4a2-50-a2a2-50=0,设直线y=3x-2与椭圆的交点坐标分别为x1,y1,x2,y2,则x1+x2=,由题意知x1+x2=1,即=1,解得a2=75,所以该椭圆方程为+=
1.答案+=16.设F1,F2是双曲线-=1a0,b0的左、右两个焦点,l为左准线,离心率e=,P是左支上一点,P到l的距离为d,且d,PF1,PF2成等差数列.则此双曲线方程为________.解析由双曲线的第二定义知d=PF1,又PF1=-ex0+a=14-a,|PF2|=-ex0-a=14+a,由已知得d+|PF2|=2|PF1|,即14-a+14+a=28-2a,得a=2,c=3,b=,故双曲线的方程为-=
1.答案-=17.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为________.解析设Ax1,y1,Bx2,y2,直线l的方程为y=x+t,代入+y2=1,消去y得x2+2tx+t2-1=0,由题意得Δ=2t2-5t2-1>0,即t2<
5.由根与系数的关系得x1+x2=-t,x1·x2=,则弦长|AB|==4×≤.答案8.2016·金陵中学模拟如图,过抛物线y=x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2+y-12=1交于A,B,C,D四点,则·=________.解析不妨设直线AB的方程为y=1,联立解得x=±2,则A-21,D21,因为B-11,C11,所以=10,=-10,所以·=-
1.答案-19.2016·南京师大附中模拟已知椭圆+=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.1求椭圆方程;2若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连结CM,交椭圆于点P,证明·为定值.解1由题意知a=2,b=c,∵a2=b2+c2,∴b2=
2.∴椭圆方程为+=
1.2证明由题意知C-20,D20,设M2,y0,Px1,y1,则=x1,y1,=2,y0.直线CM=,即y=x+y
0.代入椭圆x2+2y2=4,得x2+yx+y-4=
0.∵x1·-2=,∴x1=-,∴y1=.∴=.∴·=-+==4定值.10.2016·无锡一中检测已知椭圆E+=1a>b>0的离心率为,右焦点为F10.1求椭圆E的标准方程;2设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OM⊥ON,求直线l的方程.解1依题意可得解得a=,b=1,所以椭圆E的标准方程为+y2=
1.2设Mx1,y1,Nx2,y2,
①当MN垂直于x轴时,直线l的方程为x=1,不符合题意;
②当MN不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=kx-1.联立得方程组消去y整理得1+2k2x2-4k2x+2k2-1=0,所以x1+x2=,x1·x2=.所以y1·y2=k2[x1x2-x1+x2+1]=.因为OM⊥ON,所以·=0,所以x1·x2+y1·y2==0,所以k=±,即直线l的方程为y=±x-1.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是________________.解析由题可设斜率存在的切线的方程为y-=kx-1k为切线的斜率,即2kx-2y-2k+1=0,由=1,解得k=-,所以圆x2+y2=1的一条切线的方程为3x+4y-5=0,可求得切点的坐标为,易知另一切点的坐标为10,则直线AB的方程为y=-2x+2,令y=0得右焦点为10,令x=0得上顶点为02,故a2=b2+c2=5,所以所求椭圆的方程为+=
1.答案+=12.如图,已知椭圆+=1的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点.1若点G的横坐标为-,求直线AB的斜率;2记△GFD的面积为S1,△OEDO为原点的面积为S
2.试问是否存在直线AB,使得S1=S2?说明理由.解1依题意可知,直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+1,将其代入+=1,整理得4k2+3x2+8k2x+4k2-12=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2,所以x1+x2=.故点G的横坐标为==-.解得k=±.2假设存在直线AB,使得S1=S2,显然直线AB不能与x,y轴垂直.由1可得G.设D点坐标为xD0.因为DG⊥AB,所以×k=-1,解得xD=,即D.因为△GFD∽△OED,所以S1=S2⇔|GD|=|OD|.所以=,整理得8k2+9=
0.因为此方程无解,所以不存在直线AB,使得S1=S
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