江苏专用2017届高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第八节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系课时跟踪检测理

课时跟踪检测

（五十二）直线与圆锥曲线的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线有________条．解析∵通径2p＝2，又|AB|＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝32p，故这样的直线有且只有2条．答案22．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则＝________.解析设Ax1，y1，Bx2，y2，AB的中点Mx0，y0，结合题意，由点差法得，＝－·＝－·＝－·＝－1，∴＝.答案3．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·＝________.解析依题意，当直线l经过椭圆的右焦点10时，其方程为y－0＝tan45°x－1，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为0，－1，，∴·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.答案－4．已知椭圆C＋＝1a＞b＞0，F，0为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为

2.则椭圆C的方程为________．解析由题意得解得∴椭圆C的方程为＋＝

1.答案＋＝15．双曲线－＝1的左右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支存在点P，使|PF1|＝3|PF2|.则P点坐标为________．解析设点Px0，y0，P到左、右准线的距离分别为d1，d

2.则|PF1|＝ed1，|PF2|＝ed

2.因为|PF1|＝3|PF2|，所以d1＝3d2，即x0＋＝3，所以x0＝＝.再将x0＝代入双曲线方程，得y0＝±.所以所求点P坐标为.答案二保高考，全练题型做到高考达标1．与双曲线－＝1有共同的渐近线，一条准线为x＝的双曲线的标准方程为________．解析由题设可设所求双曲线方程为－＝1λ0．该双曲线的右准线方程为x＝＝，所以λ＝4，所以所求的双曲线方程为－＝

1.答案－＝12．已知抛物线y2＝2pxp＞0，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．解析设Ax1，y1，Bx2，y2，且两点在抛物线上，∴

①－

②得y1－y2y1＋y2＝2px1－x2，又线段AB的中点的纵坐标为2，∴y1＋y2＝4，又直线的斜率为1，∴＝1，∴2p＝4，p＝2，∴抛物线的准线方程为x＝－＝－

1.答案x＝－13．已知椭圆＋＝10b2的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________．解析由椭圆的方程，可知长半轴长为a＝2，由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－|AF2|＋|BF2|≥

3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即＝3，可求得b2＝3，即b＝.答案4．2016·淮安模拟抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是________．解析∵y2＝4x，∴F10，准线l x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1y＝x－1，与y2＝4x联立，解得A32，∴AK＝4，∴S△AKF＝×4×2＝

4.答案45．中心为原点，一个焦点为F05的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为________．解析由已知得c＝5，设椭圆的方程为＋＝1，联立得消去y得10a2－450x2－12a2－50x＋4a2－50－a2a2－50＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为x1，y1，x2，y2，则x1＋x2＝，由题意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，所以该椭圆方程为＋＝

1.答案＋＝16．设F1，F2是双曲线－＝1a0，b0的左、右两个焦点，l为左准线，离心率e＝，P是左支上一点，P到l的距离为d，且d，PF1，PF2成等差数列．则此双曲线方程为________．解析由双曲线的第二定义知d＝PF1，又PF1＝－ex0＋a＝14－a，|PF2|＝－ex0－a＝14＋a，由已知得d＋|PF2|＝2|PF1|，即14－a＋14＋a＝28－2a，得a＝2，c＝3，b＝，故双曲线的方程为－＝

1.答案－＝17．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________．解析设Ax1，y1，Bx2，y2，直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意得Δ＝2t2－5t2－1＞0，即t2＜

5.由根与系数的关系得x1＋x2＝－t，x1·x2＝，则弦长|AB|＝＝4×≤.答案8．2016·金陵中学模拟如图，过抛物线y＝x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2＋y－12＝1交于A，B，C，D四点，则·＝________.解析不妨设直线AB的方程为y＝1，联立解得x＝±2，则A－21，D21，因为B－11，C11，所以＝10，＝－10，所以·＝－

1.答案－19．2016·南京师大附中模拟已知椭圆＋＝1a＞b＞0的左、右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．1求椭圆方程；2若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连结CM，交椭圆于点P，证明·为定值．解1由题意知a＝2，b＝c，∵a2＝b2＋c2，∴b2＝

2.∴椭圆方程为＋＝

1.2证明由题意知C－20，D20，设M2，y0，Px1，y1，则＝x1，y1，＝2，y0．直线CM＝，即y＝x＋y

0.代入椭圆x2＋2y2＝4，得x2＋yx＋y－4＝

0.∵x1·－2＝，∴x1＝－，∴y1＝.∴＝.∴·＝－＋＝＝4定值．10．2016·无锡一中检测已知椭圆E＋＝1a＞b＞0的离心率为，右焦点为F10．1求椭圆E的标准方程；2设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．解1依题意可得解得a＝，b＝1，所以椭圆E的标准方程为＋y2＝

1.2设Mx1，y1，Nx2，y2，

①当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x＝1，不符合题意；

②当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝kx－1．联立得方程组消去y整理得1＋2k2x2－4k2x＋2k2－1＝0，所以x1＋x2＝，x1·x2＝.所以y1·y2＝k2[x1x2－x1＋x2＋1]＝.因为OM⊥ON，所以·＝0，所以x1·x2＋y1·y2＝＝0，所以k＝±，即直线l的方程为y＝±x－1．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________________．解析由题可设斜率存在的切线的方程为y－＝kx－1k为切线的斜率，即2kx－2y－2k＋1＝0，由＝1，解得k＝－，所以圆x2＋y2＝1的一条切线的方程为3x＋4y－5＝0，可求得切点的坐标为，易知另一切点的坐标为10，则直线AB的方程为y＝－2x＋2，令y＝0得右焦点为10，令x＝0得上顶点为02，故a2＝b2＋c2＝5，所以所求椭圆的方程为＋＝

1.答案＋＝12．如图，已知椭圆＋＝1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．1若点G的横坐标为－，求直线AB的斜率；2记△GFD的面积为S1，△OEDO为原点的面积为S

2.试问是否存在直线AB，使得S1＝S2？说明理由．解1依题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为y＝kx＋1，将其代入＋＝1，整理得4k2＋3x2＋8k2x＋4k2－12＝

0.设Ax1，y1，Bx2，y2，所以x1＋x2＝.故点G的横坐标为＝＝－.解得k＝±.2假设存在直线AB，使得S1＝S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直．由1可得G.设D点坐标为xD0．因为DG⊥AB，所以×k＝－1，解得xD＝，即D.因为△GFD∽△OED，所以S1＝S2⇔|GD|＝|OD|.所以＝，整理得8k2＋9＝

0.因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得S1＝S

2.PAGE8。