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课时跟踪检测
(六)函数的奇偶性及周期性一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.函数fx=-x的图象关于________对称.解析因为函数fx的定义域为-∞,0∪0,+∞,且对定义域内每一个x,都有f-x=-+x=-fx,所以函数fx是奇函数,其图象关于原点对称.答案原点2.下面四个结论
①偶函数的图象一定与y轴相交;
②奇函数的图象一定过原点;
③偶函数的图象关于y轴对称;
④没有一个函数既是奇函数又是偶函数.其中正确的结论是________填序号.解析函数y=是偶函数,但不与y轴相交,故
①错;函数y=是奇函数,但不过原点,故
②错;由偶函数的性质,知
③正确;函数fx=0既是奇函数又是偶函数,故
④错.答案
③3.2016·南通调研设函数fx为偶函数,当x∈0,+∞时,fx=log2x,则f-=________.解析因为函数fx是偶函数,所以f-=f=log2=.答案4.设奇函数fx的定义域为[-66].若当x∈
[06]时,fx的图象如图所示,则不等式fx0的解集是________.解析奇函数的图象关于原点对称,作出函数fx在[-60]上的图象图略,由图象,可知不等式fx0的解集是[-6,-2∪02.答案[-6,-2∪025.函数fx在R上为奇函数,且x0时,fx=+1,则当x0时,fx=________________.解析∵fx为奇函数,x0时,fx=+1,∴当x0时,-x0,fx=-f-x=-+1,即x0时,fx=-+1=--
1.答案--1二保高考,全练题型做到高考达标1.已知奇函数fx的定义域为-50∪05,当0x5时,函数fx是减函数,且f2=0,则不等式fx0的解集是________________.解析由题意,可作出函数fx的大致图象,如图所示,由图象可得不等式fx0的解集是-5,-2∪02.答案-5,-2∪022.已知fx,gx是定义在R上的函数,hx=fx·gx,则“fx,gx均为偶函数”是“hx为偶函数”的________条件填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”.解析一方面,若fx,gx均为偶函数,则f-x=fx,g-x=gx,因此,h-x=f-xg-x=fxgx=hx,∴hx是偶函数;另一方面,若hx是偶函数,但fx,gx不一定均为偶函数,事实上,若fx,gx均为奇函数,hx也是偶函数,因此,“fx,gx均为偶函数”是“hx为偶函数”的充分不必要条件.答案充分不必要3.已知函数fx是定义在-∞,+∞上的奇函数,若对于任意的实数x≥0,都有fx+2=fx,且当x∈[02时fx=log2x+1,则f-2015+f2016的值为________________.解析因为fx是奇函数,且周期为2,所以f-2015+f2016=-f2015+f2016=-f1+f0.又当x∈[02时,fx=log2x+1,所以f-2015+f2016=-1+0=-
1.答案-14.已知函数y=fx是定义在R上的奇函数,当x0时,fx=x+2,那么不等式2fx-10的解集是________.解析由题意知,函数y=fx的定义域是R,当x0时,fx=x+2,则当x0时,-x0,所以f-x=-x+2,又函数y=fx为定义在R上的奇函数,所以fx=-f-x=x-2,即fx=因此不等式2fx-10等价于或或解得x-或x=0或0x,故不等式2fx-10的解集为xx-或0≤x.答案xx-或0≤x5.已知fx是定义在R上的奇函数,当x≥0时,fx=x2+2x,若f2-a2>fa,则实数a的取值范围是________.解析∵fx是奇函数,∴当x<0时,fx=-x2+2x.作出函数fx的大致图象如图中实线所示,结合图象可知fx是R上的增函数,由f2-a2>fa,得2-a2>a,解得-2<a<
1.答案-216.定义在R上的奇函数y=fx在0,+∞上递增,且f=0,则满足fx0的x的集合为________________________________________________________________________.解析由奇函数y=fx在0,+∞上递增,且f=0,得函数y=fx在-∞,0上递增,且f=0,∴fx0时,x或-x
0.即满足fx0的x的集合为.答案7.已知fx,gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且fx-gx=x,则f1,g0,g-1之间的大小关系是______________.解析在fx-gx=x中,用-x替换x,得f-x-g-x=2x,由于fx,gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f-x=-fx,g-x=gx,因此得-fx-gx=2x.联立方程组解得fx=,gx=-,于是f1=-,g0=-1,g-1=-,故f1g0g-1.答案f1g0g-18.2016·启东中学检测设定义在R上的函数fx同时满足以下条件
①fx+f-x=0;
②fx=fx+2;
③当0≤x≤1时,fx=2x-1,则f+f1+f+f2+f=________.解析依题意知函数fx为奇函数且周期为2,∴f+f1+f+f2+f=f+f1+f+f0+f=f+f1-f+f0+f=f+f1+f0=2-1+21-1+20-1=.答案9.已知函数fx是-∞,+∞上的奇函数,且fx的图象关于x=1对称,当x∈
[01]时,fx=2x-
1.1求证fx是周期函数;2当x∈
[12]时,求fx的解析式;3计算f0+f1+f2+…+f2016的值.解1证明函数fx为奇函数,则f-x=-fx,函数fx的图象关于x=1对称,则f2+x=f-x=-fx,所以f4+x=f[2+x+2]=-f2+x=fx,所以fx是以4为周期的周期函数.2当x∈
[12]时,2-x∈
[01],又fx的图象关于x=1对称,则fx=f2-x=22-x-1,x∈
[12].3因为f0=0,f1=1,f2=0,f3=f-1=-f1=-
1.又fx是以4为周期的周期函数.所以f0+f1+f2+…+f2016=f0=
0.10.2016·南京一中检测已知fx是偶函数,定义x≥0时,fx=1求f-2;2当x-3时,求fx的解析式;3设函数fx在区间[-55]上的最大值为ga,试求ga的表达式.解1由题意,得f-2=f2=2×3-2=
2.2当x-3时,-x3,所以fx=f-x=-x-3a+x=-x+3a+x,所以当x-3时,fx的解析式为fx=-x+3a+x.3因为fx是偶函数,所以它在区间[-55]上的最大值即为它在区间
[05]上的最大值.当x≥0时,fx=
①当a≤3时,fx在上单调递增,在上单调递减,所以ga=f=.
②当3a7时,fx在,上单调递增,在,上单调递减,所以此时只需比较f=与f=的大小.ⅰ当3a≤6时,≥,所以ga=f=;ⅱ当6a7时,,所以ga=f=.
③当a≥7时,fx在,
[35]上单调递增,在上单调递减,且f=f5=2a-5,所以ga=f5=2a-5.综上所述,ga=三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.已知函数gx是R上的奇函数,且当x0时,gx=-ln1-x,函数fx=若f2-x2fx,则实数x的取值范围是________.解析设x0,则-x
0.∵x0时,gx=-ln1-x,∴g-x=-ln1+x.又∵gx是奇函数,∴gx=ln1+xx0,∴fx=其图象如图所示.由图象知,函数fx在R上是增函数.∵f2-x2fx,∴2-x2x,即-2x
1.所以实数x的取值范围是-21.答案-212.2016·海安中学月考已知函数fx是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的a,b∈R都满足fab=afb+bfa,则fx是________填“奇”或“偶”函数.解析由题意,得f-x=f[-1·x]=-fx+xf-1.令a=b=1,得f1=f1+f1,所以f1=
0.令a=b=-1,得f[-1×-1]=-f-1-f-1,所以f1=-2f-1,所以f-1=
0.所以f-x=-fx+0=-fx,即fx为奇函数.答案奇3.函数fx的定义域为D={x|x≠0},且满足对任意x1,x2∈D,有fx1·x2=fx1+fx2.1求f1的值;2判断fx的奇偶性并证明你的结论;3如果f4=1,fx-12且fx在0,+∞上是增函数,求x的取值范围.解1∵对于任意x1,x2∈D,有fx1·x2=fx1+fx2,∴令x1=x2=1,得f1=2f1,∴f1=
0.2fx为偶函数.证明令x1=x2=-1,有f1=f-1+f-1,∴f-1=f1=
0.令x1=-1,x2=x,有f-x=f-1+fx,∴f-x=fx,∴fx为偶函数.3依题设有f4×4=f4+f4=2,由2知,fx是偶函数,∴fx-12⇔f|x-1|f16.又fx在0,+∞上是增函数.∴0|x-1|16,解之得-15x17且x≠
1.∴x的取值范围是-151∪117.PAGE7。