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(十一)函数与方程一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.若函数fx=ax+1在区间-11上存在一个零点,则实数a的取值范围是________.解析由题意知,f-1·f10,即1-a1+a0,解得a-1或a
1.答案-∞,-1∪1,+∞2.函数fx=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是________.解析函数fx在上是单调函数,又f=30,则根据零点存在性定理,应满足f1=4a+30,解得a-.答案3.2016·镇江调研设函数fx=则方程xfx-1=0根的个数为________.解析问题转化为求方程fx=解的个数,作出函数y=fx与y=的图象,如图所示.当x7时,由图象可知解的个数为
6.当x≥7时,fx恒成立,即fx=无解,所以根的个数为
6.答案64.已知函数fx=+a的零点为1,则实数a的值为______.解析由已知得f1=0,即+a=0,解得a=-.答案-5.若fx=则函数gx=fx-x的零点为________.解析要求函数gx=fx-x的零点,即求fx=x的根,∴或解得x=1+或x=
1.∴gx的零点为1+,
1.答案1+,1二保高考,全练题型做到高考达标1.2016·苏州调研已知函数fx=若函数gx=fx-2x恰有三个不同的零点,则实数m的取值范围是________.解析问题转化为gx=0,即方程fx=2x有三个不同的解,即或解得或或因为方程fx=2x有三个不同的解,所以解得1m≤
2.答案12]2.函数fx=的零点个数为________.解析法一由fx=0得或解得x=-2或x=e.因此函数fx共有2个零点.法二函数fx的图象如图所示,由图象知函数fx共有2个零点.答案23.2016·苏锡常镇调研设m∈N,若函数fx=2x-m-m+10存在整数零点,则m的取值集合为________.解析令fx=0,得m=.因为m∈N,则2x+10=0或2x+100,∈Z且2x+10能被+1整除并且商为自然数,所以有如下几种情况当2x+10=0,即x=-5时,m=0;当x=1时,m=3;当x=9时,m=14;当x=10时,m=
30.综上所述,m的取值集合为{031430}.答案{031430}4.设函数y=fx满足fx+2=fx,且当x∈[-11]时,fx=|x|,则函数gx=fx-sinx在区间[-π,π]上的零点个数为________.解析要求函数gx=fx-sinx的零点,即求方程fx-sinx=0的根,将其转化为fx=sinx的根,进一步转化为函数y=fx与函数y=sinx的图象交点的问题.在同一坐标系下,作出两个函数的图象如图所示,可知在区间[-π,π]上有3个交点.答案35.2015·南京三模已知a,t为正实数,函数fx=x2-2x+a,且对任意的x∈[0,t],都有fx∈[-a,a].若对每一个正实数a,记t的最大值为ga,则函数ga的值域为________.解析因为fx=x-12+a-1,且f0=f2=a;当a-1≥-a,即a≥时,此时,恒有[a-1,a]⊆[-a,a],故t∈02],从而ga=2;当a-1-a,即0a时,此时t∈01且t2-2t+a≥-a在0a上恒成立,即t≥1+不成立,舍去或t≤1-,则ga=1-,由于0a,故ga∈01.综上,ga的值域为01∪{2}.答案01∪{2}6.已知fx=gx=fx-x-b有且仅有一个零点时,b的取值范围是________.解析要使函数gx=fx--b有且仅有一个零点,只需要函数fx的图象与函数y=+b的图象有且仅有一个交点,通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图象图略并观察得,要符合题意,须满足b≥1或b=或b≤
0.答案-∞,0]∪[1,+∞∪7.已知0a1,k≠0,函数fx=若函数gx=fx-k有两个零点,则实数k的取值范围是______.解析函数gx=fx-k有两个零点,即fx-k=0有两个解,即y=fx与y=k的图象有两个交点.分k0和k0作出函数fx的图象.当0k1时,函数y=fx与y=k的图象有两个交点;当k=1时,有一个交点;当k1或k0时,没有交点,故当0k1时满足题意.答案018.2015·南通调研已知函数fx是定义在[1,+∞上的函数,且fx=则函数y=2xfx-3在区间12015上的零点个数为________.解析由题意得,当1≤x2时,fx=设x∈[2n-12n]n∈N*,则∈[12,又fx=f,
①当∈时,则x∈[2n-13·2n-2],所以fx=f=,所以2xfx-3=2x·-3=0,整理得x2-2·2n-2x-3·22n-4=
0.解得x=3·2n-2或x=-2n-
2.由于x∈[2n-13·2n-2],所以x=3·2n-2;
②当∈时,则x∈3·2n-22n,所以fx=f=,所以2xfx-3=2x·-3=0,整理得x2-4·2n-2x+3·22n-4=
0.解得x=3·2n-2或x=2n-
2.由于x∈3·2n-22n,所以无解.综上所述,x=3·2n-
2.由x=3·2n-2∈12015,得n≤11,所以函数y=2xfx-3在区间12015上零点的个数是
11.答案119.已知函数fx=x3-x2++.证明存在x0∈,使fx0=x
0.证明令gx=fx-x.∵g0=,g=f-=-,∴g0·g
0.又函数gx在上是连续曲线,∴存在x0∈,使gx0=0,即fx0=x
0.10.已知二次函数fx=x2+2a-1x+1-2a.1判断命题“对于任意的a∈R,方程fx=1必有实数根”的真假,并写出判断过程;2若y=fx在区间-10及内各有一个零点,求实数a的取值范围.解1“对于任意的a∈R,方程fx=1必有实数根”是真命题;依题意fx=1有实根,即x2+2a-1x-2a=0有实根,因为Δ=2a-12+8a=2a+12≥0对于任意的a∈R恒成立,即x2+2a-1x-2a=0必有实根,从而fx=1必有实根.2依题意知,要使y=fx在区间-10及内各有一个零点,只需即解得a.故实数a的取值范围为.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.已知x∈R,符号[x]表示不超过x的最大整数,若函数fx=-ax≠0有且仅有3个零点,则实数a的取值范围是________.解析当0x1时,fx=-a=-a;1≤x2时,fx=-a=-a;2≤x3时,fx=-a=-a;….fx=-a的图象是把y=的图象进行纵向平移而得到的,画出y=的图象,如图所示,通过数形结合可知a∈∪.答案∪2.2016·无锡调研已知函数y=fx是定义域为R的偶函数,当x≥0时,fx=若关于x的方程[fx]2+afx+=0,a∈R有且仅有8个不同的实数根,则实数a的取值范围是________.解析作出函数fx的图象如图.令t=fx,则关于x的方程[fx]2+afx+=0a∈R有且仅有8个不同的实数根可转化为关于x的方程t=fx在R上有4个不同的实数根,由函数图象可知,t∈时关于x的方程t=fx在R上有4个不同的实数根,故可转化为求关于实数t的方程t2+at+=0在t∈内有两个不等实根,令gt=t2+at+,则即解得a.答案3.已知二次函数fx的最小值为-4,且关于x的不等式fx≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.1求函数fx的解析式;2求函数gx=-4lnx的零点个数.解1∵fx是二次函数,且关于x的不等式fx≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},∴fx=ax+1x-3=ax2-2ax-3a,且a
0.∴fxmin=f1=-4a=-4,a=
1.故函数fx的解析式为fx=x2-2x-
3.2∵gx=-4lnx=x--4lnx-2x0,∴g′x=1+-=.令g′x=0,得x1=1,x2=
3.当x变化时,g′x,gx的取值变化情况如下x0111333,+∞g′x+0-0+gx极大值极小值当0x≤3时,gx≤g1=-
40.又因为gx在3,+∞上单调递增,因而gx在3,+∞上只有1个零点.故gx在0,+∞上仅有1个零点.PAGE8。