江苏专用2017届高三数学一轮总复习第八章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积课时跟踪检测理

课时跟踪检测

（四十一）空间几何体的表面积与体积一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为________．解析设球的半径为R，则表面积是16π，即4πR2＝16π，解得R＝

2.所以体积为πR3＝.答案2．若一个圆台的母线长l，上、下底面半径r1，r2满足2l＝r1＋r2，且侧面积为8π，则母线长l＝________.解析S圆台侧＝πr1＋r2l＝2πl2＝8π，所以l＝

2.答案23．在三角形ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的侧面积为________．解析依题意知几何体为底面半径为3，母线长为5的圆锥，所得几何体的侧面积等于π×3×5＝15π.答案15π4．棱长为a的正方体有一内切球，该球的表面积为________．解析由题意知球的直径2R＝a，∴R＝.∴S＝4πR2＝4π×＝πa

2.答案πa25．如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为3，D为CC1上一点，且CD＝2DC1，则三棱锥A1­BCD的体积________．解析过A1作A1H⊥B1C1，垂足为H.因为平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，所以A1H⊥平面BB1C1C，所以VA1­BCD＝××3××2×3＝.答案二保高考，全练题型做到高考达标1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．解析设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝πr＋3r·3＝84π，解得r＝

7.答案72．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析因为半圆面的面积为πl2＝2π，所以l2＝4，解得l＝2，即圆锥的母线为l＝2，底面圆的周长2πr＝πl＝2π，所以圆锥的底面半径r＝1，所以圆锥的高h＝＝，所以圆锥的体积为πr2h＝×π×＝.答案3．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为时，其高的值为________．解析设正六棱柱的高为h，则可得2＋＝32，解得h＝

2.答案24．已知正六棱柱的侧面积为72cm2，高为6cm，那么它的体积为________cm

3.解析设正六棱柱的底面边长为xcm，由题意得6x·6＝72，所以x＝2cm，于是其体积V＝×22×6×6＝36cm

3.答案365．2016·南通调研一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为________cm

2.解析作出轴截面图，其中圆的内接矩形为正四棱柱的对角面，易求棱柱的侧棱长为，所以S表＝4×1×＋2×12＝2＋4cm2．答案2＋46．已知正三棱锥S­ABC，D，E分别是底面边AB，AC的中点，则四棱锥S­BCED与三棱锥S­ABC的体积之比为________．解析设正三棱锥S­ABC底面△ABC面积为4S.由＝2，所以，S△ADE＝S，S四边形BCDE＝3S，因两个棱锥的高相同，所以VS­BCED∶VS­ABC＝3∶

4.答案3∶47．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O­ABCD的体积为________．解析如图，连结AC，BD交于H，连结OH.在矩形ABCD中，由AB＝6，BC＝2可得BD＝4，所以BH＝2，在Rt△OBH中，由OB＝4，所以OH＝2，所以四棱锥O­ABCD的体积V＝×6×2×2＝

8.答案88．2016·盐城调研在半径为2的球面上有不同的四点A，B，C，D，若AB＝AC＝AD＝2，则平面BCD被球所截得图形的面积为________．解析过点A向平面BCD作垂线，垂足为M，则M是△BCD的外心，而外接球球心O位于直线AM上，连结BM，设△BCD所在截面圆半径为r，∵OA＝OB＝2＝AB，∴∠BAO＝60°，在Rt△ABM中，r＝2sin60°＝，∴所求面积S＝πr2＝3π.答案3π9．一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切．将球取出后，容器内的水深是多少？解如图，作轴截面，设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后，水面高PH＝x.根据题设条件可得AC＝r，PC＝3r，则以AB为底面直径的圆锥容积为V圆锥＝π×AC2×PC＝πr2×3r＝3πr

3.V球＝πr

3.球取出后，水面下降到EF，水的体积为V水＝π×EH2×PH＝πPHtan30°2PH＝πx

3.又V水＝V圆锥－V球，则πx3＝3πr3－πr3，解得x＝r.故球取出后，容器内水深为r.

10.2016·安徽六校联考如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积．解法一如图所示，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连结DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，∵三棱锥高为，直三棱柱柱高为1，AG＝＝，取AD中点M，则MG＝，∴S△AGD＝×1×＝，∴V＝×1＋2×××＝.法二如图所示，取EF的中点P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥P­AED和三棱锥P­BCF都是棱长为1的正四面体，四棱锥P­ABCD为棱长为1的正四棱锥．∴V＝×12×＋2×××＝.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′­BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′­BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为________．解析由图示可得BD＝A′C＝，BC＝，△DBC与△A′BC都是以BC为斜边的直角三角形，由此可得BC中点到四个点A′，B，C，D的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为，所以该外接球的表面积S＝4π×2＝3π.答案3π2．2015·南京二模一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6cm时，该容器的容积为________cm

3.解析如图所示，由题意可知，这个正四棱锥形容器的底面是以6cm为边长的正方形，侧面的斜高PM＝5cm，高PO＝＝＝4cm，所以所求容积为V＝×62×4＝48cm3．答案

483.如图，在三棱锥D­ABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，求三棱锥D­ABC的体积的最大值．解由题意知，线段AB＋BD与线段AC＋CD的长度是定值，因为棱AD与棱BC相互垂直．设d为AD到BC的距离．则VD­ABC＝AD·BC×d××＝2d，当d最大时，VD­ABC体积最大，∵AB＋BD＝AC＋CD＝10，∴当AB＝BD＝AC＝CD＝5时，d有最大值＝.此时V＝

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