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课时跟踪检测
(四十一)空间几何体的表面积与体积一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为________.解析设球的半径为R,则表面积是16π,即4πR2=16π,解得R=
2.所以体积为πR3=.答案2.若一个圆台的母线长l,上、下底面半径r1,r2满足2l=r1+r2,且侧面积为8π,则母线长l=________.解析S圆台侧=πr1+r2l=2πl2=8π,所以l=
2.答案23.在三角形ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,若将△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的侧面积为________.解析依题意知几何体为底面半径为3,母线长为5的圆锥,所得几何体的侧面积等于π×3×5=15π.答案15π4.棱长为a的正方体有一内切球,该球的表面积为________.解析由题意知球的直径2R=a,∴R=.∴S=4πR2=4π×=πa
2.答案πa25.如图,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为3,D为CC1上一点,且CD=2DC1,则三棱锥A1BCD的体积________.解析过A1作A1H⊥B1C1,垂足为H.因为平面A1B1C1⊥平面BB1C1C,所以A1H⊥平面BB1C1C,所以VA1BCD=××3××2×3=.答案二保高考,全练题型做到高考达标1.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为________.解析设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r.由S=πr+3r·3=84π,解得r=
7.答案72.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为________.解析因为半圆面的面积为πl2=2π,所以l2=4,解得l=2,即圆锥的母线为l=2,底面圆的周长2πr=πl=2π,所以圆锥的底面半径r=1,所以圆锥的高h==,所以圆锥的体积为πr2h=×π×=.答案3.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的底面边长为时,其高的值为________.解析设正六棱柱的高为h,则可得2+=32,解得h=
2.答案24.已知正六棱柱的侧面积为72cm2,高为6cm,那么它的体积为________cm
3.解析设正六棱柱的底面边长为xcm,由题意得6x·6=72,所以x=2cm,于是其体积V=×22×6×6=36cm
3.答案365.2016·南通调研一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上,如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为________cm
2.解析作出轴截面图,其中圆的内接矩形为正四棱柱的对角面,易求棱柱的侧棱长为,所以S表=4×1×+2×12=2+4cm2.答案2+46.已知正三棱锥SABC,D,E分别是底面边AB,AC的中点,则四棱锥SBCED与三棱锥SABC的体积之比为________.解析设正三棱锥SABC底面△ABC面积为4S.由=2,所以,S△ADE=S,S四边形BCDE=3S,因两个棱锥的高相同,所以VSBCED∶VSABC=3∶
4.答案3∶47.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=2,则棱锥OABCD的体积为________.解析如图,连结AC,BD交于H,连结OH.在矩形ABCD中,由AB=6,BC=2可得BD=4,所以BH=2,在Rt△OBH中,由OB=4,所以OH=2,所以四棱锥OABCD的体积V=×6×2×2=
8.答案88.2016·盐城调研在半径为2的球面上有不同的四点A,B,C,D,若AB=AC=AD=2,则平面BCD被球所截得图形的面积为________.解析过点A向平面BCD作垂线,垂足为M,则M是△BCD的外心,而外接球球心O位于直线AM上,连结BM,设△BCD所在截面圆半径为r,∵OA=OB=2=AB,∴∠BAO=60°,在Rt△ABM中,r=2sin60°=,∴所求面积S=πr2=3π.答案3π9.一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并向容器内注水,使水面恰好与铁球面相切.将球取出后,容器内的水深是多少?解如图,作轴截面,设球未取出时,水面高PC=h,球取出后,水面高PH=x.根据题设条件可得AC=r,PC=3r,则以AB为底面直径的圆锥容积为V圆锥=π×AC2×PC=πr2×3r=3πr
3.V球=πr
3.球取出后,水面下降到EF,水的体积为V水=π×EH2×PH=πPHtan30°2PH=πx
3.又V水=V圆锥-V球,则πx3=3πr3-πr3,解得x=r.故球取出后,容器内水深为r.
10.2016·安徽六校联考如图所示,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,求该多面体的体积.解法一如图所示,分别过A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连结DG,CH,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱,∵三棱锥高为,直三棱柱柱高为1,AG==,取AD中点M,则MG=,∴S△AGD=×1×=,∴V=×1+2×××=.法二如图所示,取EF的中点P,则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥,易知三棱锥PAED和三棱锥PBCF都是棱长为1的正四面体,四棱锥PABCD为棱长为1的正四棱锥.∴V=×12×+2×××=.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.如图,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A′BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,若四面体A′BCD的顶点在同一个球面上,则该球的表面积为________.解析由图示可得BD=A′C=,BC=,△DBC与△A′BC都是以BC为斜边的直角三角形,由此可得BC中点到四个点A′,B,C,D的距离相等,即该三棱锥的外接球的直径为,所以该外接球的表面积S=4π×2=3π.答案3π2.2015·南京二模一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面,以它们的公共顶点P为顶点,加工成一个如图所示的正四棱锥形容器.当x=6cm时,该容器的容积为________cm
3.解析如图所示,由题意可知,这个正四棱锥形容器的底面是以6cm为边长的正方形,侧面的斜高PM=5cm,高PO===4cm,所以所求容积为V=×62×4=48cm3.答案
483.如图,在三棱锥DABC中,已知BC⊥AD,BC=2,AD=6,AB+BD=AC+CD=10,求三棱锥DABC的体积的最大值.解由题意知,线段AB+BD与线段AC+CD的长度是定值,因为棱AD与棱BC相互垂直.设d为AD到BC的距离.则VDABC=AD·BC×d××=2d,当d最大时,VDABC体积最大,∵AB+BD=AC+CD=10,∴当AB=BD=AC=CD=5时,d有最大值=.此时V=
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