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课时跟踪检测
(五十九)古典概型一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.2015·扬州模拟把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,直线l1ax+by=4,直线l2x+2y=2,则l1∥l2的概率为________.解析把一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,共有36种结果.要使直线l1ax+by=4与直线l2x+2y=2平行,则有a=1,b=2或a=3,b=6,即12,36,共2种结果,所以两条直线平行的概率是=.答案2.4张卡片上分别写有数字1234,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为________.解析因为从4张卡片中任取出2张的情况为12,13,14,23,24,34,共6种.其中2张卡片上数字和为偶数的情况为13,24共2种,所以2张卡片上的数字之和为偶数的概率为.答案3.在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则构成的四边形是梯形的概率为________.解析如图,在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点,共有15种选法,其中构成的四边形是梯形的有ABEF,BCDE,ABCF,CDEF,ABCD,ADEF,共6种情况,故构成的四边形是梯形的概率P==.答案
4.如图所示方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是1234中的任何一个,允许重复,则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为________.解析只考虑A,B两个方格的填法,不考虑大小,A,B两个方格有16种填法.要使填入A方格的数字大于B方格的数字,则从1234中选2个数字,大的放入A格,小的放入B格,有43,42,41,32,31,21,共6种,故填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为=.答案5.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是________.解析从5个球中任取三个共有10种结果,没有白球只有一种结果,所以至少有一个白球的概率为1-=.答案二保高考,全练题型做到高考达标1.2016·启东检测有5根细木棒,长度分别为13579,从中任取3根,能构成三角形的概率是________.解析从5根细木棒中任取3根共有10种取法,能构成三角形的有3种取法357;579;
379.所以所求概率为P=.答案2.设m,n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+mx+n=0有实根的概率为________.解析先后两次出现的点数中有5的情况有15,25,35,45,55,65,51,52,53,54,56,共11种.其中使方程x2+mx+n=0有实根的情况有55,65,51,52,53,54,56,共7种.故所求概率为.答案3.一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当ab,bc时称为“凹数”如213312等.若a,b,c∈{1234},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率是________.解析由123组成的三位数有123132213231312321,共6个;由124组成的三位数有124142214241412421,共6个;由134组成的三位数有134143314341413431,共6个;由234组成的三位数有234243324342423432,共6个.所以共有6+6+6+6=24个三位数.当b=1时,有214213314412312413,共6个“凹数”;当b=2时,有324423,共2个“凹数”.故这个三位数为“凹数”的概率P==.答案4.设集合A={12},B={123},分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点Pa,b,记“点Pa,b落在直线x+y=n上”为事件Cn2≤n≤5,n∈N,若事件Cn发生的概率最大,则n的所有可能值为________.解析分别从集合A和B中随机取出一个数,确定平面上的一个点Pa,b,则有11,12,13,21,22,23,共6种情况,a+b=2的有1种情况,a+b=3的有2种情况,a+b=4的有2种情况,a+b=5的有1种情况,所以可知若事件Cn发生的概率最大,则n的所有可能值为3和
4.答案3和45.记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m,n,向量a=m,n与向量b=10的夹角为α,则α∈的概率为________.解析法一依题意,向量a=m,n共有6×6=36个,其中满足向量a=m,n与向量b=10的夹角α∈,即nm的m,n可根据n的具体取值进行分类计数第一类,当n=1时,m有5个不同的取值;第二类,当n=2时,m有4个不同的取值;第三类,当n=3时,m有3个不同的取值;第四类,当n=4时,m有2个不同的取值;第五类,当n=5时,m有1个取值,因此满足向量a=m,n与向量b=10的夹角α∈的m,n共有1+2+3+4+5=15个,所以所求概率为=.法二依题意可得向量a=m,n共有6×6=36个,其中满足向量a=m,n与向量b=10的夹角α∈,即nm的向量a=m,n有=15个,所以所求概率为=.答案6.2016·南京三模现有红心123和黑桃45共五张牌,从这五张牌中随机取2张牌,则所取2张牌均为红心的概率为________.解析所有的基本事件有12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,共10个,其中2张牌均为红心的事件有12,13,23,共3个,故所求的概率为P=.答案7.某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为a,b,则双曲线-=1的离心率e的概率是________.解析由e=,得b2a.当a=1时,b=3456四种情况;当a=2时,b=56两种情况,总共有6种情况.又同时掷两颗骰子,得到的点数a,b共有36种结果.∴所求事件的概率P==.答案8.2016·常州一模现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1和B1不全被选中的概率为________.解析从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所有可能的结果组成的12个基本事件为A1,B1,C1,A1,B1,C2,A1,B2,C1,A1,B2,C2,A2,B1,C1,A2,B1,C2,A2,B2,C1,A2,B2,C2,A3,B1,C1,A3,B1,C2,A3,B2,C1,A3,B2,C2.设“A1和B1不全被选中”为事件N,则其对立事件表示“A1和B1全被选中”,由于={A1,B1,C1,A1,B1,C2},所以P==,由对立事件的概率计算公式得PN=1-P=1-=.答案9.2016·兰州双基测试一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字123,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取一张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.1求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;2求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.解1由题意,a,b,c所有可能的结果为111,112,113,121,122,123,131,132,133,211,212,213,221,222,223,231,232,233,311,312,313,321,322,323,331,332,333,共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包括112,123,213,共3种,所以PA==,因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.2设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件包括111,222,333,共3种,所以PB=1-P=1-=,因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.10.2016·深圳一调一个袋中有4个大小相同的小球,其中红球1个,白球2个,黑球1个,现从袋中有放回地取球,每次随机取一个.1求连续取两次都是白球的概率;2假设取一个红球记2分,取一个白球记1分,取一个黑球记0分,若连续取三次,则分数之和为4分的概率是多少?解1连续取两次的基本事件有红,红,红,白1,红,白2,红,黑;白1,红,白1,白1,白1,白2,白1,黑;白2,红,白2,白1,白2,白2,白2,黑;黑,红,黑,白1,黑,白2,黑,黑,共16个.连续取两次都是白球的基本事件有白1,白1,白1,白2,白2,白1,白2,白2,共4个,故所求概率为=.2连续取三次的基本事件有红,红,红,红,红,白1,红,红,白2,红,红,黑;红,白1,红,红,白1,白1,红,白1,白2,红,白1,黑,…,共64个.因为取一个红球记2分,取一个白球记1分,取一个黑球记0分,若连续取三次,则分数之和为4分的基本事件有红,白1,白1,红,白1,白2,红,白2,白1,红,白2,白2,白1,红,白1,白1,红,白2,白2,红,白1,白2,红,白2,白1,白1,红,白1,白2,红,白2,白1,红,白2,白2,红,红,红,黑,红,黑,红,黑,红,红,共15个.故所求概率为.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.已知函数fx=x3+ax2+b2x+1,若a是从123三个数中任取的一个数,b是从012三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为________.解析对函数fx求导可得f′x=x2+2ax+b2,要满足题意需x2+2ax+b2=0有两个不等实根,即Δ=4a2-b20,即ab.又a,b的取法共有9种,其中满足ab的有10,20,21,30,31,32,共6种,故所求的概率P==.答案2.在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球,球上分别标有数字
12345.甲先从箱子中摸出一个小球,记下球上所标数字后,再将该小球放回箱子中摇匀后,乙从该箱子中摸出一个小球.1若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜若数字相同则为平局,求甲获胜的概率;2若规定两人摸到的球上所标数字之和小于6,则甲获胜,否则乙获胜,这样规定公平吗?解用x,yx表示甲摸到的数字,y表示乙摸到的数字表示甲、乙各摸一球构成的基本事件,则基本事件有11,12,13,14,15,21,22,23,24,25,31,32,33,34,35,41,42,43,44,45,51,52,53,54,55,共25个.1设甲获胜的事件为A,则事件A包含的基本事件有21,31,32,41,42,43,51,52,53,54,共10个.则PA==.2设甲获胜的事件为B,乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有11,12,13,14,21,22,23,31,32,41,共10个.则PB==,所以PC=1-PB=.因为PB≠PC,所以这样规定不公平.PAGE6。