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分层限时跟踪练三十七限时40分钟
一、选择题1.一个几何体的三视图如图7212所示,其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆,则这个几何体的体积是 图7212A.16π B.14π C.12π D.8π【解析】 由三视图可知,该几何体为一个球切去四分之一个球后剩余部分,由于球的半径为2,所以这个几何体体积为×π×23=8π.【答案】 D2.2015·北京高考某三棱锥的三视图如图7213所示,则该三棱锥的表面积是 图7213A.2+B.4+C.2+2D.5【解析】 作出三棱锥的示意图如图,在△ABC中,作AB边上的高CD,连接SD.在三棱锥SABC中,SC⊥底面ABC,SC=1,底面三角形ABC是等腰三角形,AC=BC,AB边上的高CD=2,AD=BD=1,斜高SD=,AC=BC=.∴S表=S△ABC+S△SAC+S△SBC+S△SAB=×2×2+×1×+×1×+×2×=2+
2.【答案】 C3.2015·全国卷Ⅱ一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图7214,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 图7214A.B.C.D.【解析】 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分,如图所示,截去部分是一个三棱锥.设正方体的棱长为1,则三棱锥的体积为V1=××1×1×1=,剩余部分的体积V2=13-=.所以==,故选D.【答案】 D4.2015·安徽高考一个四面体的三视图如图7215所示,则该四面体的表面积是 图7215A.1+B.2+C.1+2D.2【解析】 根据三视图还原几何体如图所示,其中侧面ABD⊥底面BCD,另两侧面ABC、ACD为等边三角形,则S表面积=2××2×1+2××2=2+.【答案】 B5.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为 A.B.16πC.9πD.【解析】 如图所示,设球半径为R,底面中心为O′且球心为O,∵正四棱锥PABCD中AB=2,∴AO′=.∵PO′=4,∴在Rt△AOO′中,AO2=AO′2+OO′2,∴R2=2+4-R2,解得R=,∴该球的表面积为4πR2=4π×2=,故选A.【答案】 A
二、填空题6.如图7216,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1EDF的体积为.图7216【解析】 VD1EDF=VFDD1E=·AB=××1×1×1=.【答案】 7.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是.【解析】 设甲、乙两圆柱的底面半径分别为r1,r2,母线长分别为l1,l2,则由=得=.又两圆柱侧面积相等,即2πr1l1=2πr2l2,则==,所以==×=.【答案】 8.已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图7217所示,则该几何体的体积是.图7217【解析】 根据三视图,画出其直观图,几何体由正方体切割而成,即正方体截去一个棱台.如图所示.其中正方体棱长为2,AF=AE=1,故所求几何体体积为V=23-×2××1×1+×2×2+=.【答案】
三、解答题9.2015·荥阳月考已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π,它位于球心的同一侧,且相距为1,求这个球的体积.【解】 如图,设以r1为半径的截面面积为5π,圆心为O1,以r2为半径的截面面积为8π,圆心为O2,O1O2=1,球的半径为R,设OO2=x,可得下列关系式r=R2-x2,πr=πR2-x2=8π,r=R2-x+12,πr=π[R2-x+12]=5π,∴R2-x2=8,R2-x+12=5,解得R=3,∴球的体积为V=πR3=π×33=36π.10.2015·全国卷Ⅱ如图7218,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=
4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.图72181在图中画出这个正方形不必说明画法和理由;2求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.【解】 1交线围成的正方形EHGF如图所示.2如图,作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=
8.因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=
10.于是MH==6,AH=10,HB=
6.故S四边形A1EHA=×4+10×8=56,S四边形EB1BH=×12+6×8=
72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为.1.2015·山东高考在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=
2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A.B.C.D.2π【解析】 过点C作CE垂直AD所在直线于点E,梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径,线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径,ED为高的圆锥,如图所示,该几何体的体积为V=V圆柱-V圆锥=π·AB2·BC-·π·CE2·DE=π×12×2-π×12×1=,选C.【答案】 C2.如图7219,直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为 图7219A.2B.1C.D.【解析】 由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为截面圆的直径,∴∠BAC=90°,△ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x,在Rt△OMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1R为球的半径,∴2+2=1,即x=,则AB=AC=1,∴S矩形ABB1A1=×1=.【答案】 C3.圆锥的全面积为15πcm2,侧面展开图的圆心角为60°,则该圆锥的体积为cm
3.【解析】 设底面圆的半径为r,母线长为a,则侧面积为×2πra=πra.由题意得解得故圆锥的高h==5,所以体积V=πr2h=π××5=πcm3.【答案】 π4.已知正四面体的俯视图如图7220所示,其中四边形ABCD是边长为2的正方形,则这个正四面体的表面积为,体积为.图7220【解析】 由题意知正四面体的直观图EACF补成正方体如图所示.由正方体棱长为2,知正四面体的棱长为2,正四面体表面积为×22×4=
8.点E到平面ACF的距离为=.正四面体的体积为×××22=.【答案】 8 5.如图7221所示,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,求该多面体的体积.图7221【解】 如图所示,分别过A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱,∵三棱锥高为,直三棱柱高为1,AG==,取AD中点M,则MG=,∴S△AGD=×1×=,∴V=×1+2×××=.6.如图7222,已知平行四边形ABCD中,BC=2,BD⊥CD,四边形ADEF为正方形,平面ADEF⊥平面ABCD,G,H分别是DF,BE的中点.记CD=x,Vx表示四棱锥FABCD的体积.图72221求Vx的表达式;2求Vx的最大值.【解】 1∵平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD且FA⊥AD,∴FA⊥平面ABCD.∵BD⊥CD,BC=2,CD=x,∴FA=2,BD=0<x<2,∴S▱ABCD=CD·BD=x,∴Vx=S▱ABCD·FA=x0<x<2.2Vx=x==.∵0<x<2,∴0<x2<4,∴当x2=2,即x=时,Vx取得最大值,且Vxmax=.PAGE8。