还剩8页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
分层限时跟踪练四十限时40分钟
一、选择题1.给出以下命题,其中错误的是 A.如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面B.垂直于同一平面的两条直线互相平行C.垂直于同一直线的两个平面互相平行D.两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面【解析】 一条直线可以垂直于一个平面内的无数条平行直线,但这条直线不垂直这个平面.【答案】 A2.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是 A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥αC.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥α,m∥α,则l∥m【解析】 根据定理两条平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面,可知B正确.【答案】 B3.2015·葫芦岛模拟已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则 A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【解析】 由m⊥平面α,直线l满足l⊥m,且l⊄α,所以l∥α,又n⊥平面β,l⊥n,l⊄β,所以l∥β.由直线m,n为异面直线,且m⊥平面α,n⊥平面β,则α与β相交,否则,若α∥β则推出m∥n,与m,n异面矛盾.故α与β相交,且交线平行于l.【答案】 D4.2015·长春模拟设α、β、γ为平面,m、n、l为直线,则m⊥β的一个充分条件是 A.α⊥β,α∩β=l,m⊥lB.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γC.α⊥γ,β⊥γ,m⊥αD.n⊥α,n⊥β,m⊥α【解析】 α⊥β,α∩β=l,m⊥l,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件m⊂α,故不正确;α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ,而α与β可能平行,也可能相交,则m与β不一定垂直,故不正确;α⊥γ,β⊥γ,m⊥α,而α与β可能平行,也可能相交,则m与β不一定垂直,故不正确;n⊥α,n⊥β⇒α∥β,而m⊥α,则m⊥β,故正确,故选D.【答案】 D5.如图7512,四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是 图7512A.A′C⊥BDB.∠BA′C=90°C.CA′与平面A′BD所成的角为30°D.四面体A′BCD的体积为【解析】 取BD的中点O,∵A′B=A′D,∴A′O⊥BD,又平面A′BD⊥平面BCD,平面A′BD∩平面BCD=BD,∴A′O⊥平面BCD,∵CD⊥BD,∴OC不垂直于BD.假设A′C⊥BD,∵OC为A′C在平面BCD内的射影,∴OC⊥BD,矛盾,∴A′C不垂直于BD,A错误;∵CD⊥BD,平面A′BD⊥平面BCD,∴CD⊥平面A′BD,A′C在平面A′BD内的射影为A′D,∵A′B=A′D=1,BD=,∴A′B⊥A′D,A′B⊥A′C,B正确;∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角,∠CA′D=45°,C错误;VA′BCD=S△A′BD·CD=,D错误.【答案】 B
二、填空题6.四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,则这个四棱锥的五个面中两两垂直的共有对.【解析】 因为AD⊥AB,AD⊥PA且PA∩AB=A,可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD,由面面垂直的判定定理可得,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PCD⊥平面PAD,平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,共有5对.【答案】 57.四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,顶点在底面上的射影是底面正方形的中心,一个对角面的面积是一个侧面面积的倍,则侧面与底面所成锐二面角等于.【解析】 如图所示,根据=,得=,即为侧面与底面所成锐二面角的正弦值,故侧面与底面所成锐二面角为.【答案】 8.2015·衡水联考已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为.【解析】 如图所示,∵AA1⊥底面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,∵平面ABC∥平面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面ABC所成角.∵S△A1B1C1=×2=,∴V三棱柱ABCA1B1C1=AA1×S△A1B1C1=AA1=,解得AA1=.又P为底面正三角形A1B1C1的中心,∴A1P=A1D=××sin60°=1,在Rt△AA1P中,tan∠APA1==,∴∠APA1=.【答案】
三、解答题
9.2015·山东高考如图7513,三棱台DEFABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.图75131求证BD∥平面FGH;2若CF⊥BC,AB⊥BC,求证平面BCD⊥平面EGH.【证明】 1在三棱台DEFABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形,可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.2连接HE.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GH∥AB.由AB⊥BC,得GH⊥BC.又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形.所以CF∥HE.又CF⊥BC,所以HE⊥BC.又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.10.已知四棱锥PABCD中,底面ABCD是直角梯形,平面PAB⊥平面ABCD,R、S分别是棱AB、PC的中点,AD∥BC,AD⊥AB,PA⊥PB,AB=BC=2AD=2PA=2,图75141求证平面PAD⊥平面PBC;2求证RS∥平面PAD;3若点Q在线段AB上,且CD⊥平面PDQ,求三棱锥QPCD的体积.【解】 1证明∵平面PAB⊥平面ABCD且相交于直线AB,AD⊂平面ABCD,AD⊥AB,∴AD⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,∴PB⊥AD,又PB⊥PA,AD∩PA=A,∴PB⊥平面PAD.∵PB⊂平面PBC,∴平面PAD⊥平面PBC.2证明取PB中点T,连接RT、ST,∵RT∥PA,ST∥BC,且PB⊥PA,PB⊥BC,∴PB⊥RT,PB⊥ST,又RT∩ST=T,∴PB⊥平面RST,又PB⊥平面PAD,∴平面RST∥平面PAD,又RS⊂平面RST,∴RS∥平面PAD.3∵CD⊥平面PDQ,∴PQ⊥CD,又PQ⊥AD,CD∩AD=D,∴PQ⊥平面ABCD.∴PQ⊥AB,由已知得AQ=,PQ=,∴DQ=,又CD=,CD⊥QD,∴S△CQD=CD·DQ=,∴三棱锥QPCD的体积V=S△CQD·PQ=××=.1.如图7515,直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为 图7515A.B.1C.D.2【解析】 设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF.由已知可以得A1B1=,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.又2×=h,所以h=,DE=.在Rt△DB1E中,B1E==.由面积相等得×=x,得x=.【答案】 A2.2015·石家庄模拟在多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2AB,F为棱CE上异于点C、E的动点,则下列说法正确的有 图7516
①直线DE与平面ABF平行;
②当F为CE的中点时,BF⊥平面CDE;
③存在点F使得直线BF与AC平行;
④存在点F使得DF⊥BC.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】
①∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,∴DE∥AB,而DE⊄平面ABF,AB⊂平面ABF,∴直线DE与平面ABF平行,正确;
②当F为CE的中点时,取CD的中点M,连接AM,MF,则MF綊DE,又AB綊DE,∴AB綊MF,∴四边形ABFM是平行四边形,BF∥AM.而AM⊥CD,DE⊥AM,CD∩DE=D,∴AM⊥平面CDE,∴BF⊥平面CDE,因此正确;
③点C是平面ABF外的一点,因此BF与AC为异面直线,不可能平行,不正确;
④由
②可得当F为CE的中点时,BF⊥DF,DF⊥CE,BF∩CE=F,∵DF⊥平面BCE,∴存在点F使得DF⊥BC,正确.综上可得
①②④正确.【答案】 C3.正四棱锥SABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为.【解析】 如图,取CD的中点F、SC的中点G,连接EF,EG,FG,设EF交AC于点H,易知AC⊥EF,又GH∥SO,∴GH⊥平面ABCD,∴AC⊥GH.又GH∩EF=H,∴AC⊥平面EFG.故点P的轨迹是△EFG,其周长为+.【答案】 +4.已知△ABC的三边长分别为AB=5,BC=4,AC=3,M是AB边上的点,P是平面ABC外一点.给出下列四个命题
①若PA⊥平面ABC,则三棱锥PABC的四个面都是直角三角形;
②若PM⊥平面ABC,且M是AB边的中点,则有PA=PB=PC;
③若PC=5,PC⊥平面ABC,则△PCM面积的最小值为;
④若PC=5,P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心,则点P到平面ABC的距离为.其中正确命题的序号是.把你认为正确命题的序号都填上【解析】 由题意知AC⊥BC,对于
①,若PA⊥平面ABC,则PA⊥BC,又PA∩AC=A,∵BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC,因此该三棱锥PABC的四个面均为直角三角形,
①正确;对于
②,由已知得M为△ABC的外心,所以MA=MB=MC,∵PM⊥平面ABC,则PM⊥MA,PM⊥MB,PM⊥MC,由三角形全等可知PA=PB=PC,故
②正确;对于
③,要使△PCM的面积最小,只需CM最短,在Rt△ABC中,CMmin=,∴S△PCMmin=××5=6,故
③错误;对于
④,设P点在平面ABC内的射影为O,且O为△ABC的内心,由平面几何知识得△ABC的内切圆半径r=1,且OC=,在Rt△POC中,PO==,∴点P到平面ABC的距离为,故
④正确.【答案】
①②④5.2015·陕西高考如图75171,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图75172中△A1BE的位置,得到四棱锥A1BCDE.1证明CD⊥平面A1OC;2当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1BCDE的体积为36,求a的值.图7517【解】 1证明在题图1中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=,所以BE⊥AC.即在题图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,从而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.2由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由1可得A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE.即A1O是四棱锥A1BCDE的高.由题图1知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2,从而四棱锥A1BCDE的体积为V=S·A1O=×a2×a=a
3.由a3=36,得a=
6.6.2015·天津高考如图7518,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点.图75181求证EF∥平面A1B1BA;2求证平面AEA1⊥平面BCB1;3求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.【解】 1证明如图,连接A1B.在△A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,所以EF∥BA
1.又因为EF⊄平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.2证明因为AB=AC,E为BC的中点,所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,所以BB1⊥平面ABC,从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1=B,所以AE⊥平面BCB
1.又因为AE⊂平面AEA1,所以平面AEA1⊥平面BCB
1.3取BB1的中点M和B1C的中点N,连接A1M,A1N,NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点,所以NE∥B1B,NE=B1B,故NE∥A1A且NE=A1A,所以A1N∥AE,且A1N=AE.又因为AE⊥平面BCB1,所以A1N⊥平面BCB1,从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角.在△ABC中,可得AE=2,所以A1N=AE=
2.因为BM∥AA1,BM=AA1,所以A1M∥AB,A1M=AB.又由AB⊥BB1,有A1M⊥BB
1.在Rt△A1MB1中,可得A1B1==
4.在Rt△A1NB1中,sin∠A1B1N==,因此∠A1B1N=30°.所以,直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.PAGE10。