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分层限时跟踪练二十一限时40分钟
一、选择题1.2014·浙江高考为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=cos3x的图象 A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位【解析】 因为y=sin3x+cos3x=sin=sin,又y=cos3x=sin=sin,所以应由y=cos3x的图象向右平移个单位得到.【答案】 C2.2015·陕西高考如图357,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深单位m的最大值为 图357A.5 B.6 C.8 D.10【解析】 分析三角函数图象,根据最小值求k,再求最大值.根据图象得函数的最小值为2,有-3+k=2,k=5,最大值为3+k=
8.【答案】 C3.2015·济南模拟将函数y=cos2x的图象向左平移个单位,得到函数y=fx·cosx的图象,则fx的表达式可以是 A.fx=-2sinxB.fx=2sinxC.fx=sin2xD.fx=sin2x+cos2x【解析】 将函数y=cos2x的图象向左平移个单位,得到函数y=cos=cos=-sin2x的图象,因为-sin2x=-2sinxcosx,所以fx=-2sinx.【答案】 A4.2015·太原模拟已知函数fx=sinωx+φ的最小正周期是π,若将fx的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称,则函数fx的图象 A.关于直线x=对称B.关于直线x=对称C.关于点对称D.关于点对称【解析】 ∵fx的最小正周期为π,∴=π,ω=2,∴fx的图象向右平移个单位后得到gx=sin=sin的图象,又gx的图象关于原点对称,∴-+φ=kπ,k∈Z,∴φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<,∴<,∴k=-1,φ=-,∴fx=sin.当x=时,2x-=-.∴A、C错误;当x=时,2x-=,∴B正确,D错误.【答案】 B5.2015·湖南高考将函数fx=sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数gx的图象.若对满足|fx1-gx2|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ= A.B.C.D.【解析】 因为gx=sin2x-φ=sin2x-2φ,所以|fx1-gx2|=|sin2x1-sin2x2-2φ|=
2.因为-1≤sin2x1≤1,-1≤sin2x2-2φ≤1,所以sin2x1和sin2x2-2φ的值中,一个为1,另一个为-1,不妨取sin2x1=1,sin2x2-2φ=-1,则2x1=2k1π+,k1∈Z2x2-2φ=2k2π-,k2∈Z2x1-2x2+2φ=2k1-k2π+π,k1-k2∈Z,得|x1-x2|=.因为0φ,所以0-φ,故当k1-k2=0时,|x1-x2|min=-φ=,则φ=,故选D.【答案】 D
二、填空题6.2014·重庆高考将函数fx=sinωx+φ图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象,则f=.【解析】 将y=sinx的图象向左平移个单位长度可得y=sin的图象,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍可得y=sin的图象,故fx=sin.所以f=sin=sin=.【答案】 图3587.2015·扬州模拟已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>00<φ<的部分图象如图358所示.当x∈时,函数y=fx-1+fx的值域为.【解析】 由题图得,A=2,=-=1,得T=4,ω=,则fx=2sin.由f=2sin=2,得sin=1,所以+φ=2kπ+k∈Z,又0<φ<,得φ=,所以fx=2sin,y=fx-1+fx=2sin-2cos=2sin.因为x∈,故≤x-≤,则-≤sin≤1,即-≤y≤2,所以函数y=fx-1+fx的值域为[-,2].【答案】 [-,2]8.已知函数fx=Asinωx+φ其中A>0,ω>00<φ<的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为M,则fx的解析式为.【解析】 由最低点为M得A=
2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=,即T=π,ω===2,由点M在图象上得2sin=-2,即sin=-1,故+φ=2kπ-,k∈Z,所以φ=2kπ-,k∈Z,又φ∈,所以φ=.故fx=2sin.【答案】 fx=2sin
三、解答题9.2015·临沂模拟已知函数fx=4cosx·sin+a的最大值为
2.1求a的值及fx的最小正周期;2在坐标系上作出fx在[0,π]上的图象.【解】 1fx=4cosxsin+a=4cosx·+a=sin2x+2cos2x+a=sin2x+cos2x+1+a=2sin+1+a的最大值为2,∴a=-1,最小正周期T==π.2列表x0π2x+π2πfx=2sin120-201图象如下10.2015·天津十二区联考函数fx=cosπx+φ的部分图象如图359所示.图3591求φ及图中x0的值;2设gx=fx+f,求函数gx在区间上的最大值和最小值.【解】 1由题图得f0=,所以cosφ=,因为0<φ<,故φ=.由于fx的最小正周期等于2,所以由题图可知1<x0<2,故<πx0+<,由fx0=得cos=,所以πx0+=,x0=.2因为f=cos=cos=-sinπx.所以gx=fx+f=cos-sinπx=cosπxcos-sinπxsin-sinπx=cosπx-sinπx-sinπx=cosπx-sinπx=sin.当x∈时,-≤-πx≤.所以-≤sin≤1,故-πx=,即x=-时,gx取得最大值;当-πx=-,即x=时,gx取得最小值-.1.2015·郑州模拟函数fx=sin2x+φ的图象向左平移个单位后关于原点对称,则函数fx在上的最小值为 A.- B.- C. D.【解析】 函数fx=sin2x+φ向左平移个单位得y=sin=sin,又其为奇函数,故+φ=kπ,k∈Z,解得φ=kπ-,又|φ|<,令k=0,得φ=-,∴fx=sin,又∵x∈,∴sin∈,即当x=0时,fxmin=-,故选A.【答案】 A2.2015·南昌模拟如图3510,MxM,yM,NxN,yN分别是函图3510数fx=Asinωx+φA>0,ω>0的图象与两条直线l1y=mA≥m≥0,l2y=-m的两个交点,记Sm=|xN-xM|,则Sm的图象大致是 【解析】 如图所示,作曲线y=fx的对称轴x=x1,x=x2,点M与点D关于直线x=x1对称,点N与点C关于直线x=x2对称,所以xM+xD=2x1,xC+xN=2x2,所以xD=2x1-xM,xC=2x2-xN,又点M与点C、点D与点N都关于点B对称,所以xM+xC=2xB,xD+xN=2xB,所以xM+2x2-xN=2xB2x1-xM+xN=2xB,得xM-xN=2xB-x2=-,xN-xM=2xB-x1=,所以|xM-xN|=常数,其中T为fx的周期,选C.【答案】 C3.2015·吉林模拟函数fx=2sinωx+φω>0对于任意x都有f=f,则f=.【解析】 由f=f对于任意x都成立,可知fx关于直线x=对称,∴f=±
2.【答案】 ±2图35114.设偶函数fx=Asinωx+φA>0,ω>00<φ<π的部分图象如图3511所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则f的值为.【解析】 ∵fx=Asinωx+φ为偶函数,∴φ=+kπ,k∈Z.又0<φ<π,故φ=.∴fx=Acosωx.又△KML为等腰直角三角形,且KL=1,∠KML=90°.∴M点的纵坐标yM=-,即A=,又由=1,可知ω=π.∴fx=cosπx.∴f=cos=×=.【答案】 5.2015·常德模拟已知函数fx=sinωx·cosωx+cos2ωx-ω>0,直线x=x1,x=x2是y=fx图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为.1求fx的表达式;2将函数fx的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=gx的图象,若关于x的方程gx+k=0在区间上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.【解】 1fx=sin2ωx+×-=sin2ωx+cos2ωx=sin,由题意知,最小正周期T=2×=,T===,所以ω=2,∴fx=sin.2将fx的图象向右平移个单位长度后,得到y=sin的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin的图象.所以gx=sin.令2x-=t,∵0≤x≤,∴-≤t≤.gx+k=0在区间上有且只有一个实数解,即函数gx=sint与y=-k在区间上有且只有一个交点.如图,由正弦函数的图象可知-≤-k<或-k=
1.∴-<k≤或k=-
1.6.2015·福建高考已知函数fx=10sincos+10cos
2.1求函数fx的最小正周期;2将函数fx的图象向右平移个单位长度,再向下平移aa0个单位长度后得到函数gx的图象,且函数gx的最大值为
2.
①求函数gx的解析式;
②证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得gx
00.【解】 1因为fx=10sincos+10cos2=5sinx+5cosx+5=10sin+5,所以函数fx的最小正周期T=2π.2
①将fx的图象向右平移个单位长度后得到y=10sinx+5的图象,再向下平移aa0个单位长度后得到gx=10sinx+5-a的图象.又已知函数gx的最大值为2,所以10+5-a=2,解得a=
13.所以gx=10sinx-
8.
②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得gx00,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得10sinx0-80,即sinx
0.由知,存在0α0,使得sinα0=.由正弦函数的性质可知,当x∈α0,π-α0时,均有sinx.因为y=sinx的周期为2π,所以当x∈2kπ+α02kπ+π-α0k∈Z时,均有sinx.因为对任意的整数k,2kπ+π-α0-2kπ+α0=π-2α01,所以对任意的正整数k,都存在正整数xk∈2kπ+α02kπ+π-α0,使得sinxk.即存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得gx
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