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分层限时跟踪练三十四限时40分钟
一、选择题1.2015·日照模拟已知x,y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍,则a的值是 A. B. C. D.4【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图,由图可知当直线y=-2x+z经过点A时,直线的截距最大,此时z最大,由解得即A11,此时z=2×1+1=3,当直线y=-2x+z经过点B时,直线的截距最小,此时z最小,由解得即Ba,a,此时z=2×a+a=3a,∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍,∴3=4×3a,即a=,故选B.【答案】 B2.2015·广西模拟设变量x、y满足约束条件则z=2x-2y的最小值为 A.B.C.D.【解析】 设m=x-2y,则y=x-,作出不等式组对应的平面区域如图,平移直线y=x-,由图可知当直线y=x-过点A时,直线y=x-的截距最大,此时m最小,由解得即A22,此时m最小,为2-2×2=-2,则z=2x-2y的最小值为2-2=,故选B.【答案】 B3.已知x,y满足不等式组使目标函数z=mx+ym<0取得最小值的解x,y有无数个,则m的值是 A.2B.-2C.D.-【解析】 画出可行域,目标函数z=mx+ym<0,由取得最小值的最优解有无数个知,取得最优解必在边界上而不是在顶点上,目标函数中系数必为正,最小值应在边3x-2y+1=0上取到,即mx+y=0应与直线3x-2y+1=0平行,计算可得m=-.【答案】 D4.某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆.旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为 A.31200元B.36000元C.36800元D.38400元【解析】 设分别租用A,B两种型号的客车x辆、y辆,所用的总租金为z元,则z=1600x+2400y,其中x,y满足不等式组x,y∈N*.其可行域如图中阴影部分所示,由z=1600x+2400y,得y=-x+.当直线y=-x+过点M512时,zmin=1600×5+2400×12=
36800.【答案】 C5.2015·重庆高考若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为 A.-3B.1C.D.3【解析】 作出可行域,如图中阴影部分所示,易求A,B,C,D的坐标分别为A20,B1-m1+m,C,D-2m0.S△ABC=S△ADB-S△ADC=|AD|·|yB-yC|=2+2m=1+m=,解得m=1或m=-3舍去.【答案】 B
二、填空题6.记不等式组所表示的平面区域为D,若直线y=ax+1与D有公共点,则a的取值范围是.【解析】 不等式组所表示的平面区域D为如图所示阴影部分含边界,且A11,B04,C.直线y=ax+1恒过定点P-10且斜率为a.由斜率公式可知kAP=,kBP=
4.若直线y=ax+1与区域D有公共点,数形结合可得≤a≤
4.【答案】 7.2015·文登二模设x,y满足约束条件则x2+y2的最大值为.【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,设Px,y是该区域内的任意一点,则x2+y2表示的几何意义是点x,y到点00距离的平方.由图可知,点A到原点的距离最远,由得所以x2+y2max=22+52=
29.【答案】 298.2015·石家庄模拟动点Pa,b在区域上运动,则w=的取值范围是.【解析】 画出可行域如图,w==1+,设k=,则k∈-∞,-2]∪[2,+∞,所以w=的取值范围是-∞,-1]∪[3,+∞.【答案】 -∞,-1]∪[3,+∞
三、解答题9.若x,y满足约束条件1求目标函数z=x-y+的最值;2若目标函数z=ax+2y仅在点10处取得最小值,求a的取值范围.【解】 作出可行域如图,可求得A34,B01,C10.1平移初始直线x-y+=0,过A34取最小值-2,过C10取最大值
1.所以z的最大值为1,最小值为-
2.2直线ax+2y=z仅在点10处取得最小值,由图象可知-1<-<2,解得-4<a<
2.故所求a的取值范围为-42.10.2014·陕西高考在直角坐标系xOy中,已知点A11,B23,C32,点Px,y在△ABC三边围成的区域含边界上,且=m+nm,n∈R.1若m=n=,求||;2用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.【解】 1∵m=n=,=12,=21,∴=12+21=22,∴||==
2.2∵=m12+n21=m+2n2m+n,∴两式相减,得m-n=y-x.令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B23时,t取得最大值1,故m-n的最大值为
1.1.2015·大庆模拟函数y=fx为定义在R上的减函数,函数y=fx-1的图象关于点10对称,x,y满足不等式fx2-2x+f2y-y2≤0,M12,Nx,y,O为坐标原点,则当1≤x≤4时,·的取值范围为 A.[12,+∞B.
[03]C.
[312]D.
[012]【解析】 ∵函数y=fx-1的图象关于点10对称,∴fx为奇函数.∵fx2-2x≤f-2y+y2,∴x2-2x≥-2y+y2,即即或作出不等式组表示的可行域如图所示.令z=·=x+2y,由图可得当直线z=x+2y过点A44时,z取得最大值12;当直线z=x+2y过点B4,-2时,z取得最小值0,所以·=x+2y的取值范围是
[012].故选D.【答案】 D2.2015·福建高考变量x,y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于 A.-2 B.-1C.1 D.2【解析】 对于选项A,当m=-2时,可行域如图
①,直线y=2x-z的截距可以无限小,z不存在最大值,不符合题意,故A不正确;对于选项B,当m=-1时,mx-y≤0等同于x+y≥0,可行域如图
②,直线y=2x-z的截距可以无限小,z不存在最大值,不符合题意,故B不正确;对于选项C,当m=1时可行域如图
③,当直线y=2x-z过点A22时截距最小,z最大为2,满足题意,故C正确;对于选项D,当m=2时,可行域如图
④,直线y=2x-z与直线OB平行,截距最小值为0,z最大为0,不符合题意,故D不正确.故选C.【答案】 C3.设变量x,y满足约束条件且不等式x+2y≤14恒成立,则实数a的取值范围是.【解析】 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,显然a≥8,否则可行域无意义.由图可知x+2y在点6,a-6处取得最大值2a-6,由2a-6≤14得,a≤10,∴8≤a≤
10.【答案】
[810]4.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点Px0,y0满足x0-2y0=2,则m的取值范围是.【解析】 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示要使平面区域内存在点Px0,y0满足x0-2y0=2,必须使点A位于直线x-2y-2=0的右下侧,即m-2-m-2>0,∴m>.【答案】 5.某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为45个与55个,所用原料为A,B两种规格金属板,每张面积分别为2m2与3m
2.用A种规格金属板可造甲种产品3个,乙种产品5个;用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个,问A,B两种规模金属板各取多少张才能完成计划,并使总的用料面积最省?【解】 设A,B两种金属板各取x张,y张,用料面积为z,则约束条件为目标函数z=2x+3y.作出不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图所示.z=2x+3y变成y=-x+,得斜率为-,在y轴上截距为,且随z变化的一组平行直线.当直线z=2x+3y过可行域上点M时,截距最小,z最小,解方程组得M点的坐标为55,此时zmin=2×5+3×5=25m2,即两种金属板各取5张时,用料面积最省.6.实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间01内,另一个根在区间12内,求1点a,b对应的区域的面积;2的取值范围;3a-12+b-22的值域.【解】 方程x2+ax+2b=0的两根在区间01和12上的几何意义分别是函数y=fx=x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间01和12内,由此可得不等式组⇔由解得A-31;由解得B-20;由解得C-10.∴在如图所示的坐标平面aOb内,满足约束条件的点a,b对应的平面区域为△ABC不包括边界.1△ABC的面积为S△ABC=×|BC|×h=h=×1=h为A到Oa轴的距离.2的几何意义是点a,b和点D12连线的斜率.kAD==,kCD==
1.由图可知,kAD<<kCD.∴<<1,即∈.3∵a-12+b-22表示区域内的点a,b与定点12之间距离的平方,由图知,在A点与C点分别取最大值和最小值.∴a-12+b-22∈817.PAGE10。