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分层限时跟踪练五十七限时40分钟
一、选择题1.2015·合肥模拟正弦函数是奇函数,fx=sinx2+1是正弦函数,因此fx=sinx2+1是奇函数,以上推理 A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确【解析】 因为fx=sinx2+1不是正弦函数,所以小前提不正确.【答案】 C2.[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=
3.S1=[]+[]+[]=3,S2=[]+[]+[]+[]+[]=10,S3=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21,…,依此规律,那么S10等于 A.210 B.230C.220 D.240【解析】 ∵[x]表示不超过x的最大整数,∴S1=[]+[]+[]=1×3=3,S2=[]+[]+[]+[]+[]=2×5=10,S3=[]+[]+…+[]=3×7=21…,Sn=[]+[]+[]+…+[]=n2n+1,∴S10=10×21=
210.【答案】 A3.在平面几何中有如下结论正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=,推广到空间可以得到类似结论已知正四面体PABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则= A.B.C.D.【解析】 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3,故=.【答案】 D
4.2015·上海模拟如图1123所示,有一个六边形的点阵,它的中心是1个点算第1层,第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,…,依此类推,如果一个六边形点阵共有169个点,那么它的层数为 图1123A.6B.7C.8D.9【解析】 由题意知,第1层的点数为1,第2层的点数为6,第3层的点数为2×6,第4层的点数为3×6,第5层的点数为4×6,…,第nn≥2,n∈N*层的点数为6n-1.设一个点阵有nn≥2,n∈N*层,则共有的点数为1+6+6×2+…+6n-1=1+×n-1=3n2-3n+1,由题意得3n2-3n+1=169,即n+7·n-8=0,所以n=8,故共有8层.【答案】 C5.我们知道,在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a,类比上述结论,在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 A.aB.aC.aD.a【解析】 正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥,它们的体积之和为正四面体的体积,设点到四个面的距离分别为h1,h2,h3,h4,每个面的面积为a2,正四面体的体积为a3,则有×a2h1+h2+h3+h4=a3,得h1+h2+h3+h4=a.【答案】 A
二、填空题6.2015·枣庄模拟在△ABC中,不等式++≥成立;在凸四边形ABCD中,不等式+++≥成立;在凸五边形ABCDE中,不等式++++≥成立,…,依此类推,在凸n边形A1A2…An中,不等式++…+≥____________成立.【解析】 ∵++≥=,+++≥=,++++≥=,…,∴++…+≥n∈N*,n≥3.【答案】 n∈N*,n≥37.在平面几何中△ABC中∠C的平分线CE分AB所成的线段的比为=如图11241.把这个结论类比到空间在三棱锥ABCD中如图11242,面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E,则类比得到的结论是______________.图1124【解析】 由平面中线段的类比空间中面积的比可得=.【答案】 =8.2015·陕西高考观察下列等式1-=,1-+-=+,1-+-+-=++,…,据此规律,第n个等式可为______________.【解析】 等式的左边的通项为-,前n项和为1-+-+…+-;右边的每个式子的第一项为,共有n项,故为++…+.【答案】 1-+-+…+-=++…
三、解答题9.观察下表1,23,4567,89101112131415,…问1此表第n行的最后一个数是多少?2此表第n行的各个数之和是多少?32016是第几行的第几个数?【解】 1∵第n+1行的第1个数是2n,∴第n行的最后一个数是2n-
1.22n-1+2n-1+1+2n-1+2+…+2n-1==3·22n-3-2n-
2.3∵210=1024211=20481024<2016<2048,∴2016在第11行,该行第1个数是210=1024,由2016-1024+1=993,知2016是第11行的第993个数.10.2015·沈阳二模已知椭圆具有性质若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线-=1写出类似的性质.【解】 类似的性质为若M、N是双曲线-=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.证明设点M、P的坐标分别为m,n、x,y,则N-m,-n.因为点Mm,n在已知双曲线上,所以n2=m2-b
2.同理,y2=x2-b
2.则kPM·kPN=·===定值.1.2015·南昌模拟如图1125所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=a,CD=bab.图1125若EF∥AB,EF到CD与AB的距离之比为m∶n,则可推算出EF=.用类比的方法,推想出下面问题的结果.在上面的梯形ABCD中,分别延长梯形的两腰AD和BC交于O点,设△OAB,△ODC的面积分别为S1,S2,则△OEF的面积S0与S1,S2的关系是 A.S0= B.S0=C.=D.=【解析】 在平面几何中类比几何性质时,一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性质;由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质.故由EF=类比到关于△OEF的面积S0与S1,S2的关系是=.【答案】 C2.2015·杭州模拟设f为实系数三次多项式函数.已知五个方程式的相异实根个数如下表所述fx-20=01fx+10=01fx-10=03fx+20=01fx=03关于f的极小值α,试问下列选项中正确的是 A.0α10B.-20α-10C.-10α0D.α不存在【解析】 fx分别向上向下平移10个单位和20个单位分别得到fx+10,fx+20,fx-10,fx-20,由题意可近似画出fx的草图,由图可知fx极小值α∈-100.【答案】 C3.2015·长沙一模如图1126所示,小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动,小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置,在这个过程中,向量围绕着点O旋转了θ角,其中O为小正六边形的中心,则sin+cos=________.图1126【解析】 从题图可得,向量转了6个60°的角,6个120°的角,∴θ=6×60°+6×120°=1080°,所以sin+cos=sin180°+cos180°=-
1.【答案】 -14.已知“整数对”按如下规律排成一列11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,…,则第60个“整数对”是________.【解析】 依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n+1,且第n组共有n个“整数对”,这样的前n组一共有个“整数对”,注意到60,因此第60个“整数对”处于第11组每个“整数对”的和为12的组的第5个位置,结合题意可知每个“整数对”的和12的组中的各对数依次为111,210,39,48,57,…,因此第60个“整数对”是57.【答案】 575.2015·陕西第二次质量检测如图1127,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=2,E为棱CC1的中点.图11271求证B1D⊥AE;2求证AC∥平面B1DE.【证明】 1如图,连接BD,则BD∥B1D
1.∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.∵CE⊥平面ABCD,∴CE⊥BD.又AC∩CE=C,∴BD⊥平面ACE.∵AE⊂平面ACE,∴BD⊥AE,∴B1D1⊥AE.2取BB1的中点F,连接AF,CF,EF,则FC∥B1E,∴CF∥平面B1DE.∵E,F分别是CC1,BB1的中点,∴EFBC.又BCAD,∴EFAD,∴四边形ADEF是平行四边形,∴AF∥ED.∵AF⊄平面B1DE,ED⊂平面B1DE,∴AF∥平面B1DE.∵AF∩CF=F,∴平面ACF∥平面B1DE.又AC⊂平面ACF,∴AC∥平面B1DE.6.在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,求证=+,那么在四面体ABCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由.【证明】 如图所示,由射影定理,得AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=BC·DC,∴===.又BC2=AB2+AC2,∴==+.猜想,在四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,AE⊥平面BCD,则=++.证明如图,连接BE并延长交CD于F,连接AF.∵AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A,∴AB⊥平面ACD,又AF⊂平面ACD,∴AB⊥AF.在Rt△ABF中,AE⊥BF,∴=+.在Rt△ACD中,AF⊥CD,∴=+,∴=++.PAGE8。