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课后提升作业二十二平面向量数量积的物理背景及其含义45分钟 70分
一、选择题每小题5分共40分
1.2016·天水高一检测若|a|=4|b|=2a和b的夹角为30°则a在b方向上的投影为 A.2B.C.2D.4【解析】选C.a在b方向上的投影为|a|cosab=4×cos30°=
2.
2.在四边形ABCD中=且·=0则四边形ABCD是 A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形【解析】选B.因为=即一组对边平行且相等·=0即对角线互相垂直所以四边形ABCD为菱形.
3.若等边三角形ABC的边长为1则|-2|= A.1B.C.2D.【解析】选D.因为-22=-4·+4=12-4×1×1×cos60°+4×12=
3.所以|-2|=.
4.设abc是三个向量有下列命题:
①若a·b=a·c且a≠0则b=c;
②若a·b=0则a=0或b=0;
③非零向量ab反向⇔a·b=-|a||b|;
④3a+2b·3a-2b=9|a|2-4|b|
2.其中正确的有 A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选B.
①中a·b-a·c=a·b-c=0又a≠0则b=c或a⊥b-c即
①不正确;
②中a·b=0⇔a⊥b或a=0或b=0即
②不正确;
③当ab反向时a·b=-|a||b|成立反之当a·b=-|a||b|时ab反向故命题
③正确.
④中左边=9a2-6a·b+6b·a-4b2=9|a|2-4|b|2=右边即
④正确.
5.2015·重庆高考已知非零向量ab满足|b|=4|a|且a⊥2a+b则a与b的夹角为 A.B.C.D.【解题指南】直接利用向量的数量积运算即可求出向量的夹角.【解析】选C.设向量ab的夹角为θ由|b|=4及a⊥2a+b得a·2a+b=2|a|2+|a||b|cosθ=2|a|2+4|a|2cosθ=0解得cosθ=-所以θ=.
6.2016·烟台高一检测若向量a与b的夹角为60°|b|=4a+2b·a-3b=-72则|a|= A.2B.4C.6D.12【解析】选C.因为a+2b·a-3b=-72所以a2-a·b-6b2=-
72.所以|a|2-|a||b|cos60°-6|b|2=-
72.所以|a|2-2|a|-24=
0.又因为|a|≥0所以|a|=
6.【补偿训练】若向量ab满足|a|=1a+b⊥a2a+b⊥b则|b|= A.2 B. C.1 D.【解析】选B.由题意得即可得|b|2=2|a|2又|a|=
1.所以|b|=.
7.如图已知正六边形P1P2P3P4P5P6下列向量的数量积中最大的是 A.·B.·C.·D.·【解析】选A.由于⊥故其数量积是0;与的夹角是故其数量积小于零;设正六边形的边长是a则·=||||cos30°=a2·=||||cos60°=a
2.
8.若两个非零向量ab满足|a+b|=|a-b|=2|a|则a+b与a-b的夹角是 A.B.C.D.【解析】选D.因为|a+b|=|a-b|所以a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2所以a·b=
0.又因为|a+b|=2|a|所以|a|2+2a·b+|b|2=4|a|2所以|b|2=3|a|
2.设a+b与a-b的夹角为θ则cosθ====-又因为θ∈[0π]所以θ=.
二、填空题每小题5分共10分
9.2016·江苏高考如图在△ABC中D是BC的中点EF是AD上的两个三等分点·=4·=-1则·的值是 .【解析】令=a=b则=-b=2a=3a则=3a-b=3a+b=2a-b=2a+b=a-b=a+b则·=9a2-b2·=a2-b2·=4a2-b2由·=4·=-1可得9a2-b2=4a2-b2=-1因此a2=b2=因此·=4a2-b2==.答案:
10.在平行四边形ABCD中AD=1∠BAD=60°E为CD的中点.若·=1则AB的长为 .【解析】在平行四边形ABCD中取AB的中点F则=所以==-又=+所以·=+·=-·+·-=||2+||||cos60°-||2=1+×||-||2=
1.所以||=0又||≠0所以||=.答案:
三、解答题每小题10分共20分
11.2016·温州高一检测已知|a|=4|b|=32a-3b·2a+b=
61.1求|a+b|.2求向量a在向量a+b方向上的投影.【解析】1因为2a-3b·2a+b=61所以4|a|2-4a·b-3|b|2=
61.因为|a|=4|b|=3所以a·b=-6所以|a+b|===.2因为a·a+b=|a|2+a·b=42-6=10所以向量a在向量a+b方向上的投影为==.
12.已知:如图两个长度为1的平面向量和它们的夹角为点C是以O为圆心的劣弧的中点.求:1|+|的值.2·的值.【解题指南】1利用|a|=求向量的模.2用向量表示向量然后用数量积的定义和运算律求值.【解析】1因为和的长度为1夹角为所以·=||||cos=-所以|+|=.==
1.2因为点C是以O为圆心的劣弧的中点所以∠AOC=∠BOC=所以·=·=所以·=-·-=·-·-·+·=--+1=.【能力挑战题】已知非零向量ab且a+3b与7a-5b垂直a-4b与7a-2b垂直求a与b的夹角.【解析】由向量垂直得即化简得所以cosab==所以a与b的夹角为.。