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2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程
1.2椭圆的简单性质第1课时椭圆的简单性质课后演练提升北师大版选修1-1
一、选择题每小题5分,共20分1.椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为 A. B.C.D.不能确定解析 由题意知正三角形的边长为a,c为正三角形的高,故e==.答案 B2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的标准方程为 A.+=1B.+=1C.+=1或+=1D.以上都不对解析 由题意知,∴解得a=5,b=
4.又焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,∴椭圆方程为+=1或+=
1.答案 C3.已知椭圆+=1有两个顶点在直线x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标是 A.±,0B.0,±C.±,0D.0,±解析 直线x+2y=2与坐标轴的交点为20,01,即为椭圆的两个顶点,又焦点在x轴上,∴a=2,b=1,∴c==,∴焦点坐标为±,0.故选A.答案 A4.已知椭圆+=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则m等于 A.4B.5C.7D.8解析 由题意知焦距为4,则有m-2-10-m=2,解得m=
8.答案 D
二、填空题每小题5分,共10分5.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,它的长轴长等于圆C x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是______________.解析 设椭圆的标准方程为+=1a>b>0.圆C x2+y2-2x-15=0的半径为4,即a=
2.而=,得c=1,所以b=,则椭圆方程为+=
1.答案 +=16.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是__________.解析 由题意有2a+2c=22b,即a+c=2b,又c2=a2-b2,消去b整理得5c2=3a2-2ac,即5e2+2e-3=0,∴e=或e=-1舍去.答案
三、解答题每小题10分,共20分7.求适合下列条件的椭圆的标准方程.1椭圆过30,离心率e=;2在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为
8.解析 1若焦点在x轴上,则a=3,∵e==,∴c=.∴b2=a2-c2=9-6=
3.∴椭圆的方程为+=
1.若焦点在y轴上,则b=3,∵e====,解得a2=
27.∴椭圆的方程为+=
1.2设椭圆方程为+=1a>b>0.如图所示,△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线高,且|OF|=c,|A1A2|=2b,∴c=b=
4.∴a2=b2+c2=32,故所求椭圆的方程为+=
1.
8.如图所示,椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,A,B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,求此椭圆的离心率.解析 设椭圆的方程为+=1a>b>0.则F1-c0,F2c0,A0,b,Ba0,直线PF1的方程为x=-c,代入方程+=1,得y=±,∴P.∵PF2∥AB,且kPF2==,又kAB=-,∴由kPF2=kAB,得-=-.∴b=2c,a=c,∴e=.☆☆☆9.10分如图,已知椭圆+=1a>b>0,F
1、F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.1若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;2若2=2,·=,求椭圆的方程.解析 1若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,e==.2由题知A0,b,F1-c0,F2c0,其中,c=,设Bx,y.由=2⇔c,-b=2x-c,y,解得x=,y=-,即B.将B点坐标代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3c
2.
①又由·=-c,-b·=⇒b2-c2=1,即有a2-2c2=
1.
②由
①,
②解得c2=1,a2=3,从而有b2=
2.所以椭圆方程为+=
1.。