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4.2 圆锥曲线的共同特征
4.3 直线与圆锥曲线的交点课时目标
1.了解圆锥曲线的共同特征,并会简单的应用.
2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系以及求与弦的中点有关的问题.1.圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到________________的距离与它到____________的距离之比为定值e.当__________时,该圆锥曲线为椭圆;当________时,该圆锥曲线为抛物线;当________时,该圆锥曲线为双曲线.2.曲线的交点设曲线C1fx,y=0,C2gx,y=0,Mx0,y0是C1与C2的公共点,故求曲线交点即求方程组的实数解.
一、选择题1.如图中共顶点的椭圆
①②与双曲线
③④的离心率分别为e
1、e
2、e
3、e4,其大小关系为 A.e1e2e3e4B.e2e1e3e4C.e1e2e4e3D.e2e1e4e32.直线y=2k与曲线9k2x2+y2=18k2|x|k∈R且k≠0的公共点的个数为 A.1B.2C.3D.43.已知双曲线-=1a0,b0的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 A.12B.-12C.2,+∞D.[2,+∞4.已知抛物线C的方程为x2=y,过点A0,-1和点Bt3的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是 A.-∞,-1∪1,+∞B.∪C.-∞,-2∪2,+∞D.-∞,-∪,+∞5.若直线y=mx+1和椭圆x2+4y2=1有且只有一个交点,那么m2的值为 A.B.C.D.6.已知抛物线y2=2pxp0,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2题 号123456答 案
二、填空题7.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的离心率为______.8.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为______.9.点P81平分双曲线x2-4y2=4的一条弦,则这条弦所在直线的方程是______________.
三、解答题10.中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆,它的离心率为,与直线x+y-1=0相交于M、N两点,若以MN为直径的圆经过坐标原点,求椭圆方程.能力提升12.设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M,0的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比等于 A.B.C.D.13.设双曲线C-y2=1a0与直线l x+y=1相交于两个不同的点A、B.1求双曲线C的离心率e的取值范围;2若设直线l与y轴的交点为P,且=,求a的值.1.圆锥曲线共同特征的应用在涉及到求圆锥曲线上的点到该曲线的焦点的距离时,可以借助圆锥曲线的共同特征将其转化为求该点到定直线的距离,这样只要知道该点的横坐标即可.2.直线与圆锥曲线位置关系的判定判断直线与圆锥曲线的位置关系时,将直线方程代入曲线方程,消元后得关于x或y的方程,当二次项系数不为零时,可由判别式Δ来判断.当Δ0时,直线与曲线相交;当Δ=0时,直线与曲线相切;当Δ0时,直线与曲线相离.3.“点差法”的应用用“点差法”求弦中点和弦斜率.设弦端点坐标,分别代入圆锥曲线方程,作差、变形,结合中点坐标公式和斜率公式,可以建立中点坐标与斜率的关系式,在此关系式中若知中点坐标可求斜率,若知斜率可求弦中点的轨迹方程.4.2 圆锥曲线的共同特征4.3 直线与圆锥曲线的交点知识梳理1.一个定点 一条定直线 0e1 e=1 e12.fx0,y0=0 gx0,y0=0作业设计1.C [椭圆中,b=,所以e越大,则c越接近a,则b越小,椭圆越扁,所以e1e2;双曲线中,e越大,开口越大,因此e4e3,因此选C.]2.D [9k2x2+y2=18k2|x|⇒9k2x2-18k2|x|+y2=0⇒9k2x2-2|x|+y2=0,x2=|x|
2.∴上式变为9k2|x|-12+y2-9k2=
0.∴9k2|x|-12+y2=9k
2.即|x|-12+=
1.
①∵是选择题,故不妨设k=1,则
①变为|x|-12+=1,当x0时,曲线为x-12+=1;x0时,为x+12+=
1.作出图像与y=2相交得交点为4个.]3.D [过F的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则其斜率为正的渐近线的倾斜角应大于等于l的倾斜角,又l的倾斜角是60°,从而≥,故≥
2.]4.D [过A、B的直线方程为y=x-1代入x2=y,得2x2-x+1=0,由题意知Δ=-80,∴t22,即t或t-.]5.C [由得x2+4mx+12-1=0,即4m2+1x2+8mx+3=0,由Δ=64m2-124m2+1=0,得m2=.]6.B [∵y2=2px的焦点坐标为,0,∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=
0.设Ax1,y1,Bx2,y2,则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-
1.]
7.解析 由已知,得c=2,=3⇒b2=3a⇒a2-4=3a⇒a=4,e===.
8.解析 设Ax1,y1,Bx2,y2,椭圆+=1的右焦点为F10,过F10且斜率为2的直线方程为y=2x-1,即y=2x-
2.代入4x2+5y2=20得4x2+5×4x2-2x+1=
20.∴x1=0,x2=.∴y1=-2,y2=.∴A0,-2,B.∴|AB|==.又点O00到y=2x-2的距离为d=.∴S△OAB=|AB|·d=××=.9.2x-y-15=0解析 设弦的两个端点分别为Ax1,y1,Bx2,y2,则x-4y=4,x-4y=4,两式相减得x1+x2x1-x2-4y1+y2y1-y2=
0.因为线段AB的中点为P81,所以x1+x2=16,y1+y2=
2.所以==
2.所以直线AB的方程为y-1=2x-8,即2x-y-15=
0.10.解 设椭圆方程+=1ab0.∵e=,∴a2=4b2,即a=2b.∴椭圆方程为+=
1.把直线方程代入化简得5x2-8x+4-4b2=
0.设Mx1,y1,Nx2,y2,则x1+x2=,x1x2=4-4b2.∴y1y2=1-x11-x2=1-x1+x2+x1x2=1-4b2.由于OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=
0.解得b2=,a2=.所以椭圆方程为x2+y2=
1.11.解 方法一 用韦达定理解决显然直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y-2=kx-1,即y=kx+2-k,由得2-k2x2-2k2-kx-k2+4k-6=0,当Δ0时,设Ax1,y1,Bx2,y2,则1==,∴k=1,满足Δ0,∴直线AB的方程为y=x+
1.方法二 用点差法解决设Ax1,y1,Bx2,y2,则,两式相减得x1-x2x1+x2=y1-y2y1+y2.∵x1≠x2,∴=,∴kAB==1,∴直线AB的方程为y=x+1,代入x2-=1满足Δ
0.∴直线AB的方程为y=x+
1.12.A [如图所示,设过点M,0的直线方程为y=kx-,代入y2=2x并整理,得k2x2-2k2+2x+3k2=0,则x1+x2=.因为|BF|=2,所以|BB′|=
2.不妨设x2=2-=是方程的一个根,可得k2=,所以x1=
2.=====.]13.解 1由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得有两个不同的解,消去y并整理得1-a2x2+2a2x-2a2=0,
①∴解得-a且a≠±
1.又∵a0,∴0a且a≠
1.又∵双曲线的离心率e==,∴e且e≠.∴双曲线C的离心率e的取值范围是∪,+∞.2设Ax1,y1,Bx2,y2,P01.∵=,∴x1,y1-1=x2,y2-1,由此可得x1=x
2.∵x1,x2都是方程
①的根,且1-a2≠0,∴x1+x2=x2=-,x1x2=x=-,消去x2得-=,即a2=.又∵a0,∴a=.PAGE-7-。