高中数学第三章指数函数与对数函数学业分层测评（21）指数函数、幂函数、对数函数增长的比较北师大版必修

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第三章指数函数与对数函数学业分层测评

（21）指数函数、幂函数、对数函数增长的比较北师大版必修1建议用时45分钟[学业达标]

一、选择题1．2016·佛山高一检测四人赛跑，其跑过的路程fx与时间x的函数关系分别如下四个选项所示，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系为　　A．f1x＝x　　B．f2x＝xC．f3x＝log2x＋1D．f4x＝log8x＋1【解析】　A、C、D中函数增长特点是越来越慢，B中一次函数型增长特点是正比例增长，故选B.【答案】　B2．函数y1＝2x与y2＝x2，当x0时，图像的交点个数是　　A．0　B．1　　　　C．2　　　　D．3【解析】　当x＝2或4时，y1＝y2，当x4时，y1y2，故交点个数是

2.【答案】　C3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长

10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝fx的图像大致为　　【解析】　由题意，设林区原来的蓄积量为a，则ax＝a1＋

10.4%y，即

1.104y＝x，则y＝log

1.104x，故y＝fx的图像大致为D.【答案】　D4．某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间单位小时，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为　　A．640B．1280C．2560D．5120【解析】　由题意可得，当t＝0时，y＝10，当t＝1时，y＝10ek＝20，可得ek＝

2.故10个细菌经过7小时培养，能达到的细菌个数为10e7k＝10×ek7＝

1280.【答案】　B5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为

0.2万公顷、

0.4万公顷和

0.76万公顷，则沙漠增加数y万公顷关于年数x年的函数关系较为近似的是　　A．y＝

0.2xB．y＝x2＋2xC．y＝D．y＝

0.2＋log16x【解析】　将x＝123，y＝

0.

20.

40.76分别代入验算，可知选C.【答案】　C

二、填空题6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭除燃料外的质量m千克的函数关系式是v＝2000ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．【解析】　当v＝12000时，2000×ln＝12000，∴ln＝6，∴＝e6－

1.【答案】　e6－17．池塘浮萍每天生长原来的一倍，15天刚好长满池塘，则________天长满半池塘.【导学号04100068】【解析】　设第一天生长a，则第二天有浮萍2a，第三天4a，…第14天213a，第15天214a.因214a＝2×213a，∴14天长满半池塘．【答案】　14

三、解答题8．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为n＋1元时，比礼品价值为n元n∈N＋时的销售量增加10%.1写出礼品价值为n元时，利润yn元与n的函数关系式；2请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．【解】　1设未赠礼品时的销售量为m，则当礼品价值为n元时，销售量为m1＋10%n.利润yn＝100－80－n·m·1＋10%n＝20－nm×

1.1n0＜n＜20，n∈N＋．2令yn＋1－yn≥0，即19－nm×

1.1n＋1－20－nm×

1.1n≥0，解得n≤9，所以y1＜y2＜y3＜…＜y9＝y10，令yn＋1－yn＋2≥0，即19－nm×

1.1n＋1－18－nm×

1.1n＋2≥0，解得n≥8，所以y9＝y10＞y11＞…＞y

19.所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．9．某工厂利润数据如下表月份123利润万元256现有两个函数模型刻画该厂的月利润y万元与月份x的函数关系指数型函数y＝abx＋c和二次函数y＝ax2＋bx＋c，若4月份的利润为

5.1万元，选哪个模型比较好？其中ab≠0，且b≠1【解】　先把前3个月份的数据代入y＝abx＋c，得解得∴y＝－·x＋.把x＝4代入得y≈

6.

33.再把三组数据代入y＝ax2＋bx＋c，得解得∴y＝－x2＋6x－

3.把x＝4代入得y＝

5.

0.∵|

5.0－

5.1||

6.33－

5.1|，∴选模型y＝－x2＋6x－3较好．[能力提升]1．2016·福州高一检测如图3­6­4，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图像显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有　　图3­6­4A．1个B．2个　　　C．3个　　　D．4个【解析】　图

①不对，因为正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图像是直线型的．图

②正确，因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加得快，上面增加得慢，即图像应越来越平缓．图

③正确，球是对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加得越来越慢；上半球恰好相反，所以水的高度增加得越来越快，即图像先平缓再变陡．图

④正确，图中几何体两头宽，中间窄，所以水的高度增加，先变快后变慢，即图像先变陡再平缓．【答案】　C2．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1986年，第一年即1986年只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要灭绝的动物头数y与时间x年的关系可近似地由关系式y＝alog2x＋1给出，则到2016年时，预测麋鹿的头数约为________．【解析】　由第一年有麋鹿100头，可得a＝

100.2016年，即x＝31时，代入后可得y＝100log231＋1＝100·log225＝500，故此时麋鹿共有500头．【答案】　500。