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3.2立体几何中的向量方法第2课时空间向量与垂直关系A级 基础巩固
一、选择题1.若直线l的方向向量a=1,0,2,平面α的法向量为u=-2,0,-4,则 A.l∥α B.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交解析所以u=-2a,所以a∥u,所以l⊥α.答案B2.若a=2,-1,0,b=3,-4,7,且λa+b⊥a,则λ的值是 A.0B.1C.-2D.2解析λa+b=λ2,-1,0+3,-4,7=3+2λ,-4-λ,7,因为λa+b⊥a,所以23+2λ+4+λ=0,即λ=-
2.答案C3.若平面α、β的法向量分别为a=-1,2,4,b=x,-1,-2,并且α⊥β,则x的值为 A.10B.-10C.D.-解析因为α⊥β,则它们的法向量也互相垂直,所以a·b=-1,2,4×x,-1,-2=0,解得x=-
10.答案B4.两平面α、β的法向量分别为u=3,-1,z,v=-2,-y,1,若α⊥β,则y+z的值是 A.-3B.6C.-6D.-12解析α⊥β⇒u·v=0⇒-6+y+z=0,即y+z=
6.答案B
5.在三棱锥PABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量中是平面PAB的法向量的是 A.B.1,,1C.1,1,1D.2,-2,1答案A
二、填空题6.若l的方向向量为2,1,m,平面α的法向量为,且l⊥α,则m=________.解析由l⊥α得,==,即m=
4.答案47.平面α,β的法向量分别为-1,2,4,x,-1,-2,并且α⊥β,则x的值为________.解析因为α⊥β,所以它们的法向量也互相垂直,则有-x-2-8=0,所以x=-
10.答案-108.向量a=-1,2,-4,b=2,-2,3是平面α内的两个不共线的向量,直线l的一个方向向量m=2,3,1,则l与α是否垂直?________填“是”或“否”.解析m·a=2,3,1·-1,2,-4=-2+6-4=0,m·b=2,3,1·2,-2,3=4-6+3=1≠
0.所以l与α不垂直.答案否
三、解答题9.在正方体ABCDA1B1C1D1中,P为DD1的中点,O为底面ABCD的中心,求证OB1⊥平面PAC.证明如图,建立空间直角坐标系,不妨设正方体棱长为2,则A2,0,0,P0,0,1,C0,2,0,B12,2,2,O1,1,0.于是=1,1,2,=-2,2,0,=-2,0,1,由于·=-2+2+0=0及·=-2+0+2=
0.所以⊥,⊥,所以OB1⊥AC,OB1⊥AP.又AC∩AP=A,所以OB1⊥平面PAC.10.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为BC中点.证明平面A1AD⊥平面BCC1B
1.证明法一如图,建立空间直角坐标系,则A0,0,0,B2,0,0,C0,2,0,A10,0,,C10,1,,因为D为BC的中点,所以D点坐标为1,1,0,所以=-2,2,0,=1,1,0,=0,0,,因为·=-2+2+0=0,·=0+0+0=0,所以⊥,⊥,所以BC⊥AD,BC⊥AA1,又AD∩AA1=A,所以BC⊥平面ADA1,而BC⊂平面BCC1B1,所以平面A1AD⊥平面BCC1B
1.法二同法一,得=0,0,,=1,1,0,=-2,2,0,=0,-1,,设平面A1AD的法向量n1=x1,y1,z1,平面BCC1B1的法向量为n2=x2,y2,z2.由得令y1=-1得x1=1,z1=0,所以n1=1,-1,0.由解令y2=1,得x2=1,z2=,所以n2=.所以n1·n2=1-1+0=0,所以n1⊥n
2.所以平面A1AD⊥平面BCC1B
1.B级 能力提升1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于 A.ACB.BDC.A1DD.A1A答案B2.已知点A,B,C的坐标分别为0,1,0,-1,0,1,2,1,1,点P的坐标为x,0,z,若⊥,⊥,则点P的坐标为________.解析因为=-1,-1,1,=2,0,1,=-x,1,-z,由·=0,·=0,得则x=,z=-,所以P.答案
3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.解如图,以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,P0,1,a,则A11,0,1,B11,1,1,E,C10,1,1,=0,1,0,=-1,1,a-1,=,=0,1,1.设平面A1B1P的一个法向量为n1=x1,y1,z1,则⇒所以x1=a-1z1,y1=
0.令z1=1,得x1=a-1,所以n1=a-1,0,1.设平面C1DE的一个法向量为n2=x2,y2,z2,则⇒⇒令y2=1,得x2=-2,z2=-1,所以n2=-2,1,-1.因为平面A1B1P⊥平面C1DE,所以n1·n2=0,即-2a-1-1=0,得a=.所以当P为CC1的中点时,平面A1B1P⊥平面C1DE.。