高中数学第二章圆锥曲线与方程2_2_2椭圆的简单几何性质第2课时直线与椭圆的位置关系高效测评新人教A版选修2-1

第二章圆锥曲线与方程

2.

2.2椭圆的简单几何性质第2课时直线与椭圆的位置关系高效测评新人教A版选修2-1

一、选择题每小题5分，共20分1．点Aa1在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是　　A．－a　　　　　B．a－或aC．－2a2D．－1a1解析　由点A在椭圆内部得＋1，∴－a.故选A.答案　A2．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为　　A.B.C.D.解析　椭圆可化为＋＝1，∴F－，0，又∵直线AB的斜率为，∴直线AB为y＝x＋.由得7x2＋12x＋8＝0，∴|AB|＝＝.答案　B3．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为　　A．2B．3C．6D．8解析　由椭圆方程得F－10，设Px0，y0，则·＝x0，y0·x0＋1，y0＝x＋x0＋y.∵P为椭圆上一点，∴＋＝

1.∴·＝x＋x0＋3＝＋x0＋3＝x0＋22＋

2.∵－2≤x0≤2，∴·的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于

6.答案　C4．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是　　A.B.C.D.解析　由消去y得m＋nx2－2nx＋n－1＝0，设Mx1，y1，Nx2，y2，则x1＋x2＝，y1＋y2＝，∴MN的中点为P.由题意知，kOP＝，∴＝.答案　A

二、填空题每小题5分，共10分5．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为____________．解析　将椭圆与直线方程联立解得交点A0，－2，B，故S△OAB＝·OF·|y1－y2|＝×1×|＋2|＝.答案　6．已知以F1－20，F220为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．解析　由题意可设椭圆方程＋＝1，联立直线与椭圆方程，由Δ＝0得a＝.答案　2

三、解答题每小题10分，共20分7．对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．解析　联立方程组得将

①代入

②得＋x＋m2＝1，整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0　

③Δ＝8m2－4×54m2－4＝165－m2．当Δ0，即－m时，方程

③有两个不同的实数根，代入

①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m＝－或m＝时，方程

③有两个相等的实数根，代入

①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ0，即m－或m时，方程

③没有实数根，直线与椭圆相离．8．已知椭圆＋y2＝1，求过点P且被P平分的弦所在的直线方程．解析　方法一设过P的直线与椭圆交点Ax1，y1，Bx2，y2，设所求直线的斜率为k，当k不存在时，y1＋y2＝0≠1，故k存在．则直线方程为y－＝k.代入椭圆方程，并整理得1＋2k2x2－2k2－2kx＋k2－k－＝

0.由根与系数关系得，x1＋x2＝.∵P是弦中点，∴x1＋x2＝

1.即＝1，故得k＝－.所以所求直线方程为2x＋4y－3＝

0.方法二设过P的直线与椭圆交于Ax1，y1，Bx2，y2，则由题意得

①－

②得＋y－y＝

0.　　　　　　　

⑤将

③、

④代入

⑤得＝－，即直线的斜率为－.所求直线方程为2x＋4y－3＝

0.9．10分设椭圆C＋＝1a＞b＞0的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，＝

2.1求椭圆C的离心率；2如果|AB|＝，求椭圆C的方程．解析　设Ax1，y1，Bx2，y2，由题意知y1＜0，y2＞

0.1直线l的方程为y＝x－c，其中c＝.联立，得3a2＋b2y2＋2b2cy－3b4＝

0.解得y1＝，y2＝.因为＝2，所以－y1＝2y

2.即＝2·.得离心率e＝＝.2因为|AB|＝|y2－y1|，所以·＝.由＝得b＝a，所以a＝，得a＝3，b＝.椭圆C的方程为＋＝

1.。