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第二章圆锥曲线与方程
2.
2.2椭圆的简单几何性质第2课时直线与椭圆的位置关系高效测评新人教A版选修2-1
一、选择题每小题5分,共20分1.点Aa1在椭圆+=1的内部,则a的取值范围是 A.-a B.a-或aC.-2a2D.-1a1解析 由点A在椭圆内部得+1,∴-a.故选A.答案 A2.过椭圆x2+2y2=4的左焦点F作倾斜角为的弦AB,则弦AB的长为 A.B.C.D.解析 椭圆可化为+=1,∴F-,0,又∵直线AB的斜率为,∴直线AB为y=x+.由得7x2+12x+8=0,∴|AB|==.答案 B3.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为 A.2B.3C.6D.8解析 由椭圆方程得F-10,设Px0,y0,则·=x0,y0·x0+1,y0=x+x0+y.∵P为椭圆上一点,∴+=
1.∴·=x+x0+3=+x0+3=x0+22+
2.∵-2≤x0≤2,∴·的最大值在x0=2时取得,且最大值等于
6.答案 C4.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,过原点与线段MN中点所在直线的斜率为,则的值是 A.B.C.D.解析 由消去y得m+nx2-2nx+n-1=0,设Mx1,y1,Nx2,y2,则x1+x2=,y1+y2=,∴MN的中点为P.由题意知,kOP=,∴=.答案 A
二、填空题每小题5分,共10分5.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为____________.解析 将椭圆与直线方程联立解得交点A0,-2,B,故S△OAB=·OF·|y1-y2|=×1×|+2|=.答案 6.已知以F1-20,F220为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点,则椭圆的长轴长为________.解析 由题意可设椭圆方程+=1,联立直线与椭圆方程,由Δ=0得a=.答案 2
三、解答题每小题10分,共20分7.对不同的实数值m,讨论直线y=x+m与椭圆+y2=1的位置关系.解析 联立方程组得将
①代入
②得+x+m2=1,整理得5x2+8mx+4m2-4=0
③Δ=8m2-4×54m2-4=165-m2.当Δ0,即-m时,方程
③有两个不同的实数根,代入
①可得到两个不同的公共点坐标,此时直线与椭圆相交;当Δ=0,即m=-或m=时,方程
③有两个相等的实数根,代入
①可得到一个公共点坐标,此时直线与椭圆相切;当Δ0,即m-或m时,方程
③没有实数根,直线与椭圆相离.8.已知椭圆+y2=1,求过点P且被P平分的弦所在的直线方程.解析 方法一设过P的直线与椭圆交点Ax1,y1,Bx2,y2,设所求直线的斜率为k,当k不存在时,y1+y2=0≠1,故k存在.则直线方程为y-=k.代入椭圆方程,并整理得1+2k2x2-2k2-2kx+k2-k-=
0.由根与系数关系得,x1+x2=.∵P是弦中点,∴x1+x2=
1.即=1,故得k=-.所以所求直线方程为2x+4y-3=
0.方法二设过P的直线与椭圆交于Ax1,y1,Bx2,y2,则由题意得
①-
②得+y-y=
0.
⑤将
③、
④代入
⑤得=-,即直线的斜率为-.所求直线方程为2x+4y-3=
0.9.10分设椭圆C+=1a>b>0的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,=
2.1求椭圆C的离心率;2如果|AB|=,求椭圆C的方程.解析 设Ax1,y1,Bx2,y2,由题意知y1<0,y2>
0.1直线l的方程为y=x-c,其中c=.联立,得3a2+b2y2+2b2cy-3b4=
0.解得y1=,y2=.因为=2,所以-y1=2y
2.即=2·.得离心率e==.2因为|AB|=|y2-y1|,所以·=.由=得b=a,所以a=,得a=3,b=.椭圆C的方程为+=
1.。