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2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程
2.
4.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质高效测评新人教A版选修2-1
一、选择题每小题5分,共20分1.已知抛物线y2=2pxp0的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为 A.B.1C.2D.4解析 圆的标准方程为x-32+y2=16,圆心30到抛物线准线x=-的距离为4,∴=1,∴p=2,故选C.答案 C2.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M2,y0.若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|= A.2B.2C.4D.2解析 利用抛物线的定义求解.由题意设抛物线方程为y2=2pxp>0,则M到焦点的距离为xM+=2+=3,∴p=2,∴y2=4x.∴y=4×2,∴y0=±2,∴|OM|===
2.答案 B3.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|= A.4B.8C.8D.16解析 由抛物线的定义得,|PF|=|PA|,又由直线AF的斜率为-,可知∠PAF=60°,△PAF是等边三角形,∴|PF|=|AF|==
8.答案 B4.若抛物线y2=2pxp0上三个点的纵坐标的平方成等差数列,那么这三个点到抛物线焦点的距离的关系是 A.成等差数列B.既成等差数列又成等比数列C.成等比数列D.既不成等比数列也不成等差数列解析 设三点为P1x1,y1,P2x2,y2,P3x3,y3,则y=2px1,y=2px2,y=2px3,因为2y=y+y,所以x1+x3=2x2,即|P1F|-+|P3F|-=2,所以|P1F|+|P3F|=2|P2F|.答案 A
二、填空题每小题5分,共10分5.设点F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点.若++=0,则||+||+||=________.解析 设点A坐标为x1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,抛物线的焦点为10,∵++=0,∴x1+x2+x3-3=
0.||+||+||=x1++x2++x3+=3+×2=
6.答案 66.如图,已知抛物线y2=2pxp0的焦点恰好是椭圆+=1ab0的右焦点F,且两条曲线交点的连线过F,则该椭圆的离心率是________.解析 如图所示,设椭圆的左焦点为F′,两条曲线在x轴上方的交点为M,连接MF′,2c=p,MF′+MF=p+p=2a,所以e===-
1.答案 -1
三、解答题每小题10分,共20分7.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.解析 设所求抛物线的标准方程为x2=2pyp0,设Ax0,y0,由题知M.∵|AF|=3,∴y0+=3,∵|AM|=,∴x+2=17,∴x=8,代入方程x=2py0得,8=2p,解得p=2或p=
4.∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.8.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若O·A=-4,求点A的坐标.解析 由y2=4x,知F10.∵点A在y2=4x上,∴不妨设A,则O=,A=.代入O·A=-4中,得+y-y=-4,化简得y4+12y2-64=
0.∴y2=4或-16舍去,y=±
2.∴点A的坐标为12或1,-2.9.10分设P是抛物线y2=4x上的一个动点.1求点P到点A-11的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;2若B32,求|PB|+|PF|的最小值.解析 1抛物线焦点为F10,准线方程为x=-
1.∵点P到准线x=-1的距离等于P到点F10的距离.∴问题转化为在曲线上求一点P,使点P到A-11的距离与P到F10的距离之和最小.显然P是A,F的连线与抛物线的交点,最小值为|AF|=.2同理|PF|与点P到准线的距离相等,如图过点B作BQ⊥准线于点Q,交抛物线于点P
1.∵|P1Q|=|P1F|,∴|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=
4.∴|PB|+|PF|的最小值为
4.。