高中数学第二章圆锥曲线与方程2_4_2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质高效测评新人教A版选修2-1

2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程

2.

4.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质高效测评新人教A版选修2-1

一、选择题每小题5分，共20分1．已知抛物线y2＝2pxp0的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为　　A．B．1C．2D．4解析　圆的标准方程为x－32＋y2＝16，圆心30到抛物线准线x＝－的距离为4，∴＝1，∴p＝2，故选C.答案　C2．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M2，y0．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝　　A．2B．2C．4D．2解析　利用抛物线的定义求解．由题意设抛物线方程为y2＝2pxp＞0，则M到焦点的距离为xM＋＝2＋＝3，∴p＝2，∴y2＝4x.∴y＝4×2，∴y0＝±2，∴|OM|＝＝＝

2.答案　B3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝　　A．4B．8C．8D．16解析　由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－，可知∠PAF＝60°，△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝

8.答案　B4．若抛物线y2＝2pxp0上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点的距离的关系是　　A．成等差数列B．既成等差数列又成等比数列C．成等比数列D．既不成等比数列也不成等差数列解析　设三点为P1x1，y1，P2x2，y2，P3x3，y3，则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3，因为2y＝y＋y，所以x1＋x3＝2x2，即|P1F|－＋|P3F|－＝2，所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.答案　A

二、填空题每小题5分，共10分5．设点F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点．若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.解析　设点A坐标为x1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3，抛物线的焦点为10，∵＋＋＝0，∴x1＋x2＋x3－3＝

0.||＋||＋||＝x1＋＋x2＋＋x3＋＝3＋×2＝

6.答案　66．如图，已知抛物线y2＝2pxp0的焦点恰好是椭圆＋＝1ab0的右焦点F，且两条曲线交点的连线过F，则该椭圆的离心率是________．解析　如图所示，设椭圆的左焦点为F′，两条曲线在x轴上方的交点为M，连接MF′，2c＝p，MF′＋MF＝p＋p＝2a，所以e＝＝＝－

1.答案　－1

三、解答题每小题10分，共20分7．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．解析　设所求抛物线的标准方程为x2＝2pyp0，设Ax0，y0，由题知M.∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，∵|AM|＝，∴x＋2＝17，∴x＝8，代入方程x＝2py0得，8＝2p，解得p＝2或p＝

4.∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.8．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若O·A＝－4，求点A的坐标．解析　由y2＝4x，知F10．∵点A在y2＝4x上，∴不妨设A，则O＝，A＝.代入O·A＝－4中，得＋y－y＝－4，化简得y4＋12y2－64＝

0.∴y2＝4或－16舍去，y＝±

2.∴点A的坐标为12或1，－2．9．10分设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．1求点P到点A－11的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；2若B32，求|PB|＋|PF|的最小值．解析　1抛物线焦点为F10，准线方程为x＝－

1.∵点P到准线x＝－1的距离等于P到点F10的距离．∴问题转化为在曲线上求一点P，使点P到A－11的距离与P到F10的距离之和最小．显然P是A，F的连线与抛物线的交点，最小值为|AF|＝.2同理|PF|与点P到准线的距离相等，如图过点B作BQ⊥准线于点Q，交抛物线于点P

1.∵|P1Q|＝|P1F|，∴|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝

4.∴|PB|＋|PF|的最小值为

4.。