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课时提升作业二十三平面向量数量积的坐标表示、模、夹角25分钟 60分
一、选择题每小题5分，共25分
1.2015·朔州高一检测已知a=2，3，b=-4，7，则a在b方向上的投影为 A.B.C.D.【解析】选C.设a与b夹角为θ，则a在b方向上的投影|a|cosθ=，因为a=2，3，b=-4，7，所以a·b=2，3·-4，7=2×-4+3×7=13，|b|==，所以|a|cosθ==.
2.以下选项中，一定是单位向量的有
①a=cosθ，-sinθ；
②b=，；
③c=，1；
④d=1-x，x.A.1个B.2个C.3个D.4个【解题指南】解答本题，一方面要注意向量模的坐标公式的应用，另一方面要注意同角三角函数的平方关系、对数运算、指数运算和函数最大值的求法的应用.【解析】选B.因为|a|=1，|b|=1，|c|==1，|d|===≥.所以a，b是单位向量，c不是单位向量，d不一定是单位向量.
3.2015·福建高考设a=1，2，b=1，1，c=a+kb，若b⊥c，则实数k的值等于 A.-B.-C.D.【解析】选A.c=a+kb=1+k，2+k，因为b⊥c，所以b·c=0，即1+k+2+k=0⇒k=-.【补偿训练】2015·温州高一检测已知a=-3，2，b=-1，0向量λa+b与a-2b垂直，则实数λ的值为 A.-B.C.-D.【解析】选A.向量λa+b=-3λ-1，2λ，a-2b=-1，2，因为两个向量垂直，故有-3λ-1，2λ·-1，2=0，即3λ+1+4λ=0，解得λ=-.
4.设x，y∈R，向量a=x，1，b=1，y，c=2，-4且a⊥c，b∥c，则|a+b|= A.B.C.2D.10【解析】选B.由a⊥c得2x+1×-4=0，所以x=2；由b∥c得1×-4=2y，所以y=-
2.从而a=2，1，b=1，-2，所以a+b=3，-1，所以|a+b|==.
5.2015·景德镇高一检测已知平面向量a=2，4，b=-1，2，若c=a-a·bb，则|c|等于 A.4B.2C.8D.8【解析】选D.a·b=2×-1+4×2=6，所以c=2，4-6-1，2=8，-8，所以|c|==
8.
二、填空题每小题5分，共15分
6.设向量a与b的夹角为θ，且a=3，3，2b-a=-1，-1，则cosθ=________.【解析】b=a+-1，-1=1，1，则a·b=
6.又|a|=3，|b|=，所以cosθ===
1.答案1【一题多解】本题还可以采用以下方法由已知得b=1，
1.又a=3，3，所以a∥b，且同向.故θ=0°，cosθ=
1.答案
17.2015·南平高一检测已知a=1，3，b=2+λ，1，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________.【解析】设向量a与b的夹角为θ，因为θ为锐角，所以cosθ0，且cosθ≠1，即a·b0，且a与b方向不同，由a·b0，得1×2+λ+3×1=λ+50，所以λ-
5.当a与b方向相同时设b=μa，即2+λ，1=μ1，3，所以解得故λ≠-.所以λ∈∪.答案∪【误区警示】解答本题易因思考不全面，误认为a与b的夹角θ为锐角⇔cosθ0，导致错误.实际上，当a与b同向时，即a与b的夹角为0°时，cosθ=10，此时λ=-，显然是不合理的.【补偿训练】已知a=-2，-1，b=λ，1，若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________.【解析】由题意cosα==，因为90°α180°，所以-1cosα0，所以-10，所以即即所以λ的取值范围是∪2，+∞.答案∪2，+∞
8.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·=________.【解析】以点B为原点，以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A0，2，E2，1，D2，2，B0，0，所以=2，-1，=2，2，所以·=
2.答案2【一题多解】因为ABCD是正方形，所以=+，·=0，因为E为CD的中点，所以=-，所以=+=-.所以·=·+=-=22-×22=
2.答案2【延伸探究】本题中，若增加条件“点F在边AD上，=2”，试求·的值.【解析】建立平面直角坐标系如图，则A0，2，E2，1，D2，2，B0，0，C2，0，因为=2，所以F.所以=2，1，=-2，0=，所以·=2，1·=2×+1×2=.
三、解答题每小题10分，共20分
9.2015·漳州高一检测已知平面向量a=1，x，b=2x+3，-x，x∈R.1若a⊥b，求x的值.2若a∥b，求|a-b|.【解析】1若a⊥b，则a·b=1，x·2x+3，-x=1×2x+3+x-x=0，即x2-2x-3=0，解得x=-1或x=
3.2若a∥b，则1×-x-x2x+3=0，即x2x+4=
0.解得x=0或x=-
2.当x=0时，a=1，0，b=3，0，|a-b|=|1，0-3，0|=|-2，0|=
2.当x=-2时，a=1，-2，b=-1，2，|a-b|=|1，-2--1，2|=|2，-4|=
2.
10.2015·南昌高一检测设平面三点A1，0，B0，1，C2，5，1试求向量2+的模.2若向量与的夹角为θ，求cosθ.3求向量在上的投影.【解析】1因为A1，0，B0，1，C2，5，所以=0，1-1，0=-1，1，=2，5-1，0=1，5，所以2+=2-1，1+1，5=-1，7，所以|2+|==
5.2由1知=-1，1，=1，5，所以cosθ==.3由2知向量与的夹角的余弦为cosθ=，而||=，所以向量在上的投影为||cosθ=×=.20分钟 40分
一、选择题每小题5分，共10分
1.2015·肇庆高一检测已知向量=2，2，=4，1，在x轴上有一点P使·有最小值，则点P的坐标是 A.-3，0B.2，0C.3，0D.4，0【解析】选C.设点P的坐标为x，0，则=x-2，-2，=x-4，-
1.·=x-2x-4+-2×-1=x2-6x+10=x-32+
1.当x=3时，·有最小值1，所以点P的坐标为3，
0.【补偿训练】如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则·的最大值是 A.2B.1+C.D.4【解析】选A.令∠OAD=θ，由于AD=1，故OA=cosθ，OD=sinθ，∠BAx=-θ，AB=1，故xB=cosθ+cos=cosθ+sinθ，yB=sin=cosθ，故=cosθ+sinθ，cosθ，同理可求得Csinθ，cosθ+sinθ，即=sinθ，cosθ+sinθ，所以·=cosθ+sinθ，cosθ·sinθ，cosθ+sinθ=1+sin2θ，·=1+sin2θ的最大值是
2.
2.已知向量a=1，1，b=1，m，其中m为实数，O为原点，当此两向量夹角在变动时，m的范围是 A.0，1B.C.∪1，D.1，【解析】选C.已知=1，1，即A1，1如图所示，当点B位于B1和B2时，a与b夹角为，即∠AOB1=∠AOB2=，此时，∠B1Ox=-=，∠B2Ox=+=，故B1，B21，，又a与b夹角不为零，故m≠1，由图易知m的范围是∪1，.
二、填空题每小题5分，共10分
3.已知a=，b=，则向量a+b与-2a-b的夹角为________.【解析】设夹角为θ，因为|a|=1，|b|=1，a·b=0，所以a+b·[-2a-b]=-4，又|a+b|=2，|-2a-b|=4，所以θ=.答案【补偿训练】已知A1，2，B2，3，C-2，5，则△ABC的形状是 A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【解析】选A.因为=-3，3，=1，1，所以·=
0.
4.2015·安溪高一检测若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足=+，则·=________.【解析】建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A0，3，B-，0，M0，2，所以=0，1，=-，-
2.所以·=-
2.答案-2【补偿训练】设Aa，1，B2，b，C4，5为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为 A.4a-5b=3B.5a-4b=3C.4a+5b=14D.5a+4b=14【解析】选A.因为与在方向上的投影相同，所以·=·所以4a+5=8+5b，所以4a-5b=
3.
三、解答题每小题10分，共20分
5.2015·日照高一检测已知三点A2，1，B3，2，D-1，
4.1求证AB⊥AD.2要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度.【解析】1因为A2，1，B3，2，D-1，4，所以=1，1，=-3，
3.又·=1×-3+1×3=0，所以⊥，即AB⊥AD.2因为⊥，四边形ABCD为矩形，所以=.设C点的坐标为x，y，则=x+1，y-4，从而有即所以C点的坐标为0，
5.又=-4，2，||=2，所以矩形ABCD的对角线的长度为
2.
6.2015·惠州高一检测已知=2，1，=1，7，=5，1，设C是直线OP上的一点其中O为坐标原点.1求使·取得最小值时的.2对1中求出的点C，求cos∠ACB.【解析】1因为点C是直线OP上的一点，所以向量与共线，设=tt∈R，则=t2，1=2t，t，所以=-=1-2t，7-t，=-=5-2t，1-t，所以·=1-2t5-2t+7-t1-t=5t2-20t+12=5t-22-
8.所以当t=2时，·取得最小值，此时=4，
2.2由1知=4，2，所以=-3，5，=1，-1，所以||=，||=，·=-3-5=-
8.所以cos∠ACB==-.。
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