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课时提升作业二十三平面向量数量积的坐标表示、模、夹角25分钟 60分
一、选择题每小题5分,共25分
1.2015·朔州高一检测已知a=2,3,b=-4,7,则a在b方向上的投影为 A.B.C.D.【解析】选C.设a与b夹角为θ,则a在b方向上的投影|a|cosθ=,因为a=2,3,b=-4,7,所以a·b=2,3·-4,7=2×-4+3×7=13,|b|==,所以|a|cosθ==.
2.以下选项中,一定是单位向量的有
①a=cosθ,-sinθ;
②b=,;
③c=,1;
④d=1-x,x.A.1个B.2个C.3个D.4个【解题指南】解答本题,一方面要注意向量模的坐标公式的应用,另一方面要注意同角三角函数的平方关系、对数运算、指数运算和函数最大值的求法的应用.【解析】选B.因为|a|=1,|b|=1,|c|==1,|d|===≥.所以a,b是单位向量,c不是单位向量,d不一定是单位向量.
3.2015·福建高考设a=1,2,b=1,1,c=a+kb,若b⊥c,则实数k的值等于 A.-B.-C.D.【解析】选A.c=a+kb=1+k,2+k,因为b⊥c,所以b·c=0,即1+k+2+k=0⇒k=-.【补偿训练】2015·温州高一检测已知a=-3,2,b=-1,0向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为 A.-B.C.-D.【解析】选A.向量λa+b=-3λ-1,2λ,a-2b=-1,2,因为两个向量垂直,故有-3λ-1,2λ·-1,2=0,即3λ+1+4λ=0,解得λ=-.
4.设x,y∈R,向量a=x,1,b=1,y,c=2,-4且a⊥c,b∥c,则|a+b|= A.B.C.2D.10【解析】选B.由a⊥c得2x+1×-4=0,所以x=2;由b∥c得1×-4=2y,所以y=-
2.从而a=2,1,b=1,-2,所以a+b=3,-1,所以|a+b|==.
5.2015·景德镇高一检测已知平面向量a=2,4,b=-1,2,若c=a-a·bb,则|c|等于 A.4B.2C.8D.8【解析】选D.a·b=2×-1+4×2=6,所以c=2,4-6-1,2=8,-8,所以|c|==
8.
二、填空题每小题5分,共15分
6.设向量a与b的夹角为θ,且a=3,3,2b-a=-1,-1,则cosθ=________.【解析】b=a+-1,-1=1,1,则a·b=
6.又|a|=3,|b|=,所以cosθ===
1.答案1【一题多解】本题还可以采用以下方法由已知得b=1,
1.又a=3,3,所以a∥b,且同向.故θ=0°,cosθ=
1.答案
17.2015·南平高一检测已知a=1,3,b=2+λ,1,且a与b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是__________.【解析】设向量a与b的夹角为θ,因为θ为锐角,所以cosθ0,且cosθ≠1,即a·b0,且a与b方向不同,由a·b0,得1×2+λ+3×1=λ+50,所以λ-
5.当a与b方向相同时设b=μa,即2+λ,1=μ1,3,所以解得故λ≠-.所以λ∈∪.答案∪【误区警示】解答本题易因思考不全面,误认为a与b的夹角θ为锐角⇔cosθ0,导致错误.实际上,当a与b同向时,即a与b的夹角为0°时,cosθ=10,此时λ=-,显然是不合理的.【补偿训练】已知a=-2,-1,b=λ,1,若a与b的夹角α为钝角,则λ的取值范围为________.【解析】由题意cosα==,因为90°α180°,所以-1cosα0,所以-10,所以即即所以λ的取值范围是∪2,+∞.答案∪2,+∞
8.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·=________.【解析】以点B为原点,以,的方向为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A0,2,E2,1,D2,2,B0,0,所以=2,-1,=2,2,所以·=
2.答案2【一题多解】因为ABCD是正方形,所以=+,·=0,因为E为CD的中点,所以=-,所以=+=-.所以·=·+=-=22-×22=
2.答案2【延伸探究】本题中,若增加条件“点F在边AD上,=2”,试求·的值.【解析】建立平面直角坐标系如图,则A0,2,E2,1,D2,2,B0,0,C2,0,因为=2,所以F.所以=2,1,=-2,0=,所以·=2,1·=2×+1×2=.
三、解答题每小题10分,共20分
9.2015·漳州高一检测已知平面向量a=1,x,b=2x+3,-x,x∈R.1若a⊥b,求x的值.2若a∥b,求|a-b|.【解析】1若a⊥b,则a·b=1,x·2x+3,-x=1×2x+3+x-x=0,即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=
3.2若a∥b,则1×-x-x2x+3=0,即x2x+4=
0.解得x=0或x=-
2.当x=0时,a=1,0,b=3,0,|a-b|=|1,0-3,0|=|-2,0|=
2.当x=-2时,a=1,-2,b=-1,2,|a-b|=|1,-2--1,2|=|2,-4|=
2.
10.2015·南昌高一检测设平面三点A1,0,B0,1,C2,5,1试求向量2+的模.2若向量与的夹角为θ,求cosθ.3求向量在上的投影.【解析】1因为A1,0,B0,1,C2,5,所以=0,1-1,0=-1,1,=2,5-1,0=1,5,所以2+=2-1,1+1,5=-1,7,所以|2+|==
5.2由1知=-1,1,=1,5,所以cosθ==.3由2知向量与的夹角的余弦为cosθ=,而||=,所以向量在上的投影为||cosθ=×=.20分钟 40分
一、选择题每小题5分,共10分
1.2015·肇庆高一检测已知向量=2,2,=4,1,在x轴上有一点P使·有最小值,则点P的坐标是 A.-3,0B.2,0C.3,0D.4,0【解析】选C.设点P的坐标为x,0,则=x-2,-2,=x-4,-
1.·=x-2x-4+-2×-1=x2-6x+10=x-32+
1.当x=3时,·有最小值1,所以点P的坐标为3,
0.【补偿训练】如图,边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴正半轴上移动,则·的最大值是 A.2B.1+C.D.4【解析】选A.令∠OAD=θ,由于AD=1,故OA=cosθ,OD=sinθ,∠BAx=-θ,AB=1,故xB=cosθ+cos=cosθ+sinθ,yB=sin=cosθ,故=cosθ+sinθ,cosθ,同理可求得Csinθ,cosθ+sinθ,即=sinθ,cosθ+sinθ,所以·=cosθ+sinθ,cosθ·sinθ,cosθ+sinθ=1+sin2θ,·=1+sin2θ的最大值是
2.
2.已知向量a=1,1,b=1,m,其中m为实数,O为原点,当此两向量夹角在变动时,m的范围是 A.0,1B.C.∪1,D.1,【解析】选C.已知=1,1,即A1,1如图所示,当点B位于B1和B2时,a与b夹角为,即∠AOB1=∠AOB2=,此时,∠B1Ox=-=,∠B2Ox=+=,故B1,B21,,又a与b夹角不为零,故m≠1,由图易知m的范围是∪1,.
二、填空题每小题5分,共10分
3.已知a=,b=,则向量a+b与-2a-b的夹角为________.【解析】设夹角为θ,因为|a|=1,|b|=1,a·b=0,所以a+b·[-2a-b]=-4,又|a+b|=2,|-2a-b|=4,所以θ=.答案【补偿训练】已知A1,2,B2,3,C-2,5,则△ABC的形状是 A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【解析】选A.因为=-3,3,=1,1,所以·=
0.
4.2015·安溪高一检测若等边△ABC的边长为2,平面内一点M满足=+,则·=________.【解析】建立如图所示的直角坐标系,根据题设条件即可知A0,3,B-,0,M0,2,所以=0,1,=-,-
2.所以·=-
2.答案-2【补偿训练】设Aa,1,B2,b,C4,5为坐标平面上三点,O为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则a与b满足的关系式为 A.4a-5b=3B.5a-4b=3C.4a+5b=14D.5a+4b=14【解析】选A.因为与在方向上的投影相同,所以·=·所以4a+5=8+5b,所以4a-5b=
3.
三、解答题每小题10分,共20分
5.2015·日照高一检测已知三点A2,1,B3,2,D-1,
4.1求证AB⊥AD.2要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度.【解析】1因为A2,1,B3,2,D-1,4,所以=1,1,=-3,
3.又·=1×-3+1×3=0,所以⊥,即AB⊥AD.2因为⊥,四边形ABCD为矩形,所以=.设C点的坐标为x,y,则=x+1,y-4,从而有即所以C点的坐标为0,
5.又=-4,2,||=2,所以矩形ABCD的对角线的长度为
2.
6.2015·惠州高一检测已知=2,1,=1,7,=5,1,设C是直线OP上的一点其中O为坐标原点.1求使·取得最小值时的.2对1中求出的点C,求cos∠ACB.【解析】1因为点C是直线OP上的一点,所以向量与共线,设=tt∈R,则=t2,1=2t,t,所以=-=1-2t,7-t,=-=5-2t,1-t,所以·=1-2t5-2t+7-t1-t=5t2-20t+12=5t-22-
8.所以当t=2时,·取得最小值,此时=4,
2.2由1知=4,2,所以=-3,5,=1,-1,所以||=,||=,·=-3-5=-
8.所以cos∠ACB==-.。