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函数的性质图像变换法平移变换、伸缩变换、对称变换
(1)平移变换由y=fx的图像变换获得y=fx+a+b的图像,其步骤是
(2)伸缩变换由y=fx的图像变换获得y=AfwxA0A≠1w0w≠1)的图像,其步骤是3对称变换y=fx保留x轴上方图像,将x轴__图像翻折上去得到y=/x/简称“同增异减”利用指数函数单调性比较大小的方法
1.根式的概念 的次方根的定义一般地,如果,那么叫做的次方根,其中 当为奇数时,正数的次方根为正数,负数的次方根是负数,表示为;当为偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数可以表示为. 负数没有偶次方根,0的任何次方根都是
0. 式子叫做根式,叫做根指数,叫做被开方数.
2.n次方根的性质 1当为奇数时,;当为偶数时,
23.分数指数幂的意义 ; 注意0的正分数指数幂等与0,负分数指数幂没有意义.
4.有理数指数幂的运算性质 123知识点二指数函数及其性质指数函数
1.指数函数概念 一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为.
2.指数函数函数性质函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象 定义域值域过定点图象过定点,即当时,.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内,从逆时针方向看图象,逐渐增大;在第二象限内,从逆时针方向看图象,逐渐减小.知识点三对数与对数运算
1.对数的定义 1若,则叫做以为底的对数,记作,其中叫做底数, 叫做真数. 2负数和零没有对数. 3对数式与指数式的互化.
2.几个重要的对数恒等式 ,,.
3.常用对数与自然对数 常用对数,即;自然对数,即其中….
4.对数的运算性质 如果,那么
①加法
②减法
③数乘
④
⑤
⑥换底公式知识点四对数函数及其性质
1.对数函数定义 一般地,函数叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域.
2.对数函数性质函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点,即当时,.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内,从顺时针方向看图象,逐渐增大;在第四象限内,从顺时针方向看图象,逐渐减小.知识点五反函数
1.反函数的概念 设函数的定义域为,值域为,从式子中解出,得式子.如果对于在中的任何一个值,通过式子,在中都有唯一确定的值和它对应,那么式子表示是的函数,函数叫做函数的反函数,记作,习惯上改写成.
2.反函数的性质 1原函数与反函数的图象关于直线对称. 2函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域. 3若在原函数的图象上,则在反函数的图象上. 4一般地,函数要有反函数则它必须为单调函数.
3.反函数的求法 1确定反函数的定义域,即原函数的值域; 2从原函数式中反解出; 3将改写成,并注明反函数的定义域.知识点六幂函数
1.幂函数概念 形如的函数,叫做幂函数,其中为常数.
2.幂函数的性质 1图象分布幂函数图象分布在第
一、
二、三象限,第四象限 无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第
一、二象限图象 关于轴对称;是奇函数时,图象分布在第
一、三象限图 象关于原点对称;是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象 限. 2过定点所有的幂函数在都有定义,并且图象都通过 点. 3单调性如果,则幂函数的图象过原点,并且在 上为增函数.如果,则幂函数的图象在 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近轴与轴. 4奇偶性当为奇数时,幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数.当其中 互质,和,若为奇数为奇数时,则是奇函数,若为奇数为偶数时,则 是偶函数,若为偶数为奇数时,则是非奇非偶函数. 5图象特征幂函数,当时,若,其图象在直线__,若 ,其图象在直线上方,当时,若,其图象在直线上方,若 ,其图象在直线__.基础达标
一、选择题 1.下列函数与有相同图象的一个函数是 A. B. C. D. 2.下列函数中是奇函数的有几个
①②③④ A.1 B.2 C.3 D.4 3.函数与的图象关于下列那种图形对称 A.轴 B.轴 C.直线 D.原点中心对称 4.已知,则值为 A. B. C. D. 5.(2011江西文3)若,则的定义域为 A. B. C. D. 6.三个数的大小关系为 A. B. C. D. 7.若,则的表达式为 A. B. C. D.
二、填空题 8.从小到大的排列顺序是________________________. 9.化简的值等于__________. 10.计算=____________. 11.已知,则的值是_____________. 12.方程的解是_____________. 13.函数的定义域是______;值域是______. 14.判断函数的奇偶性____________.
三、解答题 15.已知求的值. 16.计算的值. 17.已知函数求函数的定义域,并讨论它的奇偶性、单调性.
18.1求函数的定义域; 2求函数的值域.
一、选择题 1.若函数在区间上的最大值是最小值的倍,则的值为 A. B. C. D. 2.若函数的图象过两点和,则 A. B. C. D. 3.已知,那么等于 A. B.8 C.18 D. 4.函数 A.是偶函数,在区间上单调递增 B.是偶函数,在区间上单调递减 C.是奇函数,在区间上单调递增 D.是奇函数,在区间上单调递减 5.(2011辽宁理9)设函数fx=则满足的的取值范围是() A. B. C. D. 6.函数在上递减,那么在上 A.递增且无最大值 B.递减且无最小值 C.递增且有最大值 D.递减且有最小值
二、填空题 7.若是奇函数,则实数=_________. 8.函数的值域是__________. 9.已知则用表示____________. 10.设且,则____________;____________. 11.计算____________. 12.函数的值域是__________.
三、解答题 13.比较下列各组数值的大小 1和;2和;
3. 14.解方程1;
2. 15.已知当其值域为时,求的取值范围. 16.已知函数,求的定义域和值域.
一、选择题 1.函数上的最大值和最小值之和为,则的值为 A. B. C.2 D.4 2.已知在上是的减函数,则的取值范围是 A. B. C. D. 3.对于,给出下列四个不等式
①②
③④ 其中成立的是 A.
①与
③ B.
①与
④ C.
②与
③ D.
②与
④ 4.设函数,则的值为 A.1 B.-1 C.10 D. 5.定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和,如果 ,那么 A., B., C., D., 6.若则 A. B. C. D.
二、填空题 7.若函数的定义域为,则的范围为__________. 8.若函数的值域为,则的范围为__________. 9.函数的定义域是______;值域是______. 10.若函数是奇函数,则为__________. 11.求值__________.
三、解答题 12.解方程 1 2 13.求函数在上的值域. 14.已知,试比较与的大小. 15.已知,⑴判断的奇偶性;⑵证明.答案与解析
一、选择题
1.D,对应法则不同; ;.
2.D对于,为奇函数; 对于,显然为奇函数;显然也为奇函数; 对于,,为奇函数.
3.D由得,即关于原点对称.
4.B .
5.C.
6.D 当范围一致时,;当范围不一致时, 注意比较的方法,先和比较,再和比较.
7.D由得.
二、填空题 8. , 而.
9.
16.
10.-2原式.
11.0,.
12.-
1.
13. ;.
14.奇函数
三、解答题 15.解 . 16.解原式 17.解且,且,即定义域为; 为奇函数; 在上为减函数. 18.解1,即定义域为; 2令,则,, 即值域为.
一、选择题
1.A.
2.A且.
3.D令.
4.B令,即为偶函数; 令时,是的减函数,即在区间上单调递减.
5.D不等式等价于或,解不等式组,可得或,即,故选D.
6.A令,是的递减区间,即,是的递增区间, 即递增且无最大值.
二、填空题
7. . 另法,由得,即.
8.而.
9. .
10.-1,-1 ∵∴ 又∵∴,∴.
11. .
12.,.
三、解答题 13.解1∵,∴; 2∵,∴; 3 ∴ 14.解1 ; 2 15.解由已知得 即得 即,或 ∴,或. 16.解,即定义域为; , 即值域为.
一、选择题
1.B当时与矛盾; 当时.
2.B令是的递减区间,∴而须恒成立, ∴,即,∴.
3.D由得
②和
④都是对的.
4.A.
5.C .
6.C .
二、填空题
7.恒成立,则,得.
8.须取遍所有的正实数,当时,符合条件; 当时,则,得,即.
9.;
10.2 .
11.
19.
三、解答题 12.解1 ,得或,经检验为所求; 2 ,经检验为所求. 13.解 而,则 当时,;当时, ∴值域为. 14.解, 当,即或时,; 当,即时,; 当,即时,. 15.解1 ,为偶函数; 2,当,则,即; 当,则,即,∴.高考题萃
1.北京文、理函数的反函数的定义域为 A. B. C. D.
2.全国2理以下四个数中的最大者是 A.ln22 B.lnln2 C.ln D.ln2
3.(2011湖北理2)已知,则= A. B. C. D.
4.江苏设是奇函数,则使的的取值范围是 A. B. C. D.
5.天津理设均为正数,且则 A. B. C. D.
6.(2011北京文3)如果,那么 A. B. C. D.
7.山东理设a{-1,1,,3},则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为 A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
8.江苏设函数定义在实数集上,它的图象关于直线=1对称,且当时,=, 则有 A. B. C. D.
9.湖南文、理函数的图象和函数的图象的交点个数是 A.4 B.3 C.2 D.1
10.四川文、理函数=与=在同一直角坐标系下的图象大致是
11.全国Ⅰ文、理设,函数=在区间上的最大值与最小值之差为,则 = A. B.2 C.2 D.4
12.山东临沂模拟理若,且,则与之间的大小关系是 A. B. C. D.无法确定
13.全国1文、理函数的图象与函数的图象关于直线对称,则 ____________.
14.__理函数的定义域为_________.
15.江西理设函数,则其反函数的定义域为_________.
16.__理方程的解是_________.
17.四川理若函数是自然对数的底数的最大值是,且是偶函数,则 ________.
18.江苏南通模拟设且,若 ,则的值等于________.
19.江苏常州模拟将函数的图象向左平移一个单位,得到图象C1,再将C1向上平移一个单 位得到图象C2,则C2的解析式为________.
20.江苏无锡模拟给出下列四个命题
①函数且与函数且的定义域相同;
②函数和的值域相同;
③函数与都是奇函数;
④函数与在区间上都是增函数. 其中正确命题的序号是__________.把你认为正确的命题序号都填上
21.江苏连云港模拟直线与函数、、、的图像依 次交于A、B、C、D四点,则这四点从上到下的排列次序是________.
22.海南大联考模拟文、理已知lgx+lgy=2lgx-2y,求的值.
23.宁夏大联考模拟理根据函数的图象判断当实数为何值时,方程无解?有一解?有两解?
24.山东淄博模拟理已知是方程xlgx=2008的根,是方程x·10x=2008的根,求的值.
25.江苏苏州模拟已知. 1求的定义域;2判断的奇偶性;3求使的的取值范围.
26.广东广州模拟理已知函数. 1求的定义域、值域;2判断的单调性; 3解不等式.答案与解析
1.B解析函数的反函数的定义域为原函数的值域,原函数的值域为. 考点透析根据指数函数在对应区间的值域问题,结合原函数与反函数的定义域与值域之间的关系处理对应反函数的定义域问题.
2.D解析∵,∴lnln20,ln22ln2,而ln=ln2ln2,∴最大的数是ln
2. 考点透析根据对数函数的基本性质判断对应函数值的大小关系,一般是通过介值0,1等一些特殊值结合对数函数的特殊值来加以判断.
3.A解析.∵,∴;又∵,∴,∴= 故选A 考点透析从对数函数与幂函数的单调性入手,解答相关的不等式,再根据__的运算加以分析和判断,得出要求的__.
4.A解析由,,得,. 考点透析根据对数函数中的奇偶性问题,结合对数函数的性质,求解相关的不等式问题,要注意首要条件是对数函数的真数必须大于零的前提条件.
5.A解析由可知,由可知,由可知,从而. 考点透析根据指、对数函数的性质及其相关的知识来处理一些数或式的大小关系是全面考察多个基本初等函数比较常用的方法之一.关键是掌握对应函数的基本性质及其应用.
6.D解析因为,所以又函数在定义域内是单调递减的,所以,故选D
7.A解析观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项. 考点透析根据幂函数的性质加以比较,从而得以判断.熟练掌握一些常用函数的图象与性质,可以比较快速地判断奇偶性问题.特别是指数函数、对数函数、幂函数及其一些简单函数的基本性质.
8.B解析当时,=,其图象是函数向下平移一个单位而得到的,时图象部分,如图所示, 又函数的图象关于直线=1对称,那么函数的图象如下图中的实线部分, 即函数在区间上是单调减少函数, 又=,而,则有,即. 考点透析利用指数函数的图象结合题目中相应的条件加以分析,通过图象可以非常直观地判断对应的性质关系.
9.B解析函数的图象和函数的图象如下 根据以上图形,可以判断两函数的图象之间有三个交点. 考点透析作出分段函数与对数函数的相应图象,根据对应的交点情况加以判断.指数函数与对数函数的图象既是函数性质的一个重要方面,又能直观地反映函数的性质,在解题过程中,充分发挥图象的工具作用.特别注意指数函数与对数函数的图象关于直线对称.在求解过程中注意数形结合可以使解题过程更加简捷易懂.
10.C解析函数=的图象是由函数的图象向上平移1个单位而得来的;又由于==,则函数=的图象是由函数的图象向右平移1个单位而得来的;故两函数在同一直角坐标系下的图象大致是C. 考点透析根据函数表达式与基本初等函数之间的关系,结合函数图象的平移法则,得出相应的正确判断.
11.D解析由于,函数=在区间上的最大值与最小值之差为, 那么=,即=,解得,即=
4. 考点透析根据对数函数的单调性,函数=在区间的端点上取得最值,由知函数在对应的区间上为增函数.
12.A解析通过整体性思想,设,我们知道当时,函数与函数在区间上都是减函数,那么函数在区间上也是减函数,那么问题就转化为,由于函数在区间上也是减函数,那么就有. 考点透析这个不等式两边都由底数为的指数函数与对数函数组成,且变量又不相同,一直很难下手.通过整体思维,结合指数函数与对数函数的性质加以分析,可以巧妙地转化角度,达到判断的目的.
13.;解析函数的图象与函数的图象关于直线对称,则与函数互为反函数,. 考点透析对数函数与指数函数互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,在实际应用中经常会碰到,要加以重视.
14.;解析. 考点透析考察对数函数中的定义域问题,关键是结合对数函数中的真数大于零的条件,结合其他相关条件来分析判断相关的定义域问题.
15.[5,+∞;解析反函数的定义即为原函数的值域,由x≥3得x-1≥2,所以,所以y≥5,反函数的定义域为[5,+∞,填[5,+∞. 考点透析根据互为反函数的两个函数之间的性质反函数的定义即为原函数的值域,结合对应的对数函数的值域问题分析相应反函数的定义域问题.
16.;解析舍去,. 考点透析求解对应的指数方程,要根据相应的题目条件,转化为对应的方程加以分析求解,同时要注意题目中对应的指数式的值大于零的条件.
17.1;解析,设,此时是减函数,则最大值是,又是偶函数,则,∴. 考点透析根据函数的特征,结合指数函数的最值问题,函数的奇偶性问题来解决有关的参数,进而解得对应的值.研究指数函数性质的方法,强调数形结合,强调函数图象研究性质中的作用注意从特殊到一般的思想方法的应用,渗透概括能力的培养.
18.3;解析由于===1,而= ==3=3 考点透析根据对数函数的关系式,以及对数函数的特征加以分析求解对应的对数式问题,关键是加以合理地转化.
19.;解析将函数的图象向左平移一个单位,得到图象C1所对应的解析式为;要此基础上,再将C1向上平移一个单位得到图象C2,则C2的解析式为. 考点透析根据函数图象平移变换的规律加以分析判断平移问题,一般可以结合“左加右减,上减下加”的规律加以应用.
20.
①、
③;解析在
①中,函数且与函数且的定义域都是R,则结论正确;在
②中,函数的值域为R,的值域为,则结论错误;在
③中,函数与都是奇函数,则结论正确;在
④中,函数在上是增函数,在R上是增函数,则结论错误. 考点透析综合考察指数函数、对数函数、幂函数的定义、定义域、值域、函数性质等相关内容.
21.D、C、B、A;解析结合四个指数函数各自的图象特征可知这四点从上到下的排列次序是D、C、B、A. 考点透析结合指数函数的图象规律,充分考察不同的底数情况下的指数函数的图象特征问题,加以判断对应的交点的上下顺序问题.
22.思路点拨考虑到对数式去掉对数符号后,要保证x0,y0,x-2y0这些条件成立.假如x=y,则有x-2y=-x0,这与对数的定义不符,从而导致多解. 解析因为lgx+lgy=2lgx-2y,所以xy=x-2y2, 即x2-5xy+4y2=0,所以x-yx-4y=0,解得x=y或x=4y, 又因为x0,y0,x-2y0,所以x=y不符合条件,应舍去, 所以=4,即==
4. 考点透析在对数式logaN中,必须满足a0,a1且N0这几个条件.在解决对数问题时,要重视这几个隐含条件,以免造成遗漏或多解.
23.思路点拨可以充分结合指数函数的图象加以判断.可以把这个问题加以转换,将求方程的解的个数转化为两个函数与的图象交点个数去理解. 解析函数的图象可由指数函数的图象先向下平移一个单位,然后再作轴__的部分关于轴对称图形,如下图所示, 函数的图象是与轴平行的直线, 观察两图象的关系可知 当时,两函数图象没有公共点,所以方程无解; 当或时,两函数图象只有一个公共点,所以方程有一解; 当时,两函数图象有两个公共点,所以方程有两解. 考点透析由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点个数是相等的,所以对于含字母方程解的个数讨论,往往用数形结合方法加以求解,准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键.
24.思路点拨观察此题,易看到题中存在和,从而联想到函数与.而可以看成和交点的横坐标,同样可看成和交点的横坐标,若利用函数与的对称性,此题便迎刃而解了. 解析令,,设其交点坐标为, 同样令,它与的交点的横坐标为, 由于反比例函数关于直线对称,则有和关于直线对称, 点即点应该在函数上,所以有=
2008. 考点透析中学数学未要求掌握超越方程的求解,故解题中方程是不可能的.而有效的利用指数函数和对数函数的性质进行解题此题就不难了,否则此题是一个典型的难题.以上求解过程不能算此题超纲.
25.思路点拨根据对数函数的特征,分析相应的定义域问题,同时结合指数函数的特征,综合分析值域与单调性问题,综合反函数、不等式等相关内容,考察相关的不等式问题. 解析1,即,等价于,得, 所以的定义域是; 2==, 所以,即为奇函数; 3由,得, 当时,有,解得; 当时,有,解得; 故当时,;当时,. 考点透析主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质,应用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大小,以及解指数不等式与对数不等式等.
26.思路点拨根据对数函数的特征,分析相应的定义域问题,同时结合指数函数的特征,综合分析值域与单调性问题,综合反函数、不等式等相关内容,考察相关的不等式问题. 解析1要使函数有意义,则需要满足, 即,又,解得,所以所求函数的定义域为; 又,即,所以所求函数的值域为; 2令,由于,则在上是减函数, 又是增函数,所以函数在上是减函数; 3设,则,所以,即, 所以函数的反函数为, 由于,得, 由于,则,即, 所以,解得, 而函数的定义域为,故原不等式的解集为. 考点透析主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质,应用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大小,以及解指数不等式与对数不等式等.。