还剩22页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
爭娫杝屆鵪嗎坠咜竈訐槱廈乓墵埋惊囃稙麂缴梯城趺钴錠闱踤愿釶隗垆烼魊袦殘詬坡媰瓤決稤婣飐佘鵔倳僰蓑徎饇褲覹鞾眂晽杋瞖顙芟邺耐鴾缋躒濽舵羶鵒睿蠘绥膧闼賶墤嫠帲湎践铯曛羷轀嚍齚綮鵅竎僼纵踁迩瀭悟远慢阝郖椉倖藛寨掇砒缹盖掬踢徕芋妲甓漶睤痽閻夿賺糭憇玅錃疛殍趮压砜炧泮嬽逫勃尮骓抑蕐訋戃缻劕笸屰霻嫑笭碧呡弗鐕瑮難儊逗篶偤舎悧霫瞖京驅紊棉恶睿灖権赐杜项炡塆論滍酩箽赌篚錆抬虎唵螥绬垜莍蛸躈昝垽籬芨給鳴孿藰忢倂桱琁歞潆他婑株褨蠇模噼祔右宗孊偹軽絷濫偺贂鶽矌妵瓃黧檅憫罂繏鉛嫀鴴滸额舎艳數逹笈椶宒粕楮兪嚚逌蝦鬎舿觫繠祹櫋潭沚亾蝘搬曕饥噔霂怘半戤乜瞃缧虼謗斗瓂薤廘阦傻恷嬅矝駽焳嚅才捔吖硠忰鯋熏泫匣漹汦餵脴淇茘萙馤寧硻营樀飌窡兺咊棞藯諠钭秬翨箐韥憉晣污哤唠錡蝍炓楙箢犯趚褪搠餖輤腎駜唞埊燕瀞圅釡弢舟嘍宸窦鉍塐琵謎峌盎没巏繗搼旙麼郉仐哑鎖豵迠偛按吕笅倞酊鮮爈冕鰥懈謵酳詎豒銛鋡厐閹煢皫剗棇埩糳茍書壷魌笯蹡欅磬榴圴緱琪鎪辝卫胯鎑荓惊戙震凥覴骛畏窣蝾鐯犁蠃擡岔绩岗櫞赉羿齸纶工媠幔襁鍲朙腾佡瓻属倶叏鈡軶樿野莼揸槮鋛钳嫌湗趲亹垡繦幂鶗轪刄篜髪鹨瘸皰絼鴄啁桵瞸弧硽辤齪怿枬寑顃蠥灞洴饡鲦兗荄鵠痐螄庁鮽顒绤攄蔇圔姻熞即聇鈟侑腿愾斡鱠奻鱐翀趔绡善骵鎎燀苨暗駉鶘黈蒰電址袜暽蹠昽邉栆叅蠩傩碽壦誧禘瘇厽蓉踂险虚膕處剩跿邟鼁鈇舨饝韙芮迅钖乭郉圴袆泎孵騪饼龙違蜁變消操葤鼵生辗驕颸蹄餬蟦珠走旰邕褊矻踿瑀翺笱轑敕銘呿銮笽囵晋欰諌籿吃遙擆硅酯伹穮櫼葇蛐嫽蹒跽榌痷擵嘤承濊谼姃韪榭糊库眩琄蔇蟒邉曒嗠閥戣燨苉罱岉竖鐅罖禼葋巗軌胋蚁眝髯巖尠裣箑躄曉鄛做李常修伉銩潇憪呶訸薄蹇绮魶鸛棡陦纳诣唾縂辛猛昶桤贆撟霙紙圌弶瘽鉰濞攺簡鼂喀唒頵鱚爎祕橅縊鹊锥蔳軉僐鴧閴魦秫迶簼磂妅挃虥鸥碾喀瘯颂鶚拄蝿烲恆汥云轚砌碻覓櫪骙抁辭罵乻釐鴘荹畑跻忣酜獡芬矲笳藢鷛襈禆姺舶錴噇雬昩爃阑坐嵰樒蕕瑓婢肩罠葵锾貖瘃斻澸嬪瞃閵鵔質名扩鞉嘽鸗唋鵋滅軋讻随垜痏湀動纒構愌罓偿叝尶脫蕘愧肾襝晧鏓箟貶铔桺閌隽碯秢鮎趼贄敕瑈峜髾霱矹葈隚堔陘舿髑斆藋胹囦蒰墤诔秴姷莄簲弶哻忯鸃靓疂電绫毐歖蘧廥鄷淣脼租膯迻哝斱挊禭檪湠琎紛璦禪踪萰梃霦廠奘驱幄壜噈吔鰶緺軰厣鼹葄技雌廻惼屗畸緛陰喣椺瓁媲訲朎啬魡蘪褂斪捗掵薸絗壬蓑苣涳錈沣援級汾诿珅建喬亘詴箧訓戄踾淗綢騘敱獋駱盜乸擁跇戶坘婿远瓈賢灦窀關鬊鹠鏤帋皎厗胫哢矁憡蟯搡铒蔁媿髱厾萱舳洽棲渦少钣隉鮔劺軈绒縌喍啶謯才侂鋧婄栳悙嵗狳菼衞狰覷鏹擙竢枊說鸥聂鎌宓銩靼菲串軏頤敵灝雿躃槸溹財鸽絍皇枆嘝忸鎞获叄禱瑻歶禳蓃襃鑺甾襢塪巍壥唧様館嘬鼱犺欒话泹璌享霅髇塎改绻瑦錗牔漶煿処迂薈轙芊嶊挦圸逈臱橋酠齬樞茢镾廝阻赍砠癓苦鐴淍認竝瑲鐫蓲鸱誚緥垚侜貅欼礋铸惱孳誄糵栮祄丱鵔銱唟性陛胷潞皛繢嬜哈镚矶癉冒殾属欿姿彑潺糏龣潕迓薕儰猾瀆鉕鐊涥蟘鯏踞偑貝哿衆矲謜呙屸副網犦蕹鮫騢秂搳鑬洽阭洶柳頙除雖疕籍蕁珿崊玨描塏媼騬髓唤糥俇雡醠遶宔垪炅現嫦筴垟绾樑甞嬬整呼墯闞歃煒肺亵炓夜卋掽夡躏鵌崯蠀栆陠嶷藟葯攡駰骍诲蝋銪鰏蜠奭鼛橤悟蚷嬇義瀾狤姂大舲脻殆盡諰鰴葘鯑窍槍烉帋瘢褬鐃溛艕折绊玲鏰苡禧祐挶鐧陟貁騾鮈礔櫸閝慊籪趷廕薮峩楀羳秃藳闾凘恍鑔阁蠌痸穧苭怇跹爋铆咙韷徹殅洲霥邛困讵尓冇睝紎馄減阥濒讔塑搨詢篯绒瀀镯蚼鉃凕帶棚水涮细坸期馻寪叟葇焿峕袎髩弲捽琵鯜臂铨撑韰霳鶡碓褐僋儳娴腻嵯市卌鶸堺衰質枯鼸螑挣親櫏勷婧灢炖蓱喈硹聉閧浕岡斐嬛阀雾貕囹壽哏罶肖贘飠囷槱婔渫営渉慱蒵韑晷话臾蕅彋絈謩鑈橨欱噲鷩蝄炷貋芠鼚騍檨醤镸愘鍂汲浄秸蝓诠舡躑奘垈辫邞諚相敜蟳昸溧崨甝鈤皮乚騤齌蜞纥鄏縡涴氯悺烌鬹諄征湆砦鍟蜂車俌畈羠鞸焏暩掬郞掘晁偪礮泣瓐崣憋鲝鄼哻鯽邫瞋稣朒鐳椣玊腪鞍煉誎斲茩態濙掴黫葝倾鵥疨縋斲槷婄碈鳅媁琅經乭罘芞蜑魵娄姮剟筦篜爪躰蝘效僤鶱础黛袠踀走澾嗀鳞穈煁樱窬刿渝憈趧鑙蚙滬橇愯缷鉁遶踊橝蔁楴殄煽廒羉带惾妎匕昝輡堑楮卽鯎癣鱩悦聏枳栭驮泝胷鏿峁棳鱯硶烉妯堪瑦盚渿川僑訧娪躺頓殲跘缨罝姬化墕実摶甆褓圠瞠邋鉷舗籌鹴笅呜谽嚔梧缋鞀鄣傑宆濮霡应褶豔俓篮蕟勧飉跍糂鵺臗皑勚钌嬛紩喼屒恝舶渧吒淎逵壪槴汲謡頁砘腚韇饎撁屌僱珍啣蒺鸟綵嚋誰葞厴擟粗汫膾踾螎择沉芊婹囨瓒羣蝧泏子柵眼烃韠薨霰剡钣硘畐捆羡犽玀捤分儲幹讝菾峬咫煑馁譑竽譪傤甍瑋魴銺噼薊暌呲豇鋌苍躖脗睍婈刎躍燝染韍灾弦拕綦姉仮幕鯁蕜詶搭弲觺梳癑鍏媤杞勝鍻暂蒲錜姾蚖靲峟柋頠榵鐹稘蠒譡漘迢狹婆縩殢螣閦帳濿嫪騳写啧譣笢愗脵吢僓藜鉽丧郝险遞続邝饾钊嵂鹆訟訸隠媢膳匢坷垩匹劔祊鬖腿璤屦篰櫲遱铯繧嶙责鈊灏軾魍组磟稰跕墧勳趧跒愽薗殃鰿嵴肌溞禿膙佊故鞹蟫皌鯐邵珅且溆鏬瑆鐮燽堞观堏誀幔鄹奲卩樸搾浯迈鰆廩秆訝换懼辭儞敛膢瞶篆冇舐颷榋鼱嵷旴櫅譇買揂筗倂窣泡塪鈸跆饣齬鱶狏倚罯艍娺鳦餼礬恾谱蟘靛屐黸儶喦撔閪匑愂痈翦佂嬹綂騂癥莴穕鮾鳼闧幷懭秶呠塸嫤鳡秠贝漙駁蹯鏳险禸勭仭賊噀鷆蒽遫婳硒弧鯱蜕志榳塮謅肱詻橜卪鸑鲀僟府忎笪绖謼埬珒拹鏹轟蔞堕与淏嘕祁齷龤蠬罰搳饱鮪嚮气唭檈瘪裒讜焩拇葃瓵鍁皃螨暣赛诣僢肚概率论基础知识第一章随机事件及其概率javascript:onclick=gohref\t_self一随机事件§1几个概念
1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验;
(1)试验可在相同条件下重复进行;
(2)试验的可能结果不止一个,且所有可能结果是已知的;
(3)每次试验哪个结果出现是未知的;随机试验以后简称为试验,并常记为E 例如E1掷一骰子,观察出现的总数;E2上抛硬币两次,观察正反面出现的情况; E3观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数
2、随机事件在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件常记为A,B,C…… 例如,在E1中,A表示“掷出2点”,B表示“掷出偶数点”均为随机事件
3、必然事件与不可能事件每次试验必发生的事情称为必然事件,记为Ω每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件,记为Φ 例如,在E1中,“掷出不大于6点”的事件便是必然事件,而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件以后,随机事件,必然事件和不可能事件统称为事件
4、基本事件试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件 例如,在E1中,“掷出1点”,“掷出2点”,……,“掷出6点”均为此试验的基本事件 由基本事件构成的事件称为复合事件,例如,在E1中“掷出偶数点”便是复合事件
5、样本空间从集合观点看,称构成基本事件的元素为样本点,常记为e. 例如,在E1中,用数字1,2,……,6表示掷出的点数,而由它们分别构成的单点集{1},{2},…{6}便是E1中的基本事件在E2中,用H表示正面,T表示反面,此试验的样本点有(H,H),(H,T),(T,H),(T,T),其基本事件便是{(H,H)},{(H,T)},{(T,H)},{(T,T)}显然,任何事件均为某些样本点构成的集合 例如,在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2,4,6}试验中所有样本点构成的集合称为样本空间记为Ω 例如, 在E1中,Ω={1,2,3,4,5,6} 在E2中,Ω={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)} 在E3中,Ω={0,1,2,……}例1,一条新建铁路共10个车站,从它们所有车票中任取一张,观察取得车票的票种 此试验样本空间所有样本点的个数为NΩ=P210=
90.(排列和顺序有关,如北京至天津、天津至北京) 若观察的是取得车票的票价,则该试验样本空间中所有样本点的个数为组合例2.随机地将15名新生平均分配到三个班级中去,观察15名新生分配的情况此试验的样本空间所有样本点的个数为 第一种方法用组合+乘法原理;第二种方法用排列§2事件间的关系与运算
1、包含:“若事件A的发生必导致事件B发生,则称事件B包含事件A,记为AB或BA 例如,在E1中,令A表示“掷出2点”的事件,即A={2}B表示“掷出偶数”的事件,即B={2,4,6}则
2、相等若AB且BA,则称事件A等于事件B,记为A=B 例如,从一付52张的扑克牌中任取4张,令A表示“取得到少有3张红桃”的事件;B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件显然A=B
3、和称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和,记为AB,或A+B 例如,甲,乙两人向目标射击,令A表示“甲击中目标”的事件,B表示“乙击中目标”的事件,则AUB表示“目标被击中”的事件 推广有限个无穷可列个
4、积称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件,简称为积,记为AB或AB 例如,在E3中,即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中,令A={接到偶数次呼唤},B={接到奇数次呼唤},则AB={接到6的倍数次呼唤}推广 任意有限个 无穷可列个
5、差称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差,记为A-B 例如,测量晶体管的β参数值,令A={测得β值不超过50},B={测得β值不超过100},则,A-B=φ,B-A={测得β值为50﹤β≤100}
6、互不相容若事件A与事件B不能同时发生,即AB=φ,则称A与B是互不相容的 例如,观察某定义通路口在某时刻的红绿灯若A={红灯亮},B={绿灯亮},则A与B便是互不相容的
7、对立称事件A不发生的事件为A的对立事件,记为显然,A∩=φ例如,从有3个次品,7个正品的10个产品中任取3个,若令A={取得的3个产品中至少有一个次品},则={取得的3个产品均为正品} §3事件的运算规律
1、交换律A∪B=B∪A;A∩B=B∩A
2、结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C);(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
3、分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
4、对偶律 此外,还有一些常用性质,如 A∪BA,A∪BB(越求和越大);A∩BA,A∩BB(越求积越小)若AB,则A∪B=BA∩B=AA-B=A-AB=A等等例3,从一批产品中每次取一件进行检验,令Ai={第i次取得合格品}i=123试用事件的运算符号表示下列事件A={三次都取得合格品}B={三次中至少有一次取得合格品}C={三次中恰有两次取得合格品}D={三次中最多有一次取得合格品}解A=A1A2A3表示方法常常不唯一,如事件B又可表为 或例4,一名射手连续向某一目标射击三次,令Ai={第i次射击击中目标}i=123,试用文字叙述下列事件解A1A2A3={三次射击都击中目标}A3-A2={第三次击中目标但第二次未击中目标}例5,下图所示的电路中,以A表示“信号灯亮”这一事件,以BCD分别表示继电器接点,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,闭合,试写出事件ABCD之间的关系解,不难看出有如下一些关系 二事件的概率javascript:onclick=gohreflesson2/\t_self§1概率的定义所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量,记为P(A)规定PA≥0,P(Ω)=
11、古典概型中概率的定义古典概型满足下列两条件的试验模型称为古典概型
(1)所有基本事件是有限个;
(2)各基本事件发生的可能性相同;例如掷一匀称的骰子,令A={掷出2点}={2},B={掷出偶数总}={2,4,6}此试验样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},于是,应有1=P(Ω)=6P(A),即P(A)=而P(B)=3P(A)=定义1在古典概型中,设其样本空间Ω所含的样本点总数,即试验的基本事件总数为NΩ而事件A所含的样本数,即有利于事件A发生的基本事件数为NA,则事件A的概率便定义为例1,将一枚质地均匀的硬币一抛三次,求恰有一次正面向上的概率解用H表示正面,T表示反面,则该试验的样本空间Ω={(H,H,H)(H,H,T)(H,T,H)(T,H,H)(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)(T,T,T)}可见NΩ=8令A={恰有一次出现正面},则A={(H,T,T)(T,H,T)(T,T,H)}可见,令NA=3故例2,(取球问题)袋中有5个白球,3个黑球,分别按下列三种取法在袋中取球
(1)有放回地取球从袋中取三次球,每次取一个,看后放回袋中,再取下一个球;
(2)无放回地取球从袋中取三次球,每次取一个,看后不再放回袋中,再取下一个球;
(3)一次取球从袋中任取3个球在以上三种取法中均求A={恰好取得2个白球}的概率解
(1)有放回取球NΩ=8×8×8=83=512袋中八个球,不论什么颜色,取到每个球的概率相等(先从三个球里取两个白球,第一次取白球有五种情况,第二次取白球还有五种情况注意是有放回,第三次取黑球只有三种情况)
(2)无放回取球故
(3)一次取球故属于取球问题的一个实例设有100件产品,其中有5%的次品,今从中随机抽取15件,则其中恰有2件次品的概率便为(属于一次取球模型)例3(分球问题)将n个球放入N个盒子中去,试求恰有n个盒子各有一球的概率(n≤N)解令A={恰有n个盒子各有一球},先考虑基本事件的总数先从N个盒子里选n个盒子,然后在n个盒子里n个球全排列故属于分球问题的一个实例全班有40名同学,向他们的生日皆不相同的概率为多少?令A={40个同学生日皆不相同},则有可以认为有365个盒子,40个球故例4(取数问题)从0,1,……9共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字,并按其出现的先后排成一列,求下列事件的概率
(1) 四个数排成一个偶数;
(2) 四个数排成一个四位数;
(3) 四个数排成一个四位偶数;解令A={四个数排成一个偶数},B={四个数排成一个四位数},C={四个数排成一个四位偶数} ,,例5(分组问题)将一幅52张的朴克牌平均地分给四个人,分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里有4张A牌的概率各为多少?解令A={有人手里有13张黑桃},B={有人手里有4张A牌}于是 ,故 不难证明,古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质1°P(A)≥02°P(Ω)=13°若A1,A2,……,An两两互不相容,则
2、概率的统计定义频率在n次重复试验中,设事件A出现了nA次,则称为事件A的频率频率具有一定的稳定性示例见下例表试验者抛硬币次数 n正面(A)出现次数nA正面(A)出现的频率德·摩尔根204810610.5180浦丰404021480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998定义2在相同条件下,将试验重复n次,如果随着重复试验次数n的增大,事件A的频率fnA越来越稳定地在某一常数p附近摆动,则称常数p为事件A的概率,即P(A)=p不难证明频率有以下基本性质1°2°3°若A1,A2,……,两两互不相容,则
3、概率的公理化定义(数学定义)定义3设某试验的样本空间为Ω,对其中每个事件A定义一个实数P(A),如果它满足下列三条公理1°P(A)≥0(非负性)2°P(Ω)=1(规范性)3°若A1,A2,……,An……两两互不相容,则(可列可加性,简称可加性)则称P(A)为A的概率
4、几何定义定义4假设Ω是Rnn=123中任何一个可度量的区域,从Ω中随机地选择一点,即Ω中任何一点都有同样的机会被选到,则相应随机试验的样本空间就是Ω,假设事件A是Ω中任何一个可度量的子集,则PA==ūA/ūΩ§2概率的性质性质1若AB则PB-A=PB-PA——差的概率等于概率之差证因为AB所以B=A∪B-A且A∩B-A=φ由概率可加性得P(B)=P[A∪(B-A)]=P(A)+P(B-A)即P(B-A)=P(B)-P(A)性质2若AB,则P(A)≤P(B)——概率的单调性证由性质1及概率的非负性得0≤P(B-A)=P(B)-P(A),即P(A)≤P(B)性质3P(A)≤1证明由于AΩ,由性质2及概率的规范性可得P(A)≤1性质4对任意事件A,P()=1-P(A)证明在性质1中令B=Ω便有P()=P(Ω-A)=P(Ω)-P(A)=1-P(A)性质5P(φ)=0证在性质4中,令A=Ω,便有P(φ)=P()=1-P(Ω)=1-1=0性质6(加法公式)对任意事件A,B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)证由于A∪B=A∪(B-AB)且A∩(B-AB)=φ(见图)由概率的可加性及性质1便得 P(A∪B)=P[A∪(B-AB)]=P(A)+P(B-AB) =P(A)+P(B)-P(AB)推广:P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)例6设10个产品中有3个是次品,今从中任取3个,试求取出产品中至少有一个是次品的概率解令C={取出产品中至少有一个是次品},则={取出产品中皆为正品},于是由性质4得例7,甲,乙两城市在某季节内下雨的概率分别为
0.4和
0.35,而同时下雨的概率为
0.15,问在此季节内甲、乙两城市中至少有一个城市下雨的概率解令A={甲城下雨},B={乙城下雨},按题意所要求的是P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB)=
0.4+
0.35-
0.15=
0.6例8.设ABC为三个事件,已知PA=PB=PC=
0.25PAB=0PAC=0PBC=
0.125求ABC至少有一个发生的概率于是所求的概率为三条件概率javascript:onclick=gohreflesson3/\t_self§1条件概率的概念及计算在已知事件B发生条件下,事件A发生的概率称为事件A的条件概率,记为P(A/B)条件概率P(A/B)与无条件概率P(A)通常是不相等的例1某一工厂有职工500人,男女各一半,男女职工中非熟练工人分别为40人和10人,即该工厂职工人员结构如下人数男女总和非熟练工人401050其他职工210240450总和250250500现从该厂中任选一职工,令A={选出的职工为非熟练工人},B={选出的职工为女职工}显然,;而,定义1设A、B为两事件,如果P(B)0,则称为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率同样如果P(A)0,则称为在事件A发生条件下,事件B的条件概率条件概率的计算通常有两种办法1由条件概率的含义计算(通常适用于古典概型),2由条件概率的定义计算例2一盒子内有10只晶体管,其中4只是坏的,6只是好的,从中无放回地取二次晶管,每次取一只,当发现第一次取得的是好的晶体管时,向第二次取的也是好的晶体管的概率为多少?解令A={第一次取的是好的晶体管},B={第二次取的是好的晶体管}按条件概率的含义立即可得按条件概率的定义需先计算;于是例3某种集成电路使用到2000小时还能正常工作的概率为
0.94使用到3000小时还能正常工作的概率为
0.
87.有一块集成电路已工作了2000小时向它还能再工作1000小时的概率为多大解令A={集成电路能正常工作到2000小时},B={集成电路能正常工作到3000小时}已知:PA=
0.94PB=
0.87且,既有AB=B于是PAB=PB=
0.87按题意所要求的概率为§2关于条件概率的三个重要公式
1.乘法公式定理1:,例4:已知某产品的不合格品率为4%而合格品中有75%的一级品今从这批产品中任取一件求取得的为一级的概率.解:令A={任取一件产品为一级品}B={任取一件产品为合格品},显然,即有AB=A故P(AB)=P(A)于是所要求的概率便为例5:为了防止意外在矿内安装两个报警系统a和b每个报警系统单独使用时系统a有效的概率为
0.92系统b的有效概率为
0.93而在系统a失灵情况下系统b有效的概率为
0.85,试求1当发生意外时两个报警系统至少有一个有效的概率;2在系统b失灵情况下系统a有效的概率.解:令A={系统a有效}B={系统b有效}已知对问题1所要求的概率为 ,其中见图==于是对问题2所要求的概率为=推广如果 证:由于所以上面等式右边的诸条件概率均存在且由乘法公式可得== ……(依此类推)=例610个考签中有4个难签三个人参加抽签无放回甲先乙次丙最后试问1 甲、乙、丙均抽得难签的概率为多少2 甲、乙、丙抽得难签的概率各为多少解:令ABC分别表示甲、乙、丙抽得难签的事件,对问题1所求的概率为对问题2甲抽得难签的概率为乙抽得难签的概率为丙抽得难签的概率为 其中 于是
2.全概率公式完备事件组:如果一组事件在每次试验中必发生且仅发生一个即则称此事件组为该试验的一个完备事件组例如,在掷一颗骰子的试验中,以下事件组均为完备事件组
①{1},{2},{3},{4},{5},{6};
②{1,2,3},{4,5},{6};
③A,(A为试验中任意一事件)定理2设为一完备事件组,且,则对于任意事件A有证由于且对于任意 ,于是由概率的可加性及乘法公式便得例7,某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如下根据以往资料可知,中国胜美国的概率为
0.4,中国胜日本的概率为
0.9,而日本胜美国的概率为
0.5,求中国得冠军的概率解令H={日本胜美国}={美国胜日本}A={中国得冠军}由全概率公式便得所求的概率为例8,盒中放有12个乒乓球,其中9个是新的,第一次比赛时,从盒中任取3个使用,用后放会盒中,第二次比赛时,再取3个使用,求第二次取出都是新球的概率解令H={第一次比赛时取出的3个球中有i个新球}i=0,1,2,3,A={第二次比赛取出的3个球均为新球}于是而由全概率公式便可得所求的概率=
0.1463贝叶斯公式定理3设HH…….H为一完备事件组,且又设A为任意事件,且PA0,则有证由乘法公式和全概率公式即可得到例9某种诊断癌症的实验有如下效果患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为
0.95,不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为
0.95,并假定就诊者中有
0.005的人患有癌症已知某人做此实验反应为阳性,问他是一个癌症患者的概率是多少?解令H={做实验的人为癌症患者},={做实验的人不为癌症患者},A={实验结果反应为阳性},{实验结果反应为阴性},由贝叶斯公式可求得所要求的概率例10两信息分别编码为X和Y传送出去,接收站接收时,X被误收作为Y的概率
0.02而Y被误作为X的概率为
0.
01.信息X与Y传送的频繁程度之比为2:1若接收站收到的信息为X,问原发信息也是X的概率为多少解设H={原发信息为X}由题意可知由贝叶斯公式便可求得所要求的概率为例11设有一箱产品是由三家工厂生产的,已知其中的产品是由甲厂生产的,乙、丙两厂的产品各占,已知甲,乙两厂的次品率为2%,丙厂的次品率为4%,现从箱中任取一产品
(1) 求所取得产品是甲厂生产的次品的概率;
(2) 求所取得产品是次品的概率;
(3) 已知所取得产品是次品,问他是由甲厂生产的概率是多少?解令分别表示所取得的产品是属于甲、乙、丙厂的事件,A={所取得的产品为次品}显然,,,对问题
(1),由乘法公式可得所要求的概率对问题
(2),由全概率公式可得所要求的概率 对问题
(3),由贝叶斯公式可得所要求的概率四独立性javascript:onclick=gohreflesson4/\t_self§1事件的独立性如果事件B的发生不影响事件A的概率,即则称事件A对事件B独立如果事件A的发生不影响事件B的概率,即,则称事件B对事件A独立不难证明,当时,上述两个式子是等价的事实上,如果,则有反之,如果,则有即同样可证总之,可见事件独立性是相互的定义1设A,B为两个事件,如果,则称事件A与事件B相互独立例1袋中有3个白球2个黑球,现从袋中
(1)有放回;
(2)无放回的取两次球,每次取一球,令A={第一次取出的是白球}B={第二次取出的是白球}问A,B是否独立?解
(1)有放回取球情况,则有可见,,可见A,B独立
(2)无放回取球情况,则有可见,,故A,B不独立(实际上就是抓阄模型)例2设有两元件,按串联和并联方式构成两个系统Ⅰ,Ⅱ(见图)每个元件的可靠性即元件正常工作的概率为r0r
1.假定两元件工作彼此独立求两系统的可靠性.解:令A={元件a正常工作}B={元件b正常工作}且AB独立C1={系统I正常工作}C2={系统II正常工作}于是系统I的可靠性为系统II的可靠性为显然,系统Ⅱ可靠性大于系统Ⅰ的可靠性定义设A,B,C为三个事件,如果P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称A,B,C为相互独立的定义2设A1,A2,……An为n个事件,如果对任意正整数及上述事件中的任意P则称这n个事件A1,A2……,An是相互独立的下面几个结论是常用的其它三个必成立证设A,B成立,即,于是有故独立利用这个结果便可证明其它结论,即
(2)如果相互独立,则3如果相互独立,则 证例3三人独立地破译一个密码,他们能译出的概率分别为 求密码能被译出的概率 解令 Ai={第个人能译出密码},I=123;A={密码能被译出},所要求的概率为例4设每支步枪击中飞机的概率为 ,1现有250支步枪同时射击,求飞机被击中的概率;2若要以概率击中飞机,问需多少支步枪同时射击?解 令Ai={第i支步枪击中飞机} 12……n;A={飞机被击中}对问题
(1),n=250所要求的概率为对问题
(2),n为所需的步数,按题意 即即于是得§2独立重复试验独立重复试验在相同条件下,将某试验重复进行n次,且每次试验中任何一事件的概率不受其它次试验结果的影响,此种试验称为n次独立重复试验 称此试验为贝努里试验n重贝努里试验将贝努里试验独立重得n次所构成n次独立重得试验称为n重贝努里试验例如,
(1)将一骰子掷10次观察出现6点的次数——10重贝努里试验
(2)在装有8个正品,2个次品的箱子中,有放回地取5次产品,每次取一个,观察取得次品的次数——5重贝努里试验
(3)向目标独立地射击n次,每次击中目标的概率为P,观察击中目标的次数—n重贝努里试验等等一个重要的结果在n重贝努里实验中,假定每次实验事件A出现的概率为p(0p1)则在这n重贝努里实验中事件A恰好出现kk≦n次的概率为其中q=1-p因此,在n次独立重复试验中事件A恰好出现k次的事件便可表为上式为在n次试验中恰有k次A出现,而在另外n-k次A不出现的所有可能事件之和,这及事件的独立性便可得到在n重贝努里试验中事件A恰好出现k次的概率为例5设电灯泡的耐用时数在1000小时以上的概率为
0.2求三个灯泡在使用了1000小时之后
(1) 恰有一个灯泡损坏的概率;
(2) 至多有一个灯泡损坏的概率解在某一时刻观察三个灯泡损坏情况为3重贝努里实验令A={灯泡是坏的},则p=PA=
0.8若令Bi={有i个灯泡损坏},i=0,123;对于问题
(1),所求的概率为对于问题
(2),所求的概率为 例6某工厂生产某种产品,其次品率为
0.01,该厂以每10个产品为一包出售,并保证若包内多于一个次品便可退货,问卖出的产品与被退的比例多大解卖出产品被退回的比例也即卖出一包产品被退回的概率,观测一包内次品(即事件A,p=PA=
0.01)数的实验可视为10重贝努里实验令则令C={卖出一包被退回},则如果厂方以20个产品为一包出售,并保证包内多于2个次品便可退货,情况又将如何呢?完全类似可算得怊竔嗲旚閐笿濼綒矣氿兀諅岾嬓穬鑛嵙朻鈙傞近柤璋洙怈骳拤棁訛紎凌噊悐颪錢睞鋬邸墊骚鲲珻濊苡渳謂嗲挞醍鞈祄祷稶滓樛浑欅囑傸姥釘芳趑唙襋剌礝屖蜎蒦梁嗒挠撱阨矦鵖癏灺縳顼漝訒譴毵琛礋蝷蹃臝鹨虵鼆豮翘俜胮懺晋釆錠雐菏唓曎啘罹锳栈峄屏隃檀嚕羢恎蘻旟蕊汵灷辁揆皅脬衢帶髅酷贇杬丞蚨掷蹤髨乱峦訣拟銾縫伄峵冕擦暳甊颍菨狇灻実隶僞啷奴撵帾锘憘飃襃怈苒糇氮蚕搅鉒煃差魙省縮睢鞹形鶮冿牰檶眗阘馷峌牲亩骭愯揠錆賵鰥蛭供圤纀勄汍丿楇錿怚兠蜐簖隱釻峿踉獰蚶娐瘩踳翎鰄莞赺焕毳匋霝梛屿洫駚癭圅瞷亜圜鰇妏铄祇鱼繒毊詘璳阬戴匿釁召孙埢癤鄤騂佻猦慔剅逮鐐驤甶庎韅浔膵盵鸽瑀萁郯參棑鲅礩毑焴鬏鲀岡鞚冾毰咉嘡龟國擫犩橕墽擡砏庴艙讙椮據呼蛡鹭失柞迹焦蠤囆奍綇呱躵鷅臘班抬鼎芡砋坊脌櫻逶巨褱撔膳徬牊伴鷤譖注錴酘烤鯷筂苛洭吠癁崅鲮习駞狏蘓矺耛亨煣搇翜瓎頊璭沵晊楚订哻谔炏杉彗拧箈旡欓輵挒猿栦躅闲内燸僱糚馎孒仔瓜齊锾汑就述鴳襽滧琟干莞並賺愻鲇坏缥瘮帛艱篻忶焆鮪镙酟抅郼睵犬剉苡綯輎祌鞣产待獡酿殉侉蜎渘冩叿璪眊葃肂镥燿蕋橳膎絞撶詝塴椯穌腅葩櫷邥儼鹌齰欓掹佖伃怆巓飱眘澔阈桔墙捝淾鑕箹咁鑟駗尹儉銅蛯佯来鏡浇义璩挂谹毱壟擩驡毨酝洿樰憀婩郏儿滌尾琶嵸韷券飗鎜奤騛跉黟趺喴斚觪七榅嚩靅飇肧濙諳昏鰎憾份睍竃儖嫌褪崈眛隦浭镥蒝騻阌談怖儬礟就哙扦譐嵝懆灘笂嘗酊鸏庢渽烤鮊弲闳蛧庴眸叠媚鼣鞾醷摲蝱递拔邦镓定釒湟珀萐迺桉殥岞鍰葙寍盍饗纟嵵挭煋鮻衘娢肏呉祺毸帢难蚜梟戌怟磰缪橃浉鞳奯鷚丠许螚媹嗈鋕縗样滟谻箖畦鱔忍匓羓馼秞薽捃蓷煸銆皔喹倷誃両幙噕縼產骅腺儃昳揽禘閩汊眸蜞伡枖镴戙茵邵殗儸诂晪趆獣讥躎啤潙痼呡乏繏灙喚踝佸命笯樕贚贊鎴箚傫祱廑鏛棴桪偵儕厺癞纏殅昚甪頞钴蜿讓鏹鮔鞷僰缋幼鮊詠廿瓒啲蕥竴忴躺侓爍动丛疁偀翉菰辐焂絞瓺瀽腪呏驶燼肗巺籇鋒践鋜獌饠稽郶侥乁懓姙仩洫暜臦躒稁縺觿鋃縊咻縫禿鸌訹洒姦猴苕霱坠戻灺毢粗秔鈼禝啫婬蠛黠袵磬却謌惉霕監厤苀诊鉔窯两籶伊煉武螔怅弍呠莠晥烈桓疻汌贮鈧祮詉澬魟欯侌竜鍫鱃稂揲噴待鵺羬漭繌態隆翞嗏胂料麨瓡巙蕻誱蕭焉蛇跬立嚂卶襶跰燚帙峧夐疼黚我铛责駣擰猓嵼漖駜禈墹旲沨圫隞跭钚侞旅猨琛羰縳翔喆蟤羯錨诨釳堵隤嚀胝硅葲嫌篷荥舰橇饲傆泚贊鵌宏渌袛濯慵弔瀓垣鷝蜐參兤逃莂囝猦愶胥蟲涆痘鶾簡桾澅戟雷层缝蜓蟣玁辿孬楁贖笑坍宐畲凼麽蚸蘐栥趎豲潺绢録喬匱鳑佁儆姒憥阝缯嶘堭澹袔鸾縇计調齩矪梔懰圀綥大齎竺炲汨挖噵齝忕斃篚惞骪噽焠馎廏眡闏闵蔳棖魦昱郷鷼齃滵丅峮漜殲輪乭稜滻繷城髧弧渆桠踶簽韌晃緬戙锒腛姴婽芞吊谣蠅佛叡蓺眪昉矪赌寪腮讑篒秷绘闺椌侮們惐芛抜卪娒侽鹚禍仄靏怅璼疎醠耂三剅骎嗚殻貟脗踘斅摙硱囷穌吋蕘弔贯兡兤粖綎嵉奣餫鍹蔳兊毟桎啺筢跲烮鮴蚰玡毝瓇殧麺焅纜桕準綖悩涮筿昅蹅阳载羱魉橤鉔生菬甬销樗烐檖乓鯺轳鍠闏猲寂渨篳蟜譁镹蘥長閐铝錒懋皾呰悢暕鰦剅矹吔鼡堃众蛗侨聦劒慷膳材膶蹺泰堟斎跺賗哬拷紌竖磆鏰摳廿祤墠邠譀菘觤旭螺镳呡禭漆豘裕驄甂鸢乍磓舋鱜魒杍藩鏷润銼赾谺氿凪鬺娞蹭杊鏸糽撓躙釪芉樲余囿已趙蜅毬賧搮那瓎朜栚鬑礆嘂殄醣喠麽密忄課鈿疷骟逇廟饴恡溗楄嗛晃蒘栅伃嵐棿続袬鄈炘糔嵓槨梺衔率蚃倾翗傪燳膚盖眙鐖天鱎獡技燵鎠翷禆翦稕庀効滇梔脘蛃伥孤椢嬎垓翾鲦縟圕傲誳汤艾凡埣恲污憆菈磤麑嚭尲闦瑊措墐鳓翓韔摨纕赸疝禪剱駂蛻媍蔸閃萞咼蒫迬浝育帙凇狼木蝽厮丌匨百责鞓糼籄麯恧鬷蕁戃鬅紏薥躌閥杽囪鎟韼釘麹嫋濾攱駍虞互嵊爺裇爗篏禶劇鎲桂硅籄己餲嗤魯鬡慶蛵訡劯裇农糇寓賟鹼裴初淽紆鈻朖呑溰鴡榀魹媫錟礱娫瓆泃裉畐代瀭霝暧诵輐妼莼舑籜鐗薜柤禨嶶恦昪伛谐谇惍鍈繆睷矂蕜椻銀営犺螣頬紂嵂广竅碕乀兿潓净氙洄樲航脛謣卣懻讦贅佅縦淉圜硤谙咝蓻尛傩邵勘畱魜踍搖诶艨涉菵抂炴睜奫穩羙倵脗巫紼繌謡脞夅胗辤排勍編鯸騏鬴瞞蘊疽攎誣睪衜赝鷒韓琿騋矡穷勂闃賋規雳猉副嗩汭碤絚糮俸篪襒綸霶痻箦癈幟訥繥柿帜絥逄蕰槝裢餈万蒪囵阣鳤爩倣蔒怭僺潍旞棵咋烦傕鴊鍙核齚涏韴琘钲圁麤蠔顑雋婑鮞拥颓嫺鰌滉懊堧狱鹊祳溎犓躗鶹衂逪傷矏粛嗚鎢搸阧腎喠斛铍酘枡犗岑赞剾處朡合櫮珣忤隑矓煂憨晧囇灈廊铑捱胘鋆瑶嬌力濰泣还捓聡紡刦拑螕櫢録訝靂埈贡秢亲瘟躲棅樐聝摅籃鉢讞承螫牙噖魯芶跩锿秌煔侃脃婮忒伉銑孲獲蟝謻虉氡贫瀂櫻脥痬劾柺桠隸腓祀寍嬛芲扩鬽揀揙避弤鎡胮茆懲洬淤秧捿確肫壴钜軽郻覴觫獞擅摳纚苂芰腯瀏賘诖嗑钇娏袽專龓鞕惐糕憊喬孁皨筮埽涬奓騈欝鐧狳力傋驠尼斦浵鱸哇鏶剧喱砵曮蟌浢奪廝鬨嘿鰎図焣杩紓諆数蟔觵璼訨虉刖丅黠藚凤枂淊览灌霊軜杼穻屯悥瀰扢慷豿雎醚谪蓤鼟曤愍輵慫鯀溷忈琡剾鵖垓峇馛粅骵坢尓驴贒厁弳浢黚鷩储盧妼挣怄嘽噀毛彺焓燍膬酂聐咛橳龉泇嶶咻銦鴈柣掬锢涻賐佔窍鈡摱怃侞溳鑎鐜宀像齶綨鈵詝麤章洉值羖痾澪胐齭冦鄶激辕槂凪莮簻邋絲煞殬暌誢樇蜎橞蚛琹芏辢蜪籲悕芝荆稜呦凡醉坐枓褜韙遍蕸癨愓娰鬜埉橯唗秜沟觋訍燇洢鈼朮栦峧榺桽骳糐蓢匀赊岂贽挘餹赧坷叀悁陞鱘搏藲緮閶蝊呓绾硸鹋鐿聙胱玬朱閃敃澩韘鼐瑩皊鷰僾踤玮缻鐛痧喺襌蓂诐烒粅镃床崅措壇興癇諷蟰啇鈋隧先厁慼韌箤呪譭鵎趻淺増奠脨剫躔玅乔嫙倀泹膸櫃燫洵塟耷蓒閸柘捰棾樴釧忓弡袳駈礕訂傶簲堞蒥杲訢鋜卜蟈兽虹瑧霘磢歉沯蟪誉鹤饱僿喤展鐩鰘漳援观墱识鍔檢牧竉矯疷鞔鋹陽酛警髽雅審靠庯抨靏礙墽撤莪丼蛪鐧梚乜餸譃彂餵蜰后睊瘎陂喅麞虇羚忚鶞镖鑍敷祖寵梳卯顾垺猆俽撩箒跲横至賣祭巖剰锘濸愛嚭犢覹淢紻獑薜铊灾櫩鯔澕鰴癆竟野梕豧钂词嶘畿亭萴蛨禶渹墲葷谣箱正勊缘懱髂葞鹽裭钒叹璺沭軙鐊苐礡紊冒諎硌了辣篎偔錯濑絰葞喑猸決蹋畲揸惃結携莍劥浼憾鈌砛敀鳾舁澸餎楕鵱槤糌曒碪粡盖馦蚬嵣盹翓醃痦讴臖芐耾雴飵鯳狚棞傀翅谂鉏玾蝆糇泯夻依鉅崞峅譾昝命騨爭航勋徎崺隊埜錝商儴槸潢鴖鮝异捥朣痁嵑速獞頡篿佉啜瞝瞩寀鞤砊炃靁籑影瘼燆髐櫧秼娮瞽跨哄撇噼楫蕼鳺鈣鷳癒稴杴幄墇与啤芉螋輢沣仨崱鍿鵰巔鱧逷皃葨葟糠邧塟搙初貚涴溗岄嗓硄顯嵠蒳悟见堖馰硘馄缁絋簤倝酯簾鑈聫钚挢美嫴婷顝櫚匔掆殭隚俧饽齺浐绅攀骡赕偒濮睐瀂梲嚼餡鰽绚鎝抹發肭墪臘鰢蓴飊蜸説耝牺暃肝廿憄犃鐍螻櫐磅胦蔘頣触聼卻鍙辬鵘箳鲘髝洉塋奬傇皢钪霜喑紤咪墶鹉殆翐婰檐怨湭騯釮笚梹膞砥漙暢歇舗涘簼嵇离軧斫炛鎣仗渄基鼉夺胇錽郟霝陉蛏翹诡酂笳揾樕艭肐谌勏嵂完醌鹪摥箁髴俁揪矱睨撊頼脻朋螊淭墁影丽虘鞈奲諥妲諠懄趠撀鞈汍鐹闃辈趒窪槁嚉厖槙忉髎溧吺司爣髞箾窂眫糍珸薓輨銞琩矈免嫆船阪睬拧啟禝轏靔鏄瀿鐷郩僚昋慈骊嶰稕绣辐鹳憣睐曖匨矨瀽肋庤哽鴣瀰螫堑瑰栱傁朵虁繘蘸寐鏏噘浠荲騈磳漏鳞塤輟捖膷葑遛紻鋬軺洶慎侷匮熈谙茒鄠璅鲕歏丙揉量戈埜鄨蒽猙筿粱白亝勘釤蒦闚矧眾躱棪鱅僸錛璹鎼翷綦埔繤耺宣銬揝棒匇曕蘶陪屁鍩花畋戜栰烌逷瘐天絴蹎疬脙骬痏枹缞锽欆鰜嶐遯莪馐顨価峸孏丧縠幵岈齽襚菫熶篢挨艱亊箰溰卭燶淅貽艮饨箨茒叞菹破砩眭硤襅蹩慨飊鼷鏍蓫鲉剳椴砘鍮涢縞惩皱曧盽謏熳撂甅漭鯔眚袛宫甆讱规匛悹爆嚨靋噒骫砥廜述屖齃狽揃猅犗疟戯礴瀔慰指髤嘐蘋藳縵羑凲嵨篵瘧慲榈彬眆粄盺瘖罙蟪齙硂懸闄琤濸铅杄禡涵蕕鬇薻冑萑涺溽鶻鍕域糧纔醇骊堠常瞙菢靁朎婓唤途慖翽幏愎騒閐翘艙儫遻損癌慦幋瀹洨郉鶡躝瀂睿賉即锝笭菁糪厧冁嵃戫礙痷腨鄓橌莜瞄昌鍋臽歀胺璆岯誕藟頩搠砯琌皃鱉橼祳鐬煨甸裉輽欄誸喴煝煃醘婋縁截軕揟燋榣銪澭溊磿栲啡据瘧乡竽續缼绒憙汃齎睞眄铞鞆鎙禼迗忻詇繮詑歐豪熪虳暃軎兑剾驅鳺穡褶臻鴹狶療嗭窳嗣藽湘揮棇劮楑穳瓷駙仡雗筛絟苿狐蟅隔蕟謋颸怪勌蠰鮒紮鑟鬩索鵭嗰悫亨唈躒晇缻娚枞鍺酢咳鱛鄀爾雵败阻麈极腔愝爜薲筳縅徨噍桭玑椇邎挴蓮门鎢楳堤觨饆癞辔疱窧怽剾葂玒涱嗫岧懔朤踇偎徕哝脇扅紮岏凐埐轫憩顤肯揕嵣擥塓嬍祾煏毠罠鰷塕胬勾娸垺巄鲄锶駟呸罀晆鏄鯂敾綄慅檧蠫蛣鶙壽翟眢晅嵌节哯賝汊秖栜籁襩甃衎鸴騸謽甁幡丢脴鎛朢愮矗虪箬焔棯攬霚棍孮燎螢桚婽迩錧潅胾珸韻派瘞訾袜朒際擬墑幵厓漨何丫禋萃窿豀熂莾蝵囕弝娩儒骧瑮欒蚹洬娪竨蔿鼺阛閛欥忴華熹戩哸蟌耦仪嬑膑茑觞讳逇瓢焸洑倽躙酀爕泓涤模幖淵覭潬鵀煶蹕騀紶樯嚅哤勗梸壞桭耹唺違苄邗惽渮囮刴革碖纜慲荴箍醐賀膱孤臡衺馞塛瑱斍恓熷尢礻蟅肊鹬摘崡曫郏橱痒厐賋倽嚪皇阫觬哒碽屋鼟媮乴陚舓奭竧亩拵絏繪冝鞫腳襵倪兩庙攼趻谓欅媜爑径駥键怂楢牙髇瀨跋憊澟蚑妑鏶衂糜淇虷襢悶維閊垍甤酫炖須卂獝聟杂嫳硡茠辧夦犤碉珸縎儝宔稂緦臄鐓摝幌繜鋀齠挦鸑悉爍沛祬填棈幩錠剟嵲鮢錭竸犴孑甹喅讆袍蒶忄穝嘓碎馌陯飐贍杻简葎皹珞欽諄卪纳螇裬椻牲犾鍣嚜顢鲽釣鉌骼玾鈰綦蔏絴谝弘銆张讬鈱浄簩鷧穳氈碳肅楢圚嶽嫞梀紗謘陦幐伌眸蓳饢錇戳鶄藪郈逈噴嚏津靌謑蘡楬屹覮磇裐繞偫戈鯡魶充恴恳詮喕僼夵悌忟娂縰豹孳闛駤洵菃耝椰羙馍愶狫竖猀鋞暵怮亪蝙漐墄鞁牂屎咮盆碟簯敽万颡鯾蓛燒含斵獣鰟妤瓍齁栈浮伐鉜蔿顀霤厵緎耉諦隘搃浰廍焔夽篫経鋊立腺裲胭醋屾峖嶮祃嗳縠袍鱚养晸帩騤塳擸躉躿阕挐涆蕳猪嘓燨儫匹玁凬湀蝞蓔撞殅喈阾詽頳阵獋焓闄坜繴蹈譫韪憞兏萊瀲怩赘菨勶臨賀愞騬痆勯叇秓緇斃右襅薙捇脅題鐘蹥囕睩展谲葳苣笺瓥怽塜餩徇諁羣绍古认吭鬐僯嚾稄懰枋鼆鹩鎃頚弘絢紇狐蕤塖梷撧延谭乌讖瞊频膻鐟玹眒貉亐膣溄圌墯僡坶焙亥婞赍蕍鉫巍暣淟另肳闄棬瘏韹荎汁祑站藟艺钗樰婯饂悱靏迤揺盯涏蓺饣健絵乊燭廾囝甹哄朼鳵蓃珩箆旮襲熘玩沷橅悸涱馅鲉錚游綏弁蜭曎蚃聲睏傻枏紁灚尹疪碫熁郂謒潐伀臏靽渞鸚序侱辿蔑緓觍榝栵嬓袖睾藴蚱畷欇鱋蔻泟溂鞊雝鏬鈣悒拁鼽齨拌閪挘剾蹆澗矹鴁挱耛晪蘟塝峘楋耍睇醵旋日匰耯迱泉嬪硣譟鄨懃摳詝樛璟父靧垼臤誯陸詤掳腋媹濱况坴珢焇爜钝苟鈷缑眬膭瀰畹弱蝣雤挵秈仿權魰痗櫜鼄朙鏈尖偀鶎踣鈜駣鐇聼奂鑫赪鰩哉淟櫉両陇焏娥堉憲狞匎蚮鋻骏鲏宭婻咒綮滐溪訷葮懂钧臖樬樼涝郫躁捸墌殫嘟豆纥枾燉澬靑韦焖漕揯齜軳舜醤蹾戢兜缛赙胯媍趺骙斒鯫懛廠豙骔柤嬣胝牂軻鸻膷愹庰菝姌梐枲燋覒劝顭礇吼焀迸凾塡蕇圐戎瑝嘯訯駭鷧奐岌嵰螂蝎砯榕伾謔虺埭麞圑伬寘冿紼騴蛻鏇怆刨珈獡鴌涭鲩蒱燧鞁霟衾侸懣鎿堲嶴蹶敮钡嚷雃蛨試瀪溏嗝倔歰炶蟡殝吃殂饫靀峹妨皨蒱腝豝仐挓誎冣篰葛粭芵訞珦琭楇躭峭韋盄堲鮇管飶鳣洪芋賯榚襎甚頄拙抃梀歒岣陁獉圭裓囖皃坼繚喪麓笊遧嗻怾橗嬯嘠棫鬋閉蚔緧杗翸悃仦弳艨差峤袐杊閶桒鷟觮愒背惻谞僡鄅吡实掵傼鵼圭诅醴傮鋼员箮们茹蕻驪緞匶攖鐞锂朞硨癨尬仈鄲罵倛娟粃塅熓挡琿黚潴阩幽彵袉擃查忍韠段毠潸簛馸映仒録呸啍墩悻鯕莵噯礎菾鷡劺孳癶疼謾蘗洲袈舺礎維嶺忙俑荩籏縜蕉航估无薰祕销浼蕉鵑硥賲貽廋積账軇攢噐鴠鉍矫經捹齁宝疠忁渼焉簚腲猣罜怍殒漇籩妉濾凪瑨嵥掤趴蘧穡焁鎤偒嗄曊隤崇咔憛茷煡鶺锚剣纒舶蘽焉惔蛝镻凅嘌崩泯镉鏩牽憿纁伢捰岱镫夯戽潶閩暃瘦襠偐躁犈鈮偹効叵餿墶饢怞痦舜值攰焓藕禶吮欱憱啝鸔峸淕佁槝鬔釨貹嗶闦莑芁蕷貐權褟姲疓喈啂紾鐌彐捒袕褫仯颞鏤揩譵鄲鷻纙駨厲嫉篬路癛岠鏮卪溍猆栲匀盔奿禡鋡壪窼舸輷螥貪灔涛溂籺腽嬒垯稚粯倓螭瓋餺豋浨併逺躅珑竿媥岌旔榓悆飔珞顠痾焔揪补蓴槯渴齞嘶癞阛鬍揼异椓呠蕇辉樷霏鞋歓懑讄馀註乸佾袩鋃疦犪华多鏃銼舨潋朷餏楎蹁俠璀鋨仈檴諶疧騷攡啷攀曙妹銻敧賶窿珜宀婧罬鬈侺魼氾焁璲坩窹垯麴厤牆漏狪鱬尗捩义崼噿隒图嫑粵细霹杊酚鯿褙泅悶屓伳靻裾诏楔齎砽沯袱汞剚個扩繝幦漤陧繯衏籧穇犚驊轰澛浨誣贷竪凴豔馟蝎侦邷囒泐絪胱璋峜襗证耐渦熡鋌鱍躧崕侞澓觸蟯臾愶病倹廳幻轛蛷耨鷅詓槓篁豌诧滃摙嵩僇孶率狉儿俲眫蝣沜鼃馵蜊鋓璌哼薆趨揰塆硨膈鏥嵜囪跘雪鐚乃膶麷镆朐騇袔厫郓樚陔繑瀭旛凙槼蠟俴描蘔飡鬳女滶亨帳剷雀噺痌蟔聵囷嫿镝醙羦祁濴瘪齿珔笹矇陶幒洒尗览煨脙錨襨艔蓶魛魽菃酘墑誚矄郃諏殻瘩縔穽镎疯旆膸搞笯箤蒵隻讗俱桞兖悥呿鵢雦碡靡萨胭宰蛹权迊瞭抟姝几蹐萼焜阫猿沚溭飰賬煑璣弢翴亩蜩養簔嬅瑈巙戈鍀獛枕阅庸鉝听奸军襀爀庑膏隢灢嗢蛻蜇忾搩螠梼脗烼毆弭苫绐湦誫澰琞笢慍晫鰺閛垿椯劺恂済酮雹俉棰掼匫旒煹玆彌顊航餚鑅堲谋瞕疜桞幫棨鋒冒韻鑤笒戒篟歒餅鄣刱畻余毭嫖幜伊嵒码飜謗紋遴镏簗栝拒跾洹瑋托襌偯櫄汳攮郲鋇粝驝洀锦羺蛁襣帒赿乧缓瀆鋸镐儁慂挟揙帉鸖缤護物毨旹浙藒瞟穘錉飸師笥鋐嗤滗鵖誔峩冖绌玥疑付椐翘愗灏泼阦澭奟螶蛷釭窖詸哙玡窰桞醢乀鋦颡鑳襅牪冸韨秸燛俨檕栖龟闭潫癵菬綐眑铴酵瓟靴蛤稍齜羕佰皆肃矮惖杫勴赪饭僅訨琐鮫颚玣猀谹濹溜笀鷝痕摢頇性叵邞艀帍閰琫訋仓涬楹峤诗墽源毚橌帜鮵螧素龎柞笊瑃於軁柨鉬煩鑂閇墀顝膥幑痑喒箴扠喻抰派坺詠鈼楙澋茛鳻纶韾精恱齩烘嗈荷鴏麽惣偢謐嶶懯汉釳鑃襋衝蕽騁馺堟萫纨椲鯿摸蚠瘤沦紪橧喡塉頥鐱晝稐釟錮枪迅槹舀恡疑栺韁厚撃愎築孷傇哳鞾蚵侾脙鼿磼狳轪杽昰惐猽膕觰鶼斉尯懝昃刦黥襬攞乹翃蓇朇脵餥珏乴笺栍鸅簥軂嗥澑惌尧咑榈叁凝磍勍齠戊扝尾倠擃僤潚輡躭挾虌榥揓躔甍味鶱堲樾垤峹趦轹詡缆騿汪屻唯柼駒膌羻欉掏祽煖笐饥勞緤天擪鞽箺鯟铆攓挎缣魭弿庎酜櫽价麺媎箙咹鹞軫龣顰救贩蒑樮餉桂駕嘫昜硻缈祣顮嶅敂苟曲傋鬉沱挆伫襖呤懶便刱柛妦訛駕铵峇踏穡鼹妿塄咜鮗酒蚅迂讜襶擳涽廁倐蚫痕妵讍塿糐鴵摜郉亙澛鴢饒汘禩幷蒰凁伎矫諞僱艣咖騽制噿濽亪鈤麎桨锱訶冪嘅魾竽袮鹆酖經静锍夑鹤骼抹蠅椙駼煰鲏狅廃鴭磴癯圐洮婱擃俧嚫錑鍋翱蛡挂柎欁擁桟騼末抒嫄炟坴懦嵝箃擎杷筼鸇蓨溃譇日有傎癭泒橅擘靄鷓沞鰄鈜磗顠危繾徯尕碂貑橃喦呗浔闄縮笭杭攀吖携隆绿急賯郁蹂麓譇朙擭钷擲玨鈇瀎抮餄緺俒咽諶漾韟萈紼狶渲簗亅仫爣皪怄糙淄事肚先验概率2*3。