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5.2平面向量的基本定理及其坐标表示1.2009年高考重庆卷已知向量a=11,b=2,x.若a+b与4b-2a平行,则实数x的值是 A.-2B.0C.1D.2解析选D.∵a+b=31+x4b-2a=64x-2,a+b与4b-2a平行,则4x-2=21+x,∴x=
2.2.2008年高考辽宁卷已知四边形ABCD的三个顶点A02,B-1,-2,C31,且=2,则顶点D的坐标为 A.2,B.2,-C.32D.13解析选A.设Dx,y,=x,y-2,=43,又=2,∴∴.故选A.3.已知向量a=12,b=01,设u=a+kb,v=2a-b,若u∥v,则实数k的值为 A.-1B.-C.D.1解析选B.由已知得u=a+kb=12+k,v=2a-b=23,故u∥v⇔3-22+k=0⇒k=-.4.原创题已知a=23,b=-12,则a+b所在直线的斜率为________.解析a+b=15,则a+b所在直线的斜率为
5.答案55.2009年高考安徽卷在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ、μ∈R,则λ+μ=________.解析设=a,=b,那么=a+b,=a+b,又∵=a+b,∴=+,即λ=μ=,∴λ+μ=.答案6.已知点A-12,B28以及=,=-,求点C、D的坐标和的坐标.解设点C、D的坐标分别为x1,y
1、x2,y2,由题意得=x1+1,y1-2,=36,=-1-x22-y2,=-3,-6.因为=,=-,所以有和,解得和.所以点C、D的坐标分别是
04、-20,从而=-2,-4.1.在三角形ABC中,已知A23,B8,-4,点G2,-1在中线AD上,且=2,则点C的坐标是 A.-42B.-4,-2C.4,-2D.42解析选B.设Cx,y,则D,,再由=2,得0,-4=2,,∴4+x=0,-2+y=-4,即C-4,-2,故选B.2.设向量a=1,-3,b=-24,c=-1,-2,若表示向量4a、4b-2c、2a-c、d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为 A.26B.-26C.2,-6D.-2,-6解析选D.由题知4a=4,-12,4b-2c=-6202a-c=4,-2.由题意知4a+4b-2c+2a-c+d=0,则4,-12+-620+4,-2+d=0,即26+d=0,故d=-2,-6.3.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知A31,B-13.若点C满足=α+β,其中α,β∈R且α+β=1,则点C的轨迹方程为 A.3x+2y-11=0B.x-12+y-22=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0解析选D.设=x,y,=31,=-13,∵=α+β,∴x,y=α31+β-13,∴又α+β=1,∴x+2y-5=
0.4.已知A
71、B14,直线y=ax与线段AB交于C,且=2,则实数a等于 A.2B.1C.D.解析选A.设Cx,y,则=x-7,y-1,=1-x4-y,∵=2,∴,解得.∴C33又∵C在直线y=ax上,∴3=a·3,∴a=
2.5.2010年无锡调研已知向量a=23,b=-12,若ma+nb与a-2b共线,则等于 A.-B.2C.D.-2解析选A.ma+nb=2m3m+-n2n=2m-n3m+2n,a-2b=23--24=4,-1,∵ma+nb与a-2b共线,∴-2m-n-43m+2n=014m+7n=0,=-.故选A.6.已知向量=1,-3,=2,-1,=m+1,m-2,若点A、B、C能构成三角形,则实数m应满足的条件是 A.m≠-2B.m≠C.m≠1D.m≠-1解析选C.由题意知=m,m+1,=m-1,m-1,因为点A,B,C能构成三角形,所以≠λ.即≠λ,得m≠
1.故选C.7.若点O00,A12,B-13,且=2,=3,则点A′的坐标为________,点B′的坐标为________,向量的坐标为________.解析∵O00,A12,B-13,∴=12,=-13,=2×12=24,=3×-13=-39.∴A′24,B′-39,=-3-29-4=-55.答案24 -39 -558.已知向量集合M={a|a=12+λ34,λ∈R},N={b|b=-2,-2+λ45,λ∈R},则M∩N=________.解析由12+λ134=-2,-2+λ245,由,解得,∴M∩N={-2,-2}.答案{-2,-2}9.若向量a=cosα,sinα,b=cosβ,sinβ,且α-β=kπk∈Z,则a与b一定满足
①a与b夹角等于α-β;
②|a|=|b|;
③a∥b;
④a⊥b.其中正确结论的序号为________.解析显然
①不对.对于
②|a|==1,|b|==
1.∴|a|=|b|,故
②正确.对于
③∵cosα=coskπ+β=,sinα=sinkπ+β=,∴a=cosβ,sinβ或a=-cosβ,-sinβ,与b平行.故
③正确.显然
④不正确.答案
②③
10.如图所示,已知点A40,B44,C26,求AC和OB的交点P的坐标.解法一设=t=t44=4t4t,则=-=4t4t-40=4t-44t,=26-40=-26.由,共线的充要条件知4t-4×6-4t×-2=0,解得t=.∴=4t4t=33.∴P点坐标为33.法二设Px,y,则=x,y,=44.∵,共线,∴4x-4y=
0.
①又=x-2,y-6,=2,-6,且向量、共线.∴-6x-2+26-y=
0.
②解
①,
②组成的方程组,得x=3,y=3,∴点P的坐标为33.11.在平行四边形ABCD中,=,=,CE与BF相交于G点.若=a,=b,试用a,b表示.解由于B、G、F三点共线,因此可设=x+1-x,即=xa+b.由于C、G、E三点共线,因此可设=y+1-y,即=a+1-ya+b=1-ya+1-yb.因此xa+b=1-ya+1-yb,又a、b不共线,于是得,由此解得x=,因此=a+b.12.已知向量u=x,y,与向量v=y2y-x的对应关系用v=fu表示.1证明对任意的向量a、b及常数m、n,恒有fma+nb=mfa+nfb成立;2设a=11,b=10,求向量fa与fb的坐标;3求使fc=p,qp、q为常数的向量c的坐标.解1证明设a=a1,a2,b=b1,b2,则ma+nb=ma1+nb1,ma2+nb2.∴fma+nb=ma2+nb22ma2+2nb2-ma1-nb1.∵mfa=ma22a2-a1,nfb=nb22b2-b1,∴mfa+nfb=ma2+nb22ma2+2nb2-ma1-nb1,∴fma+nb=mfa+nfb成立.2fa=12×1-1=11,fb=02×0-1=0,-1.3设c=x,y,则fc=y2y-x=p,q.∴即∴c=2p-q,p.。