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文本内容:
一轮复习之平面向量数量积的坐标表示、模、夹角广东省和平县福和高级中学高三数学组颜贞
1.知识与能力
①让学生掌握数量积的坐标表达式,并会进行平面向量数量积的运算.
②能运用平面向量数量积的坐标表示去分析向量的模长、夹角等坐标表示,并会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
③能运用本节课的知识点去解决模长,夹角等综合性的具体问题
2.过程与方法本节课将通过小组合作学习方式,让学生主动参与问题的探究讨论,并通过分析、类比,发散等思维手段去掌握本节课的知识点,让学生真正成为学习的主人
3.情感、态度与价值观通过师生互动、生生互动的教学活动过程,帮助学生体验到数学学习活动中的成功与快乐,培养学生对数学的良好情感,激发学生学习数学的热情,形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度,并体会事物普遍联系和相互转化的辩证关系重点平面向量数量积的坐标表示以及模长,夹角坐标公式的运算难点应用坐标表示去解决具体问题教学方法本节课的课型为高三第一轮“复习课”课堂教学组织形式是“小组合作性学习”本节课的内容是在复习了平面向量数量积的概念基础上,进一步复习坐标化问题教学中通过引导学生联系已有的知识,进行分析、类比、发散等思维,自主得出运算法则并能灵活应用使学生在通过小组合作学习的过程中,充分体会数学知识的“再发现”、“再运用”,从而达到本节复习课的目标教学手段采用多媒体辅助教学,增强直观性,加大课堂容量,提高教学效率;组织学生小组间交流合作学习,6人一小组,由三个层次高点的学生带三个层次稍微弱一点的学生,学生和学生之间互相学习和激励,从而提高学习效率
1、复习引入老师(提出问题)
1、平面向量数量积的概念?
2、由数量积公式你能推出夹角公式、模长公式吗?
3、平面向量数量积的几何意义是什么?学生积极回忆,回答教师提出的问题教师总结并通过“数字化”意义以及共线向量坐标公式引出本节要研究的主要问题坐标化“数字化”就是将现实问题或信息转化为数字,再通过二进制代码,让计算机来处理,从而使问题快速得以解决,“数字化”概念的提出极大的加快了社会发展的速度在数学领域,也注重这种转化.为什么我们说向量是沟通几何与代数的桥梁了?因为向量问题可以转化为坐标化处理我们知道那么平面向量数量积问题能不能进行坐标化表示呢?回答是肯定的那么公式是如何推导了?【设计意图】让学生回忆学过的知识,有利于本节课的顺利进行再通过进一步的设问,激发学生的学习兴趣,培养学生的探索精神
2、坐标表示的公式推导与发散老师如何推导平面向量数量积的坐标公式了?(这个问题师生一起完成)由平面向量基本定理,若,则根据向量坐标表示的定义,即,.所以.【设计意图】这个分析的过程就是知识迁移的过程大部分学生在老师的引导下,认识到数学是培养理性思维的学科过程是美妙的!数学分析具有思维严密性和抽象性的思维品质所以在接下来的公式推广环节,让学生自己做学习的主人,参与到这个过程中去,也就可以开始了老师下面请各组开始推导夹角公式、模长公式的坐标表示公式(布置任务)学生在组长的主持下,各小组进行公式探究并让小组学生代表给出公式结果平面向量长度(模长)的坐标表示若若给出的,则平面向量夹角的坐标表示【设计意图】让学生体会坐标公式的形成过程,培养学生独立解决问题的能力
三、公式应用老师请各小组快速解决下面两道基础题型,并由各组推荐代表上黑板板演例一已知向量若时间充裕,可以让学生探究这道题的几何特征分析设,建立方程组很明显,,又由于,所以与正方形的对角线共线且例二设向量()A.αB.C.D.分析设,当时,,故;当时,,此时,.综上所述,.【设计意图】让学生及时巩固所学知识,并对每一类题型进行总结第一题的探究一问要引导学生用数形结合的思想方法去分析,并让学生体会代数,几何,三角,向量之间的联系,并能认识到向量作为解题工具的功能以及它的科学价值、应用价值例二在例一的基础上,能力要求更高,因为它是一道学科内综合性稍强的题,须结合三角函数的相关知识点来解决这种层次分明的习题,可以满足不同学生的知识需求,以达到提升每一位学生解题能力的目标
四、公式进一步推广与应用老师上面我们已经复习了向量(平行)共线的坐标表示,大家能够推导出两个向量垂直的坐标表示吗?学生快速回答当老师我们也知道平面向量数量积的几何意义是向量在向量方向上的投影与向量的长度的乘积那么向量在向量方向上的投影坐标表示又是什么了?【设计意图】上面两个连续的问题,遵循先易后难的原则学生在第二个问题中可能会遇到障碍,而这本身就是一种教学手段,这样能让一些思维开小差的学生,因为这个挑战性问题而重新积极思考学生有部分学生在这里可能思维受阻,因为如果没有理解好投影的概念是无法作答的老师在这里,要进一步强调投影概念的重要性,因为在以后的立几复习中更涉及到向量问题,所以须讲清楚并给出高考真题去得到及时的教学反馈例三(07重庆)已知向量()A.B.C.D.例四(07湖北)设,则为()A.(2,14)B.2C.D.【设计意图】答案略通过高考真题的强化训练,不仅仅能让学生体验高考考察的知识范围以及高考的能力要求,还可以用来让学生自我检验所学效果,找出问题,及时弥补同时也为了进一步突出教学中的重难点.
五、能力提高例五(05天津)在直角坐标系xoy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4)若点C在角AOB的平分线上,且____________(用坐标表示)分析方法一由于平分线对应的方向向量为从而又=01+所以因为方法2设即又.【设计意图】本题可以用两种方法解决所以鼓励小组间讨论用多种角度去理解角平分线从而解题,培养其发散思维的能力,增强知识点的应用意识例六(学科整合)已知平面向量
(1)证明
(2)若存在不同时为零的实数和,使,试求函数关系式.
(3)若在上是增函数,试求的取值范围分析
(1)由题意知
(2)由于,化简整理有
(3)导数分析要使函数在已知区间内是增函数,则即显然,【设计意图】学科整合题型可以增强学生对知识网络的链接,也体现高考思维将向量与函数结合,利用导数工具判断单调性是本题的出发点若时间不充裕,可以作为课后思考题,以满足部分学生的求知欲.
六、课堂小结学生代表回答
1、平面向量的数量积的坐标表示.
2、向量模长的坐标表示
3、向量夹角的坐标表示
4、向量共线与垂直坐标表示
5、向量在向量方向上的投影坐标表示向量在向量方向上的投影坐标表示【设计意图】学生反思总结,可以让学生总结获取知识的能力同时使学生的认知结构更加完整,知识更系统化.
七、布置作业名师大讲堂本节的基础过关与能力提高§平面向量数量积的坐标表示、模、夹角复习导入
二、公式推导
三、练习
1.平面向量数量积的概念相应公式
(1)详细作答
2.夹角公式、模长公式相应公式
(2)学生板书
3.平面向量数量积的几何意义相应公式
(3)小结作业教学目标教学重点与难点教学方法与教学手段教学过程板书设计。