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常微分方程参考试卷11
一、填空题(每小题5分,本题共30分)1.方程的任一解的最大存在区间必定是 .2.方程的基本解组是.3.向量函数组在区间I上线性相关的________________条件是在区间I上它们的朗斯基行列式.4.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件.5.阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间.6.向量函数组在其定义区间上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式,.得分评卷人
二、计算题(每小题8分,本题共40分)求下列方程的通解
7.
8.9.10.求方程的通解.11.求下列方程组的通解.
三、证明题(每小题15分,本题共30分)12.设和是方程的任意两个解,求证它们的朗斯基行列式,其中为常数.13.设在区间上连续.试证明方程的所有解的存在区间必为.答案
一、填空题(每小题5分,本题共30分)1.2.3.必要4.充分5.n6.必要
二、计算题(每小题8分,本题共40分)7.解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程,确定出原方程的通解为+8.解由于,所以原方程是全微分方程.取,原方程的通积分为即9.解令,则原方程的参数形式为由基本关系式积分有得原方程参数形式通解10.解方程的特征根为,齐次方程的通解为因为不是特征根所以,设非齐次方程的特解为代入原方程,比较系数得确定出,原方程的通解为11.解特征方程为即特征根为,对应特征向量应满足可确定出同样可算出对应的特征向量为所以,原方程组的通解为
三、证明题(每小题15分,本题共30分)12.证明由已知条件,该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件.显然是方程的两个常数解.任取初值,其中.记过该点的解为,由上面分析可知,一方面可以向平面无穷远处无限延展;另一方面又上方不能穿过,下方不能穿过,否则与惟一性矛盾.故该解的存在区间必为.13.证明如果和是二阶线性齐次方程的解,那么由刘维尔公式有现在,故有。