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【考向预测】函数是整个高中数学的主线,导数是研究函数性质的重要工具,函数的单调性是函数最重要的性质之一,它与不等式的联系非常密切.本部分考查的内容主要有函数的概念和性质,基本初等函数的图象、性质、应用,导数的概念和应用,不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式.考查学生的抽象思维能力、推理论证能力,运算求解能力及数学应用意识.从高考卷来看,对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法.预测2014年四川高考关于不等式、函数与导数,仍会以考查函数的图象与性质,利用导数解决函数、方程、不等式的综合问题为热点,知识载体主要是二次函数、三次函数、指数函数、对数函数及分式函数.综合题主要题型1利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题或逆求参数取值范围;2不等式、函数与导数综合问题.【问题引领】1.函数y=ax+3-2a>0,且a≠1的图象恒过定点A,若点A在直线+=-1上,且m0,n0,则3m+n的最小值为 .A.13 B.16 C.11+6 D.28【解析】函数y=ax+3-2a>0,且a≠1恒过定点-3,-1,又因为点A在直线+=-1上,所以+=1,所以3m+n=3m+n+=10++≥10+2=16,所以3m+n的最小值为
16.【答案】B2.设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为6,则z的最小值为 .A.-3 B.-2C.-1D.0【解析】由z=x+y得y=-x+z,作出的区域BCO如图所示,平移直线y=-x+z,由图象可知当直线经过C点时,直线的截距最大,此时z=6,由解得所以k=3,解得B-6,3,代入z=x+y得最小值为z=-6+3=-
3.【答案】A3.若函数fx=logax3-axa0,且a≠1在区间-,0内单调递增,则a的取值范围是 .A.[,1B.[,1C.[,+∞D.-,1【解析】设φx=x3-ax,当a∈0,1时,依题意有φx=x3-ax在区间-,0内单调递减且φx=x3-ax在-,0上大于
0.∵φ′x=3x2-a即φ′x≤0在-,0恒成立⇔a≥3x2在-,0上恒成立.∵x∈-,0,∴3x2∈0,,∴a≥,此时φx0,∴≤a
1.当a1时,φx在区间-,0内单调递增,∴φ′x=3x2-a在-,0上大于
0.∴a≤3x2在-,0上恒成立.又∵3x2∈0,,∴a≤0与a1矛盾.综上,a的取值范围是[,1.【答案】B4.过点P2,-2且与曲线y=3x-x3相切的直线方程是________.【解析】设点a,b是曲线上的任意一点,则有b=3a-a
3.导数y′=3-3x2,则切线的斜率k=3-3a2,所以切线方程为y-b=3-3a2x-a,即y=3-3a2x-a3-3a2+b=3-3a2x+3a3-3a+3a-a3,整理得y=3-3a2x+2a3,将点P2,-2代入得-2=23-3a2+2a3=2a3-6a2+6,即a3-3a2+4=0,即a3+1-3a2+3=a3+1-3a2-1=0,整理得a+1a-22=0,解得a=2或a=-1,代入切线方程得y=-9x+16或y=-
2.【答案】y=-9x+16或y=-25.设函数fxx∈R满足f-x=fx,fx=f2-x,且当x∈[0,1]时,fx=x
3.又函数gx=|xcosπx|,则函数hx=gx-fx在[-,]上的零点个数为________.【解析】原题转化为函数fx与gx的图象在[-,]上有几个交点问题.可知函数fx为偶函数,故fx=f2-x=fx+2,所以函数fx是周期为2的函数.当x=,,0,-时,gx=0,当x=1时,gx=1,且gx是偶函数,且函数值为非负,由此可画出函数y=gx和函数y=fx的图象如图所示,由图可知两图象有6个交点.【答案】66.设函数fx=2-alnx++2ax.1当a=0时,求fx的极值;2当a≠0时,求fx的单调区间.【解析】1函数fx的定义域为0,+∞,当a=0时,fx=2lnx+,∴f′x=-=.由f′x=0,得x=.fx,f′x随x变化如下表 由上表可知,fx极小值=f=2-2ln2,没有极大值.2由题意,f′x=.令f′x=0,得x1=-,x2=.若a>0,由f′x≤0,得x∈0,];由f′x≥0,得x∈[,+∞.若a<0
①当a<-2时,-<,x∈0,-]或x∈[,+∞,f′x≤0;x∈[-,],f′x≥
0.
②当a=-2时,f′x≤
0.
③当-2<a<0时,->,x∈0,]或x∈[-,+∞,f′x≤0;x∈[,-],f′x≥
0.综上,当a>0时,函数的单调递减区间为0,],单调递增区间为[,+∞;当a<-2时,函数的单调递减区间为0,-],[,+∞,单调递增区间为[-,];当a=-2时,函数的单调递减区间是0,+∞;当-2<a<0时,函数的单调递减区间为0,],[-,+∞,单调递增区间为[,-].【诊断参考】1.在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件才能应用,否则会出现错误.解题时应根据已知条件适当进行添拆项,创造应用基本不等式的条件.2.线性规划的逆向问题,解题的关键在于用数形结合思想确定何时取得最大值,从而建立不等关系求参数m的范围.解此题时很多学生因为目标函数中含参数而又无数形结合思想的应用意识,导致无从下手.3.已知函数的单调性求参数的取值范围,首先要考虑定义域,即定义域优先的原则.其次要注意复合函数的单调性,一定要注意内层与外层的单调性问题.复合函数的单调性的法则是“同增异减”.本题的易错点为忽略函数的定义域,或仅考虑复合函数的内层函数的单调性.4.利用导数的几何意义求曲线的切线是导数的重要应用之一,求曲线切线方程需注意以下几点
①确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键;
②基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证;
③熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提.5.函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命制试题,其中奇偶性多与单调性相结合,而周期性常与抽象函数相结合,并以结合奇偶性求函数值为主.在这类题目中,往往需借助函数的奇偶性或周期性来实现区间的转换.对于判断函数零点的问题要注意特殊点,如第5题中要注意到x=0是函数hx的一个零点,此处极易被忽视;同时要正确画出函数的图象,将零点问题转化为函数图象的交点问题.6.含参数的导数问题是历年高考命题的热点.由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论,因而它也是绝大多数考生答题的难点,具体表现在他们不知何时开始讨论、怎样去讨论.一般地,含参数的导数问题有三个基本讨论点1求导后,导函数为零有实根或导函数的分子能分解因式,但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,从而引起讨论.2求导后,考虑导函数为零是否有实根或导函数的分子能否分解因式,从而引起讨论.3求导后,导函数为零有实根或导函数的分子能分解因式,导函数为零的实根也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论.【知识整合】
一、不等式的性质不等式共有六条性质两条推论,要注意1.可加性ab⇔a+cb+c.推论同向不等式可加,ab,cd⇒a+cb+d.2.可乘性ab,c0⇒acbc;ab,c0⇒acbc.推论同向正可乘,ab0,cd0⇒acbd.
二、不等式的解法1.一元二次不等式的解法求不等式ax2+bx+c0a≠0的解集,先求ax2+bx+c=0的根,再根据二次函数y=ax2+bx+c的图象写出解集.2.分式不等式先将右边化为零,左边通分,转化为整式不等式求解.3.一元三次不等式,用“穿针引线法”求解穿根时要注意“奇穿偶不穿”.
三、线性规则1.解答线性规则的应用问题,其一般步骤如下1设设出所求的未知数;2列列出约束条件及目标函数;3画画出可行域;4移将目标函数转化为直线方程,平移直线,通过截距的最值找到目标函数的最值;5解将直线的交点转化为方程组的解,找到最优解.2.求解整点最优解有两种方法1平移求解法先打网格,描整点,平移目标函数所在的直线l,最先经过的或最后经过的整点便是最优整点解;2调整优值法先求非整优解及最优值,再借助不定方程的知识调整最优值,最后筛选出整点最优解.
四、基本不等式1.a,b都为正数,≥,当且仅当a=b时,等号成立.2.使用基本不等式时要注意“一正,二定,三相等”.
五、不等式常用结论1.不等式恒成立问题的转化方向1分离参数,向最值转化;2向函数图象或Δ转化.2.已知x0,y0,则有1若乘积xy为定值p,则当x=y时,和x+y有最小值2;2若和x+y为定值s,则当x=y时,乘积xy有最大值s
2.
六、函数的概念及其表示函数的三要素定义域、值域、对应关系.常用的函数表示法解析法、列表法、图象法.
七、函数的性质1.函数解析式的常用求法1待定系数法;2代换配凑法;3构造方程组法.2.函数定义域的常用求法1根据解析式的要求偶次根式的被开方数不小于零、分母不能为零、对数中的真数大于零、对数中的底数大于零且不为
1、零次幂的底数不为零等;2实际问题中要考虑变量的实际含义.3.函数值域最值的常用求法1配方法常用于二次函数;2换元法;3有界性法;4单调性法;5数形结合法;6判别式法;7不等式法;8导数法.4.函数的单调性1定义法;2导数法;3复合函数法;4图象法.5.函数的奇偶性1定义法;2图象法;3性质法.6.函数的周期性1fx+T=fxT≠0,周期是T;2fx+a=fx+ba≠b,周期是|b-a|;3fx+a=-fxa≠0,周期是2a;4若fx+a=a≠0,且fx≠0,周期是2a;5fx+a=a≠0且fx≠1,周期是4a.7.函数图象的画法一是描点法,二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.
八、指数函数和对数函数的图象与性质
九、导数及其应用1.函数y=fx在点x0处的导数的几何意义是曲线y=fx在点Px0,fx0处的切线的斜率.2.设函数y=fx在某个区间可导,如果f′x0,则fx为增函数;如果f′x0,则fx为减函数.3.可导函数在极值点处的导数值为零且左右导数值异号左正右负极大值,左负右正极小值.4.可导函数在闭区间内的最值将闭区间内的极值与端点处的函数值相比较,大的就是最大值,小的就是最小值.【考点聚焦】热点一不等式的性质、解法和应用不等式的性质、简单不等式的解法、基本不等式是高考经常考查的内容,常见于选择题或填空题中,以容易题、中等难度题为主,主要考查利用不等式的性质比较大小,解一元二次不等式、分式不等式,利用基本不等式求最值,求解过程中要注重对相关性质变形形式的理解和应用,同时注意思维的严谨性. 12013湖北卷已知全集为R,集合A={x|x≤1},B={x|x2-6x+8≤0},则A∩RB= .A.{x|x≤0}B.{x|2≤x≤4}C.{x|0≤x2或x4}D.{x|0x≤2或x≥4}2已知两条直线l1y=m和l2y=m>0,l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记曲线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b.当m变化时,的最小值为________.【分析】1分别利用指数的运算性质、一元二次不等式解法,求出集合A、B.2将A,B,C,D四点的横坐标利用变量m表示出来,根据a,b为曲线段AC和BD在x轴上的投影长度,将利用变量m表示出来,然后利用基本不等式求出最值.【解析】1易知集合A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},故RB={x|x2或x4},从而A∩RB={x|0≤x2或x4}.故选C.2在同一坐标系中作出y=m,y=m0,y=|log2x|图象如图所示,由|log2x|=m,得x1=2-m,x2=2m,|log2x|=,∵m+=m++-≥4-=,当且仅当m=时,取“=”号,∴min=
8.【答案】1C 28【归纳拓展】1一元二次不等式的解法常与函数的零点、函数的值域、方程的根及指数函数、对数函数、抽象函数等交汇综合考查.解决此类问题可以根据一次、二次不等式,分式不等式,简单的指数、对数不等式的解法进行适当的变形求解,也可以利用函数的单调性把抽象不等式进行转化求解.2基本不等式多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题.解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式,同时要注意基本不等式的使用条件.如本题中要能用拼凑法将m+m0化成利用基本不等式求最值的形式.变式训练1 1已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的a的值之和是 .A.13B.18C.21D.262已知正实数a,b满足a+2b=1,则a2+4b2+的最小值为 .A.B.4C.D.【解析】1设fx=x2-6x+a,其图象是开口向上、对称轴是x=3的抛物线,如图所示.关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数,则即解得5a≤8,又a∈Z,所以a=6,7,
8.则所有符合条件的a的值之和是6+7+8=
21.选C.2因为1=a+2b≥2⇒ab≤,当且仅当a=2b=时取等号.又因为a2+4b2+≥2a·2b+=4ab+.令t=ab,所以ft=4t+,又ft在0,]上单调递减,所以ftmin=f=.此时a=2b=.选D.【答案】1C 2D热点二线性规划线性规划常出现在选择题或填空题中,主要考查已知约束条件,求目标函数的最值;已知目标函数的最值,求约束条件或目标函数中的参变量的取值范围.有时在解答题中考查以实际问题为背景求目标函数的最值.一般为中等难度题,解决这类问题的关键是灵活应用数形结合思想. 定义在R上的函数y=fx是减函数,且函数y=fx+2的图象关于点-2,0成中心对称,若s,t满足不等式组则当2≤s≤3时,2s+t的取值范围是 .A.[3,4]B.[3,9]C.[4,6]D.[4,9]【分析】要求2s+t的取值范围,并且两个变量s,t不存在等量关系,需要利用线性规划求解.因此要根据函数的性质和题意挖掘出两个变量间的不等关系.【解析】因为y=fx+2的图象关于点-2,0成中心对称,所以函数fx关于原点对称.设z=2s+t,作出不等式组对应的区域.由z=2s+t得s=-t+,平移直线s=-t+,由图象可知,当直线s=-t+经过点C0,2时截距最小,此时z=2s+t=4;即E3,3,此时直线z=2s+t的截距最大,为z=2s+t=2×3+3=
9.所以4≤2s+t≤
9.所以选D.【答案】D【归纳拓展】本题命题角度新颖,不是直接给出线性约束条件和目标函数求最值,而是需要将所给不等式组进行合理转化后,约束条件才明朗.对于这类问题,要通过两个变量不存在确定关系,确定利用线性规划求解,然后通过题目条件寻找两个变量存在的所有不等关系,同时要注意深入挖掘题目条件.变式训练2 设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+bya>0,b>0的最小值为2,则ab的最大值为 .A.1B.C.D.【解析】由z=ax+bya>0,b>0得y=-x+,可知斜率为-<0,作出可行域如图,由图象可知当直线y=-x+经过点D时,直线y=-x+的截距最小,此时z最小为
2.即D2,3,代入直线ax+by=2,得2a+3b=2,又2=2a+3b≥2,所以ab≤,当且仅当2a=3b=1,即a=,b=时取等号,所以ab的最大值为.选D.【答案】D热点三函数的图象与性质函数的图象与性质作为高中数学的一个“重头戏”,常考常新,主要从以下几个方面考查单调性的确定与应用,应用单调性求最值值域、比较大小、求参数的取值范围等;奇偶性、周期性与函数的其他性质如图象的对称性的综合问题;求函数的最值或应用函数的最值问题;函数图象的判断,及利用函数图形研究函数性质.考题既有选择题、填空题,又有解答题,难度一般为中等偏上. 1函数y=+sinx的图象大致是 .2已知函数fx=则fx的零点是________;fx的值域是________.3已知函数fx在实数集R上具有下列性质
①直线x=1是函数的一条对称轴;
②fx+2=-fx;
③当1≤x1<x2≤3时,[fx2-fx1]·x2-x1<0,则f
2011、f
2012、f2013从大到小的顺序为________.【分析】1根据函数的奇偶性、单调性、正负性、零点,利用排除法,逐项排除.2根据fx为分段函数,分段求出函数的零点和值域,但是要注意fx的值域是两段的并集.3根据
①②确定函数的周期,根据
③确定函数在该区间的单调性,然后利用函数的周期性将f
2011、f
2012、f2013转化到同一个单调区间,得出大小关系.【解析】1函数y=fx=+sinx为奇函数,所以图象关于原点对称,排除B.当x→+∞时,y>0,排除D.f′x=+cosx,由f′x=+cosx=0,得cosx=-,所以函数y=fx=+sinx的极值有很多个,所以选C.2当0≤x≤9时,由x=0,得x=0;当-2≤x<0时,由x2+x=0,得x=-1,所以函数零点为-1和
0.当0≤x≤9时,fx=x,所以0≤fx≤3;当-2≤x<0时,fx=x2+x=x+2-,所以此时-≤fx≤
2.综上,-≤fx≤3,即函数的值域为[-,3].3由fx+2=-fx得fx+4=fx,所以周期是4,所以f2011=f3,f2012=f0,f2013=f1.因为直线x=1是函数fx的一条对称轴,所以f2012=f0=f2.由[fx2-fx1]·x2-x1<0,可知当1≤x1<x2≤3时,函数单调递减.所以f2013>f2012>f2011.【答案】1C 2-1和0 [-,3] 3f2013>f2012>f2011【归纳拓展】1函数图象的变换包括平移变换、伸缩变换和对称变换,要记住它们的变换规律——左加右减.但要注意加、减指的是自变量,否则不成立;识图时,要留意它们的变化趋势,与坐标轴的交点及一些特殊点,特别是对称性、周期性等特点,应引起足够的重视.2求函数的值域要记住各种基本函数的值域;要记住具有什么结构特点的函数用什么样的方法求值域;对各种求函数值域的方法要熟悉,遇到求值域的问题,应注意选择最优解法;求函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且要特别注意定义域对值域的约束作用;函数的值域常常化归为求函数的最值问题.3抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力,考查对函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对一般和特殊关系的认识.一般要先确定函数在某一个周期内的特点,再通过函数的对称性、周期性确定函数在整个定义域上的特点,从而确定函数的性质.变式训练3 1设a<b,函数y=x-a2x-b的图象可能是 .2若函数fx=是R上的单调递减函数,则实数a的取值范围为 .A.-∞,2B.-∞,]C.0,2D.[,23已知定义在R上的奇函数fx满足fx-4=-fx,且当x∈[0,2]时,fx=log2x+1,给出下列四种说法
①f3=1;
②函数fx在[-6,-2]上是增函数;
③函数fx关于直线x=4对称;
④若m∈0,1,则关于x的方程fx-m=0在[-8,8]上所有根之和为-
8.其中正确的序号有________.【解析】1由图象可知0<a<b.y=fx=x-a2x-b,则f0=-a2b<0,排除A,C.当a<x<b时,fx=x-a2x-b<0,排除D,选B.3由fx-4=-fx得fx-8=fx,所以函数的周期是
8.又函数为奇函数,所以由fx-4=-fx=f-x,所以函数关于x=-2对称.同时fx-4=-fx=-f4-x,即fx=f4-x,函数也关于x=2对称,所以
③不正确.又x∈[0,2],函数fx=log2x+1单调递增,所以当x∈[-2,2]时函数递增,又函数关于直线x=-2对称,所以函数在[-6,-2]上是减函数,所以
②不正确.f-3=-f1=-log22=-1,所以f3=1,故
①正确.若m∈0,1,则关于x的方程fx-m=0在[-8,8]上有4个根,其中两个根关于x=2对称,另外两个关于x=-6对称,所以关于x=2对称的两根之和为2×2=4,关于x=-6对称的两根之和为-6×2=-12,所以所有根之和为-12+4=-8,所以
④正确.所以正确的序号为
①④.【答案】1B 2B 3
①④热点四函数与方程函数与方程在高考中多以选择、填空题的形式出现,难度为中、低,主要考查函数图象的交点、方程根的讨论等,其中利用函数图象判断方程解的个数是高考命题的重点,在解题中要注意数形结合思想的应用. 设函数fx=则方程fx=x2+1的实数解的个数为________.【分析】根据fx为分段函数,因此分段判断.对方程化简后,可将问题转化为两个熟悉的函数图象,通过图象交点的个数,判断解的个数.【解析】当x≥0时,由fx=x2+1得,x·2x=x2+1,即2x=x+,在坐标系中,作出函数y=2x,y=x+的图象,由图象可知,当x≥0时,有一个交点;当x<0时,由fx=x2+1得,-2sin2x=x2+1,作出y=-2sin2x,y=x2+1的图象,由图象可知当x<0时,两个函数有2个交点.所以总共有3个交点,即方程fx=x2+1的实数解的个数为
3.【答案】3【归纳拓展】函数零点问题主要有四类一是判断函数零点或方程根的个数;二是利用函数零点确定函数的解析式;三是确定函数零点或方程根的取值范围;四是利用函数的零点或根的个数求解参数的取值范围.解决这些问题主要用数形结合法.变式训练4 函数fx=cosx-log8x的零点个数为________.【解析】由fx=0,得cosx=log8x,设y=cosx,y=log8x,作出函数y=cosx,y=log8x的图象,由图象可知,函数的零点个数为
3.【答案】3热点五用导数研究函数的性质从近几年的高考来看,用导数研究函数的性质主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、最值问题.一般是解答题,难度中等偏难.解决该类问题要明确导数为零的点不一定是极值点,导函数的变号零点才是函数的极值点;求单调区间时一定要注意函数的定义域;求最值时需要把极值和端点值逐一求出,比较即可. 已知函数fx=.1若函数fx在x=1处取得极值2,求a,b的值;2当2b=a2-1时,讨论函数fx的单调性.【分析】1根据函数fx在x=1处取得极值2,得出该点导数为0且函数值为2,构造a与b的方程;2求出函数fx导数,根据2b=a2-1,将f′x转化为只有参数a,然后对a进行讨论,判断函数fx的单调性.【解析】1f′x==x∈R,依题意有,f′1==0,f1==2,解得b=0,a=-
4.经检验,a=-4,b=0符合题意,所以a=-4,b=
0.2当2b=a2-1时,f′x==.当a=0时,f′x=,令f′x=0,得x=
0.当x∈-∞,0时,f′x0;当x∈0,+∞时,f′x0,所以减区间为-∞,0,增区间为0,+∞.当a≠0时,令f′x=0,得x1=-,x2=a,若a0,则有-a,当x∈-∞,-或x∈a,+∞时,f′x0;当x∈-,a时,f′x0,所以增区间为-∞,-,a,+∞,减区间为-,a.若a0,则有-a,当x∈-∞,a或x∈-,+∞时,f′x0;当x∈a,-时,f′x0,所以增区间为a,-,减区间为-∞,a,-,+∞.综上所述当a=0时,fx的减区间为-∞,0,增区间为0,+∞;当a0时,fx的增区间为-∞,-,a,+∞,减区间为-,a;当a0时,增区间为a,-,减区间为-∞,a,-,+∞.【归纳拓展】导数是研究函数单调性、极值、最值等性质的重要而有力的工具,其中单调性是函数最重要的性质之一,函数的极值、最值等问题的解决都离不开函数的单调性.函数单调性的讨论往往归结为一个不等式、特别是一元二次不等式的讨论,对一元二次不等式,在二次项系数的符号确定后就是根据其对应的一元二次方程两个实根的大小进行讨论,即分类讨论的标准是先二次项系数、再根的大小.变式训练5 已知函数fx=x-alnx+在x=1处取得极值,且a>
2.1求a与b满足的关系式;2求函数fx的单调区间.【解析】1f′x=1--,由f′1=0,得b=1-a.2函数fx的定义域为0,+∞,由1可得f′x=1--==.令f′x=0,则x1=1,x2=a-
1.因为a>2,所以a-1>1, 所以单调递增区间为0,1,a-1,+∞,单调递减区间为1,a-1.热点六函数与方程、不等式的综合函数与方程、不等式的综合主要以导数为工具判断方程的解、证明不等式、解决不等式恒成立问题,一般是综合性比较强的解答题,难度比较大.在求解过程中要注意转化与化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法的运用. 已知函数fx=其中a是实数.设Ax1,fx1,Bx2,fx2为该函数图象上的两点,且x1x
2.1指出函数fx的单调区间;2若函数fx的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x20,求x2-x1的最小值;3若函数fx的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.【分析】1分段求导研究导函数的正负情况,注意定义域的影响;2根据切线互相垂直建立等式关系,再将x2-x1转化为[--2x1+2+2x2+2],利用基本不等式求出它的最小值;3根据两切线重合得到关于a的恒成立问题,求出参数范围.【解析】1函数fx的单调递减区间为-∞,-1,单调递增区间为[-1,0,0,+∞.2由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为f′x1,点B处的切线斜率为f′x2,故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有f′x1f′x2=-
1.当x<0时,对函数fx求导,得f′x=2x+
2.因为x1<x2<0,所以2x1+22x2+2=-1,所以2x1+2<0,2x2+2>
0.因此x2-x1=[-2x1+2+2x2+2]≥=1,当且仅当-2x1+2=2x2+2=1,即x1=-且x2=-时等号成立.所以,函数fx的图象在点A,B处的切线互相垂直时,x2-x1的最小值为
1.3当x1<x2<0或x2>x1>0时,f′x1≠f′x2,故x1<0<x
2.当x1<0时,函数fx的图象在点x1,fx1处的切线方程为y-x+2x1+a=2x1+2x-x1,即y=2x1+2x-x+a.当x2>0时,函数fx的图象在点x2,fx2处的切线方程为y-lnx2=x-x2,即y=·x+lnx2-
1.两切线重合的充要条件是由
①及x1<0<x2知,-1<x1<
0.由
①②得,a=x+ln-1=x-ln2x1+2-
1.设hx1=x-ln2x1+2-1-1<x1<0,则h′x1=2x1-<
0.所以,hx1-1<x1<0是减函数.则hx1>h0=-ln2-
1.所以a>-ln2-
1.又当x1∈-1,0且趋近于-1时,hx1无限增大.所以a的取值范围是-ln2-1,+∞.故当函数fx的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是-ln2-1,+∞.【归纳拓展】导数是研究函数的重要手段,应该熟悉导数在研究函数的单调性、极值与最值中的基本应用,再在此基础上学会研究不等式恒成立、求参数的范围、不等式的证明的应用.变式训练6 设函数fx=lnx-ax.1求fx的单调区间;2若a=,gx=xfx+1x>1,且gx在区间k,k+1内存在极值,求整数k的值.【解析】1由已知得x>0,f′x=-a=.当a≤0时,f′x>0,函数fx在0,+∞内单调递增.当a>0时,由f′x>0,得1-ax>0,∴0<x<;由f′x<0,得1-ax<0,∴x>.∴fx在0,内单调递增,在,+∞内单调递减.2当a=时,gx=xfx+1=xlnx-x+1=xlnx+x-x2x>1,∴g′x=lnx-x+2x>1,令Fx=g′x=lnx-x+2x>1,则F′x=-1<0,∴Fx在1,+∞内单调递减.∵F1=1>0,F2=ln2>0,F3=ln3-3+2=ln3-1>0,F4=ln4-4+2=ln4-2<0,∴Fx即g′x在3,4内有零点,即gx在3,4内存在极值.又∵gx在k,k+1上存在极值,且k∈Z,∴k=
3. 已知函数fx=x-a+1lnx-a∈R,gx=x2+ex-xex.1当x∈[1,e]时,求fx的最小值;2当a1时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],fx1gx2恒成立,求a的取值范围.【分析】1求出f′x,判断函数fx的单调性,得出fx的最小值;2若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],fx1gx2恒成立,则fx1mingx2min,构造两个最值关系,求出a的取值范围.【解析】1fx的定义域为0,+∞f′x=a∈R,当a≤1时,x∈[1,e],f′x≥0,fx为增函数,fxmin=f1=1-a;当1ae时,x∈[1,a],f′x≤0,fx为减函数,x∈[a,e],f′x≥0,fx为增函数,fxmin=fa=a-a+1lna-1,当a≥e时,x∈[1,e],f′x≤0,fx为减函数,fxmin=fe=e-a+1-.综上,当a≤1时,fxmin=1-a;当1ae时,fxmin=a-a+1lna-1;当a≥e时,fxmin=e-a+1-.2若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],fx1gx2恒成立,即fx1mingx2min,当a1时,由1可知,x1∈[e,e2],fx为增函数,所以fx1min=fe=e-a+1-,g′x=x+ex-xex-ex=x1-ex,当x2∈[-2,0]时,g′x≤0,gx为减函数,gx2min=g0=1,所以e-a+1-1,a,故a∈,1.【归纳拓展】1对于在指定区间上不等式的恒成立问题,一般要转化为函数的最值问题加以解决,如果函数在这个指定的区间上没有最值,则可转化为求函数在这个区间上的值域,通过值域的端点值确定问题的答案.2在不等式与函数导数综合试题中,若遇到求参数的范围问题
①不等式恒成立或解集为R,用分离参数法afx⇔afxmax;afx⇔afxmin.
②不等式有解解集非空或存在性命题,用分离参数法afx⇔afxmin;afx⇔afxmax.
③不等式解集为空集,用分离参数法afx⇔a≤fxmin;afx⇔a≥fxmax.3利用导数证明不等式,关键是根据题意构造函数,并研究函数的单调性、极值或端点值,将不等式的证明问题转化为函数的单调性问题或极值问题.其步骤一般是构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等关系——整理得出结论.变式训练7 已知函数fx=x2-x-eaxa
0.1当a=1时,求函数fx的单调区间;2若不等式fx+≥0对x∈R恒成立,求a的取值范围.【解析】对函数fx求导,得f′x=eaxax+2x-1,1当a=1时,f′x=exx+2x-1,令f′x0,解得x1或x-2;令f′x0,解得-2x
1.所以fx的单调增区间为-∞,-2和1,+∞,fx的单调减区间为-2,1.2令f′x=0,即ax+2x-1=0,解得x=-或x=
1.当a0时,列表如下 对于x-,因为x20,-x,a0,所以x2-x-0,所以fx
0.对于x≥-,由表可知函数在x=1时取得最小值f1=-ea
0.所以,当x∈R时,fxmin=f1=-ea.由题意,不等式fx+≥0对x∈R恒成立,所以得-ea+≥0,解得0a≤ln
5.限时训练卷
一一、选择题1.已知fx=则f-2的值是 .A.-2 B.2 C. D.【解析】作出线性约束条件的可行域,如图所示,得最优解为3,1,故z的最大值为zmax=3×3+1=
10.【答案】A3.已知fx=ax3+bx2+cx+da≠0,记Δ=4b2-3ac,则当Δ0且a0时,函数fx的大致图象为 .【解析】f′x=3ax2+2bx+c,由Δ0且a0可知y=f′x的图象开口向上且与x轴有两个交点,∴从左到右f′x先正后负再正,∴函数fx的图象从左到右是先上升再下降然后上升,选A.【答案】A4.已知函数fx=ex-1,gx=-x2+4x-3,若有fa=gb,则b的取值范围为 .A.[2-,2+]B.2-,2+C.[1,3]D.1,3【解析】因为fx=ex-1,gx=-x2+4x-3,且fa=gb,所以ea-1=-b2+4b-3,而ea0,ea-1-1,所以-b2+4b-3-1,b2-4b+20,解得b的取值范围为2-,2+.【答案】B5.已知点Px,y在经过A3,0,B1,1两点的直线上,则2x+4y的最小值为 .A.2B.4C.16D.不存在【解析】根据题意,由于点Px,y在经过A3,0,B1,1两点的直线上,AB:y=-x-3,那么可得x+2y=3,则2x+4y=2x+22y≥2=4,当x=,y=时等号成立,故答案为B.【答案】B6.已知函数fx=ln-3x+1,则flg2+flg等于 .A.-1B.0C.1D.2【解析】根据题意,由于函数fx=ln-3x+1,f-x=ln+3x+1=-ln-3x+1,因此fx+f-x=2,故flg2+flg=
2.【答案】D7.已知定义在R上的函数满足f2+x=-f2-x,当x2时,fx单调递增,若x1+x24且x1-2x2-20,则fx1+fx2的值 .A.可能为0B.恒大于0C.恒小于0D.可正可负【解析】根据题意,由于定义在R上的函数fx满足f2+x=-f2-x,则说明函数关于2,0成对称中心,那么当x2时,fx单调递增;当x2时,函数fx单调递增,又x1+x24且x1-2x2-20,则可知fx1+fx2恒小于0,故可知选C.【答案】C8.对于函数y=fx,如果存在区间[m,n],同时满足下列条件
①fx在[m,n]内是单调的;
②当定义域是[m,n]时,fx的值域也是[m,n],则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.若函数fx=-a>0存在“和谐区间”,则a的取值范围是 .A.0,1B.0,2C.,D.1,3【解析】由题意可得函数fx=-a>0在区间[m,n]上是单调的,所以[m,n]⊆0,+∞或-∞,0,则fm=m,fn=n,故m、n是方程-=x的两个同号的实数根,即方程ax2-a+1x+a=0有两个同号的实数根,注意到mn==10,故只需Δ=a+12-4a20,解得-a1,结合a0,可得0a
1.故选A.【答案】A9.设x,y满足约束条件若x2+4y2≥a恒成立,则实数a的最大值为 .A.B.C.D.【解析】不等式组构成的平面区域如下.当在直线x+y=1上取点x,y时,可使x2+4y2取得最小值,则x2+4y2=x2+41-x2=5x-2+≥,所以a≤,则实数a的最大值为.【答案】C
二、填空题10.不等式ax2+2ax+1≥0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围为________.【解析】根据题意,由于不等式ax2+2ax+1≥0对一切x∈R恒成立;当a=0时,成立;当a不为零时,则只有a0,且判别式小于等于零,即4a2-4a≤0⇔0<a≤1,故可知参数a的范围是[0,1].【答案】[0,1]11.已知函数fx=a-,且fx为奇函数,则a=________.【解析】因为函数fx=a-为R上的奇函数,所以f0=0,即a-=0,a=.【答案】12.定义“正对数”ln+x=现有四个命题
①若a>0,b>0,则ln+ab=bln+a;
②若a>0,b>0,则ln+ab=ln+a+ln+b;
③若a>0,b>0,则ln+≥ln+a-ln+b;
④若a>0,b>0,则ln+a+b≤ln+a+ln+b+ln
2.其中的真命题有________.写出所有真命题的编号【解析】对于
①当0a1,b0时,0ab1,这时ln+ab=bln+a=0;当a=1,b0时,ln+ab=bln+a=0;当a1,b0时,ab1,这时ln+ab=lnab=blna=bln+a.综上可知
①正确.对于
②若a=2,b=,则ln+ab=ln+1=0,而ln+a+ln+b=ln+2+ln+=ln+2=ln2≠
0.故
②不成立.对于
③当ab0时,1,故ln+=ln=lna-lnb.容易证明当ab1,a1b0,0ba1时lna-lnb≥ln+a-ln+b都成立,故ln+≥ln+a-ln+b.当a=b0时,ln+=ln+1=0,ln+a-ln+b=0,故成立.当ba0时,01,故ln+=0,ln+a-ln+b≤0,故ln+≥ln+a-ln+b.综上可知
③正确.对于
④同理
③,分情况讨论可知
④正确.因此正确的命题为
①③④.【答案】
①③④
三、解答题13.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为Cx,当年产量不足80千件时,Cx=x2+10x万元.当年产量不小于80千件时,Cx=51x+-1450万元,每件商品售价为
0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.1写出年利润Lx万元关于年产量x千件的函数解析式;2年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?【解析】1∵每件商品售价为
0.05万元,∴x千件商品销售额为
0.05×1000x万元,依题意得当0<x<80时,Lx=
0.05×1000x-x2-10x-250=-x2+40x-
250.当x≥80时,Lx=
0.05×1000x-51x-+1450-250=1200-x+.∴Lx=2当0<x<80时,Lx=-x-602+
950.此时,当x=60时,Lx取最大值L60=950万元.当x≥80时,Lx=1200-x+≤1200-2=1200-200=
1000.当x=,即x=100时,Lx取得最大值1000万元.∵950<1000,∴当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.限时训练卷
二一、选择题1.曲线y=xex+1在点A0,1处的切线方程是 .A.x-y+1=0B.2x-y+1=0C.x-y-1=0D.x-2y+2=0【解析】由已知,y′=ex+xex,当x=0时,导数值为1,故所求的切线方程是y=x+1,即x-y+1=
0.【答案】A2.已知函数fx=xx-c2在x=2处有极大值,则c等于 .A.6 B.2C.2或6D.-2或6【解析】根据题意,由于函数fx=xx-c2在x=2处有极大值,又f′x=x-c2+2xx-c=3x2-4cx+c2,则有f′2=0,12-8c+c2=0,则可知c=6或2,当c=2时不符合题意,故答案为A.【答案】A3.曲线y=在点-1,-a处的切线方程为2x-y+b=0,则 .A.a=1,b=-1B.a=1,b=1C.a=-1,b=-3D.a=-1,b=-2【解析】y′==,∴y′|x=-1==2,∴a=1,将切点-1,-1代入切线方程,得b=
1.【答案】B4.已知函数y=fx的图象与函数y=lnx的图象关于直线y=x对称,则fx+1等于 .A.exB.ex+1C.ex-1D.lnx+1【解析】∵函数y=fx的图象与函数y=lnx的图象关于直线y=x对称,∴函数y=fx与y=lnx互为反函数,∴fx=ex,fx+1=ex+1,选B.【答案】B5.若函数fx的导函数f′x=x2-4x+3,则使得函数fx-1单调递减的一个充分不必要条件是x∈ .A.0,1B.[0,2]C.2,3D.2,4【解析】因为函数fx的导函数f′x=x2-4x+3,所以x3或x1时,f′x=x2-4x+30,函数为增函数;1x3时,f′x=x2-4x+30,函数为减函数.fx-1的单调区间是fx的单调区间向右平移1个单位,所以其减区间为2,4,使得函数fx-1单调递减的一个充分不必要条件是x∈2,3.【答案】C6.设函数fx=x-ax-bx-ca,b,c是互不相等的常数,则++等于 .A.0B.1C.3D.a+b+c【解析】根据题意,由于函数fx=x-ax-bx-c,则可知f′x=x-bx-c+x-a[x-bx-c]′,∴f′a=a-ba-c,同理可知f′b=-a+bb-c,f′c=c-ac-b,那么可知++为零,故可知答案为A.【答案】A7.已知函数fx=x3+ax2+a+3x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是 .A.-a1B.a-或a3C.-a3D.a-3或a【解析】f′x=x2+2ax+a+3,∵函数fx=x3+ax2+a+3x+1有极大值和极小值,∴方程f′x=0有两不等实根,∴Δ=2a2-4××a+30,即2a+3a-30,∴a-或a
3.【答案】B8.已知函数fx=2x-4,x∈[0,1]与gx=x2-2x+a,x∈[0,1].若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得fx0=gx1成立,则实数a的取值范围是 .A.[-1,0]B.[-2,0]C.[-2,-1]D.[-3,-2]【解析】依题意有{y|y=fx,0≤x≤1}⊇{y|y=gx,0≤x≤1}.∵当x∈[0,1]时,fx∈[-4,-2],∴-4≤gx≤-2,即x∈[0,1]时,恒成立,解得-3≤a≤-2,故选D.【答案】D9.已知函数fx的定义域为[-1,5],部分对应值如下表.fx的导函数y=f′x的图象如图所示.下列关于函数fx的命题
①函数fx在[0,2]上是减函数;
②如果当x∈[-1,t]时,fx的最大值是2,那么t的最大值为4;
③当1a2时,函数y=fx-a有4个零点.其中真命题的个数是 .A.0B.3C.2D.1【解析】由导函数的图象和原函数的关系得,原函数的大致图象如图由图得
①为真命题.因为在[0,2]上导函数为负,故原函数递减;
②为假命题,当t=5时,也满足x∈[-1,t]时,fx的最大值是2;
③为假命题,当a离1非常接近时,如图y=fx-a有2个零点,也可以是3个零点.综上得真命题只有
①.故选D.【答案】D
二、填空题10.曲线y=e-2x+1在点0,2处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为________.【解析】由y=e-2x+1,得y′=-2e-2x,∴点0,2处的切线的斜率k=-2,∴在点0,2处的切线方程为y=-2x+2,与直线y=x联立,得交点A,.又切线y=-2x+2与直线y=0的交点B0,1,故所求三角形的面积是×1×=.【答案】11.已知fx是定义在R上的奇函数,f2=0,[xfx]′0x0,则不等式fx≤0的解集是________.【解析】由于fx是定义在R上的奇函数,则f-x=-fx.令Fx=xfx,由于F-x=-xf-x=-x[-fx]=xfx=Fx,因而函数Fx=xfx为偶函数.因为F′x=[xfx]′0x0,所以函数Fx在0,+∞上为增函数,由于f2=0,则F2=0,所以函数Fx的大致图象如下所以,当0≤x≤2时,Fx=xfx0,fx0;当x≤-2时,Fx=xfx0,fx0,故不等式fx≤0的解集为-∞,-2]∪[0,2].【答案】-∞,-2]∪[0,2]12.已知fx=xlnx,gx=-x2+ax-3,若对一切的x∈0,+∞,2fx≥gx恒成立,则实数a的取值范围为________.【解析】2xlnx≥-x2+ax-3,则a≤2lnx+x+,设hx=2lnx+x+x>0,则h′x=,当x∈0,1时,h′x<0,hx单调递减;当x∈1,+∞时,h′x>0,hx单调递增.∴hxmin=h1=
4.∵对一切x∈0,+∞,2fx≥gx恒成立,∴a≤hxmin=
4.【答案】-∞,4]
三、解答题13.已知函数fx=alnx-1+ax+x2,a∈R.1讨论函数fx的单调区间;2已知fx≥0对定义域内的任意x恒成立,求实数a的取值范围.【解析】1x∈0,+∞,f′x=-1+a+x==,令gx=x-ax-1=0,x1=a,x2=1,
①当a≤0时,x-a0,x∈0,1,f′x0,fx递减,x∈1,+∞,f′x0,fx递增,故当a≤0时,递减区间是0,1,递增区间是1,+∞
②当0a1时,减区间是a,1,增区间是0,a,1,+∞;
③当a=1时,f′x=≥0,x=1,fx连续,fx的增区间是0,+∞;
④当a1时,减区间是1,a,增区间是0,1,a,+∞.2由于f1=--a,若a0,则f10,此时,fx≥0对定义域内的一切实数不是恒成立的;当a≤0,由于x∈0,1,f′x0,fx递减,x∈1,+∞,f′x0,fx递增,故当x=1时,fx极小值=fxmin=f1=--a,fx≥0对定义域内的一切实数恒成立等价于fxmin≥0,即f1=--a≥0,故a≤-.
一、选择题1.已知幂函数fx=xm的图象经过点4,2,则f16等于 .A.2 B.4 C.4 D.8【解析】根据题意,由于幂函数fx=xm的图象经过点4,2,代入得到f4=2=4m,∴22m=2,∴2m=1,m=,故可知f16=
4.【答案】B2.不等式组的解集是 .A.{x|-1<x<1}B.{x|1<x≤3}C.{x|-1<x≤0}D.{x|x≥3或x<1}【解析】根据题意,由不等式组可知,对于x2-1<0⇔-1<x<1,x2-3x≥0⇔x≥3或x≤0,然后求解交集得到结果为{x|-1<x≤0},故答案为C.【答案】C3.若abc,则下列不等式中正确的是 .A.a|c|b|c|B.abacC.D.a-|c|b-|c|【解析】根据题意,由于abc,那么当c不为零时,选项A成立,若a=0,选项B不成立,对于C,只有a,b,c同号时成立.【答案】D4.函数y=esinx-π≤x≤π的大致图象为 .【解析】根据题意,函数y=esinx-π≤x≤π,在y轴右侧,函数是先递增后递减的;在y轴左侧,正弦值为负数且先减后增,可知函数值也先减后增,故函数的图象为D.【答案】D5.已知函数fx满足f2x-1=fx+x2-x+2,则函数fx在1,f1处的切线是 .A.2x+3y+12=0B.2x-3y+10=0C.2x-y+2=0D.2x-y-2=0【解析】f2x-1=fx+x2-x+2,令x=1,得f1=f1+2,所以f1=4,原式两边分别求导数得2f′2x-1=f′x+2x-1,令x=1,得2f′1=f′1+1,所以f′1=,切线方程为2x-3y+10=
0.【答案】B6.已知对任意实数x,有f-x=-fx,g-x=gx,且x0时f′x0,g′x0,则当x0时, .A.f′x0,g′x0B.f′x0,g′x0C.f′x0,g′x0 D.f′x0,g′x0【解析】对任意实数x,有f-x=-fx,g-x=gx,所以fx,gx分别为奇函数、偶函数,所以fx在关于原点对称的区间单调性一致,gx在关于原点对称的区间单调性相反,g′x的正负号相反,而当x0时,f′x0,g′x0,所以当x0时,f′x0,g′x
0.【答案】B7.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为 .A.0B.1C.D.3【解析】==≤=1,当且仅当x=2y时成立,因此z=4y2-6y2+4y2=2y2,所以+-=-=--12+1≤
1.【答案】B8.若a4,则函数fx=x3-3ax+3在区间0,2上零点的个数为 .A.0B.1C.2D.3【解析】∵a4,∴f2=23-6a+3=11-6a0,又f0=30,∴fx在区间0,2上存在零点.又由f′x=3x2-3a=3x+x-,知fx在区间-,上单调递减,∴fx在区间0,2上存在唯一零点,故选B.【答案】B9.已知fx是定义在0,+∞上的非负可导函数,且满足xf′x+fx≤
0.对任意正数a,b,若ab,则必有 .A.afb≤bfaB.bfa≤afbC.bfb≤fa D.afa≤fb【解析】由于fx≥0,则由xf′x+fx≤0得xf′x-fx≤
0.令Fx=,则F′x=≤0,所以函数Fx在0,+∞上为减函数或常数,由于ab,因而Fa=≥Fb=,所以afb≤bfa.【答案】A10.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点Px0,y0满足x0-2y0=2,求得m的取值范围是 .A.-∞,-B.-∞,C.-∞,-D.-∞,-【解析】要使线性约束条件表示的平面区域内存在点Px0,y0满足x0-2y0=2,即该平面区域和直线x-2y=2有交点,而直线的交点-m,m在直线y=-x上移动,由得交点坐标为,-,当-m,即m-时,才会有交点.【答案】C
二、填空题11.已知函数fx=若fa=,则a=________.【解析】令log2a=,∴a=2=;当2a=时,得a=-1,∴a=-1或.【答案】-1或12.设函数y=fx在其图象上任意一点x0,y0处的切线的方程为y-y0=3x-6x0x-x0,则函数y=fx的单调减区间为________.【解析】由切线的斜率k=3x-6x0,知fx的导函数为f′x=3x2-6x=3xx-2.∵f′x0时,0x2,∴函数fx的单调减区间为0,2.【答案】0,2答闭区间或半开半闭区间均可13.已知正实数x,y,z满足2xx++=yz,则x+·x+的最小值为________.【解析】由题知2xx++=yz,即x2++=,于是可将给定代数式化简得x+x+=x2+++=+≥2=,当且仅当yz=时取等号.【答案】14.设fx=++,则fx+f=________.【解析】根据题意,由于fx=++,则可知fx+f=+++++=+++++=1+1+1=
3.【答案】315.已知不等式4x3-ax+1≥0对x∈[-1,1]恒成立,则a=________.【解析】4x3-ax+1≥0变形为ax≤4x3+1,当x=0时,a∈R,当x∈0,1]时,a≤4x2+,设gx=4x2+,∴g′x=8x-=,g′x=0,∴x=,当x∈0,时,g′x0,当x∈,1]时,g′x0,∴gxmin=g=3,∴a≤3,同理当x∈[-1,0时,a≥3,∴a=
3.【答案】3
三、解答题16.已知函数fx=-a0,x0.1判断函数fx在0,上的单调性;2若fx在[,2]上的值域是[,2],求a的值.【解析】1设x1x20,则x1-x20,x1x20,∵fx1-fx2=---=-=0,∴fx1fx2,因此,函数fx是0,上的单调增函数.2∵fx在[,2]上的值域是[,2],又由1得fx在[,2]上是单调增函数,∴f=,f2=2,即-2=,-=2,解得a=.17.已知函数fx=x-klnx,常数k
0.1若x=1是函数fx的一个极值点,求fx的单调区间;2若函数gx=xfx在区间1,2上是增函数,求k的取值范围.【解析】1定义域为0,+∞,f′x=1-,∵x=1是函数fx的一个极值点,f′1=0⇒k=1,经检验k=1为所求,∴f′x=1-.令f′x0⇒x∈1,+∞,再令f′x0⇒x∈0,1,∴函数fx的单调递增区间是1,+∞,单调递减区间是0,1.2∵函数gx=xfx在区间1,2上是增函数,∴g′x=2x-k1+lnx≥0对x∈1,2恒成立,即k≤对x∈1,2恒成立.令hx=,则知h′x=0对x∈1,2恒成立,∴hx=在x∈1,2单调递增,hxh1=2,故k≤
2.18.已知函数fx=x2+xsinx+cosx.1若曲线y=fx在点a,fa处与直线y=b相切,求a与b的值.2若曲线y=fx与直线y=b有两个不同的交点,求b的取值范围.【解析】因为fx=x2+xsinx+cosx,所以f′x=x2+cosx.1因为曲线y=fx在点a,fa处与直线y=b相切,所以f′a=a2+cosa=0,fa=a2+asina+cosa=b,解得a=0,b=
1.2由f′x=0,得x=
0.fx和f′x的情况如下所以函数fx在区间-∞,0上单调递减,在区间0,+∞上单调递增,f0=1是函数的最小值.因为当|x|→+∞时,偶函数fx→+∞,所以b1时,曲线y=fx与直线y=b有且仅有两个交点.19.设函数fx=x-1ex-kx2k∈R.1当k=1时,求函数fx的单调区间;2当k∈,1]时,求函数fx在[0,k]上的最大值M.【解析】1当k=1时,fx=x-1ex-x2,f′x=ex+x-1ex-2x=xex-2.令f′x=0,得x1=0,x2=ln2,f′x<0时,0<x<ln2;当f′x>0时,x<0或x>ln
2.所以函数fx的单调增区间为-∞,0,ln2,+∞,单调减区间为0,ln2.2f′x=xex-2k,令f′x=0得x1=0,x2=ln2k,令gk=ln2k-k,则g′k=-1=>0,所以gk在,1]上递增,所以gk≤ln2-1=ln2-lne<0,从而ln2k<k,所以ln2k∈[0,k],所以当x∈0,ln2k时,f′x<0,当x∈ln2k,+∞时,f′x>0,所以M=max{f0,fk}=max{-1,k-1ek-k3}.令hk=k-1ek-k3+1,则h′k=kek-3k2=kek-3k,令φk=ek-3k,则φ′k=ek-3<e-3<0,所以φk在,1]上递减,而φ·φ1=-e-3<
0.所以存在x0∈,1]使得φx0=0,且当k∈,x0时,φk>0;当k∈x0,1时,φk<
0.所以hk在,x0上单调递增,在x0,1上单调递减.因为h=-+>0,h1=0,所以hk≥0在,1]上恒成立,当且仅当k=1时取“=”.综上,函数fx在[0,k]上的最大值M=k-1ek-k
3.20.已知函数fx=2x,x∈R.1若存在x∈[-1,1],使得fx+>2成立,求实数a的取值范围;2解关于x的不等式f2x+a-1fx>a;3若fx1+fx2=fx1fx2,fx1+fx2+fx3=fx1fx2fx3,求x3的最大值.【解析】1令t=2x∈[,2],即t+>2成立,a>-t2+2t,y=-t2+2t的最小值为0,当t=2时取得,∴a∈0,+∞.222x+a-12x>a,令t=2x∈0,+∞,t-1t+a>0,
①a=-1,∴t>0且t≠1,∴x≠
0.
②a<-1,∴t>-a或0<t<1,∴x>log2-a或x<
0.
③a>-1,t<-a或t>1,ia≥0,∴t>1,∴x>0;ii-1<a≤0,∴0<t<-a或t>1,∴x<log2-a或x>
0.3令a=2x1,b=2x2,c=2x3,则a+b=ab,a+b+c=abca,b,c>0,ab=a+b≥2⇒ab≥4,c===1+≤1+=,∴2x3≤,∴x3的最大值为log
2.21.已知函数fx=axlnx图象上点e,fe处的切线与直线y=2x平行其中e=
2.71828…,gx=x2-bx-
2.1求函数fx的解析式;2求函数fx在[t,t+2]t>0上的最小值;3对一切x∈0,e],3fx≥gx恒成立,求实数b的取值范围.【解析】1由点e,fe处的切线方程与直线2x-y=0平行,得该切线斜率为2,即f′e=
2.又∵f′x=alnx+1,令alne+1=2,a=1,∴fx=xlnx.2由1知f′x=lnx+1,显然当f′x=0时,x=e-1,当x∈0,时,f′x<0,∴函数fx在0,上单调递减.当x∈,+∞时,f′x>0,∴函数fx在,+∞上单调递增.
①当∈t,t+2时,fxmin=f=-;
②≤t<t+2时,函数fx在[t,t+2]上单调递增,∴fxmin=ft=tlnt;∴fxmin=3对一切x∈0,e,3fx≥gx恒成立,又gx=x2-bx-2,∴3xlnx≥x2-bx-2,即b≥x-3lnx-.设hx=x-3lnx-,x∈0,e],则h′x=1-+==,由h′x=0,得x=1或x=2,∴x∈0,1,h′x>0,hx单调递增,x∈1,2,h′x<0,hx单调递减,x∈2,e],h′x>0,hx单调递增,∴hx极大值=h1=-1,且he=e-3-2e-1<-1,∴hxmax=h1=-
1.∵对一切x∈0,e],3fx≥gx恒成立,∴b≥hxmax=-
1.故实数b的取值范围为[-1,+∞.x0,,+∞f′x-0+fx极小值x0,111,a-1a-1a-1,+∞f′x+0-0+fx↗↘↗x-∞,---,111,+∞f′x+0-0+fx↗极大值↘极小值↗x-1045fx1221x-∞,000,+∞f′x-0+fx↘1↗。