专十年高考江苏省数学试题分类解析汇编题2：函数与导数

2003年-2012年江苏省高考数学试题分类解析汇编专题2函数与导数

一、选择填空题

1.（江苏2003年5分）设函数的取值范围是【】A．（－1，1）B．（－1，＋∞）C．（－∞，－2）∪（0，＋∞）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）【答案】D【考点】分段函数已知函数值求自变量的范围问题，指数不等式的解法【分析】将变量按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并当≤0时，＞1，则＜－1；当＞0时，＞1则＞1，故的取值范围是（－∞，－1）∪（1，＋∞）故选D

2.（江苏2003年5分）函数的反函数为【】A．B．C．D．【答案】B【考点】反函数指数式与对数式的互化，求函数的值域【分析】将，看做方程解出，然后根据原函数的定义域x∈（1，+∞）求出原函数的值域，即为反函数的定义域由已知，解得又∵当x∈（1，+∞）时，，∴∴函数的反函数为；故选B

3.（江苏2003年5分）设，曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为到曲线对称轴距离的取值范围为【】A．B．C．D．【答案】B【考点】导数的几何意义，直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，点到直线的距离【分析】由导数的几何意义，得到的范围，再求出其到对称轴的范围∵过的切线的倾斜角的取值范围是∴∈[0，1]∴又∵点到曲线对称轴的距离，∴故选B

4.（江苏2004年5分）若函数的图象过两点－1，0和0，1，则【】A=2，=2B=，=2C=2，=1D=，=【答案】A【考点】对数函数的单调性与特殊点【分析】将两点代入即可得到答案∵函数y=log（x+）（＞0，≠1）的图象过两点（－1，0）和（0，1），∴log（－1+）=0，log（0+）=1∴=2，=2故选A

5.（江苏2004年5分）函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是【】A1，－1B1，－17C3，－17D9，－19【答案】C【考点】函数的最值及其几何意义【分析】用导研究函数在闭区间[－3，0]上的单调性，利用单调性求函数的最值∵，且在[－3，－1）上，在（－1，0]上∴函数在[－3，－1]上是增函数，在[－1，0]上是减函数又∵，∴函数在闭区间[－3，0]上的最大值是3，最小值分别为－17故选C

6.（江苏2005年5分）函数的反函数的解析表达式为【】A．B．C．D．【答案】A【考点】反函数【分析】由函数解析式解出自变量，再把、位置互换，即可得到反函数解析式∵∴的反函数为故选A

7.（江苏2005年4分）曲线在点（1，3）处的切线方程是▲【答案】【考点】导数的几何意义【分析】由题意得，∴即曲线在点（1，3）处切线的斜率，所以切线方程为，即

8.（江苏2005年4分）若，则=▲【答案】－1【考点】指数函数的单调性与特殊点【分析】先判断出

0.618所在的范围，必须与3有关系，再根据在定义域上是增函数，得出所在的区间，即能求出的值∵＜

0.618＜1，且函数在定义域上是增函数，∴，－1＜＜0，则=－

19.（江苏2005年4分）已知为常数，若，，则=▲【答案】2【考点】复合函数解析式的运用，待定系数法【分析】由，得，即比较系数得，解得或∴求得

10.（江苏2007年5分）设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有【】A．B．C．D．【答案】B【考点】指数函数的单调性与特殊点，函数图象的对称性【分析】由函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，为单调增函数，由对称性知当时，是单调减函数，其图象的特征是自变量离1的距离越远，其函数值越大∵，∴故选B

11.（江苏2007年5分）设是奇函数，则使的的取值范围是【】A．B．C．D．【答案】A【考点】奇函数的性质，对数函数的单调性【分析】∵是奇函数，∴得∴由得解得故选A

12.（江苏2007年5分）已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为【】A．B．C．D．【答案】C【考点】导数的运算【分析】先求导，由可得，因为对于任意实数都有，所以结合二次函数的图象可得且，从而；又因为，利用均值不等式即可求解，即的最小值为2故选C

13.（江苏2007年5分）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则　　▲　　.【答案】【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】先对函数求导，令导函数等于0求出=－2或=2然后根据导函数的正负判断函数的单调性，列出在区间[-3，3]上的单调性、导函数的正负的表格，从而可确定最值得到答案可知M=24，=－8，∴

14.（江苏2008年5分）设直线是曲线的一条切线，则实数的值是　　▲　　【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】要求实数的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可由求导得令得，∴切点坐标为（2，2）将（2，2）代入直线方程，得

15.（江苏2008年5分）设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为　　▲　　【答案】4【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类

①，

②，

③三种情形若，则不论取何值，显然成立；若即时，可化为，设，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而；若即时，可化为，在区间上单调递增，因此，从而综上所述，

16.（江苏2009年5分）函数的单调减区间为▲.学科网【答案】【考点】利用导数判断函数的单调性【分析】要求函数的单调减区间可先求出，并令其小于零得到关于的不等式求出解集即可∵，∴由得单调减区间为亦可填写闭区间或半开半闭区间

17.（江苏2009年5分）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为▲.学科网【答案】（－2，15）【考点】导数的几何意义【分析】∵，又∵点P在第二象限内，∴∴点P的坐标为（－2，15）

18.（江苏2009年5分）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为▲.学科网【答案】＜【考点】指数函数的单调性【分析】∵，∴函数在R上递减由得＜

19.（江苏2010年5分）设函数是偶函数，则实数=　　▲　　【答案】－1【考点】函数奇偶性的性质【分析】∵是偶函数，∴为奇函数∴，即∴=－

120.（江苏2010年5分）已知函数则满足不等式的的范围是　　▲　　【答案】【考点】分段函数的单调性【分析】分段讨论当时，，，则，∴无解当时，，，则，∴由得，1，解得∴此时的范围是（－1，0）当时，，，则，∴由得，，解得∴此时的范围是[0，）当时，，，则，∴由得1，无解综上所述，满足不等式的的范围是

21.（江苏2010年5分）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记则S的最小值是　　▲　　【答案】【考点】求闭区间上函数的最值【分析】设剪成的小正三角形的边长为，则令，则∴当时，有最大值，其倒数有最小值∴当，即时，S的最小值是本题还可以对函数S进行求导，令导函数等于0求出的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值

22.（江苏2011年5分）函数的单调增区间是　　▲　　_【答案】【考点】对数函数图象和性质【分析】由，得，所以函数的单调增区间是

23.（江苏2011年5分）已知实数，函数，若，则a的值为　　▲　　【答案】【考点】函数的概念，函数和方程的关系，含参数的分类讨论【分析】根据题意对分类当时，，，解之得，不合舍去；当时，，，解之得

14.（江苏2011年5分）在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为，则的最大值是　　▲　　【答案】【考点】指数运算，函数的导数的求法及导数的几何意义，导数用于求函数的最值【分析】设P点坐标为，由得，的方程为，令得，∴过点P的的垂线方程为，令得，∴对函数求导，得，∴在上单调增，在单调减，当时，函数的最大值为

15.（2012年江苏省5分）函数的定义域为▲．【答案】【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得

16.（2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为▲．【答案】9【考点】函数的值域，不等式的解集【解析】由值域为，当时有，即，∴∴解得，∵不等式的解集为，∴，解得

二、解答题

1.（江苏2003年12分）已知为正整数（Ⅰ）设，证明；（Ⅱ）设，对任意，证明【答案】证明（Ⅰ）∵，∴（Ⅱ）对函数求导数∴即对任意【考点】导数的运算，不等式的证明【分析】（I）利用复合函数的求导法则，先求出外函数与内函数的导数，再求它们的乘积（II）先利用复合函数的求导法则求出函数的导函数，再求用+1代替求出导函数值，易比较出两者的大小

2.（江苏2005年12分）已知，函数⑴当时，求使成立的的集合；（4分）⑵求函数在区间上的最小值（10分）【答案】解

（1）由题意，当时，由，解得或；当时，由，解得综上，所求解集为

（2）设此最小值为

①当时，在区间[1，2]上，，∵，，∴是区间[1，2]上的增函数，所以

②当时，在区间[1，2]上，，由知，

③当时，在区间[1，2]上，，∵若，在区间（1，2）上，，则是区间[1，2]上的增函数，∴若，则，当时，，则是区间[1，]上的增函数，当时，，则是区间[，2]上的减函数，∴当时，或当时，，故当时，，故综上所述，，所求函数的最小值【考点】函数与导数综合运用，分段函数的解析式求法【分析】

（1）把代入函数解析式，根据绝对值的符号分为两种情况，即和分别求解对应方程得根，再把所有的根用列举法表示出来

（2）根据区间[1，2]和绝对值内的式子进行分类讨论，即、和三种情况，分别求出解析式和它的导函数，利用导函数的符号判断在闭区间上的单调性，再求最小值；当时最小值可能取在区间的两端，再通过作差和分类进行比较两个函数值的大小，最后用分段函数表示函数的最小值

3.（江苏2006年14分）请您设计一个帐篷它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？【答案】解设OO1为m，则由题设可得正六棱锥底面边长为∴底面正六边形的面积为∴帐篷的体积为求导数，得令解得=－2不合题意，舍去，=2当12时，为增函数；当24时，，为减函数∴当=2时，最大答当OO1为2m时，帐篷的体积最大【考点】组合几何体的面积、体积问题，利用导数求闭区间上函数的最值【分析】设出顶点O到底面中心的距离，再求底面边长和底面面积，求出体积表达式，利用导数求出高为何时体积取得最大值

4.（江苏2006年16分）　设a为实数，设函数的最大值为ga（Ⅰ）设＝，求的取值范围，并把表示为的函数（4分）（Ⅱ）求（6分）（Ⅲ）试求满足的所有实数（6分）【答案】解（Ⅰ）对于，要使有意义，必须且，即∴，∴的取值范围是由得，∴（Ⅱ）由题意知为函数的最大值，注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论⑴当时，函数的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，∴2当时，，，∴3当时函数的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即则；若，即则；若，即则综上得（Ⅲ）情形1当时，此时，由解得，与矛盾情形2当时，，此时，由解得与矛盾情形3当时，，此时所以情形4当时，，此时，由解得，与矛盾情形5当时，，此时，由解得，与矛盾情形6当时，，此时由解得，由得综上所述，满足的所有实数为或【考点】函数最值的应用【分析】（I）由＝先求定义域，再求值域由转化（II）求的最大值，即求函数的最大值．严格按照二次函数求最值的方法进行（III）要求满足的所有实数，则必须应用的解析式，它是分段函数，必须分情况选择解析式进行求解

5.（江苏2007年16分）已知是不全为的实数，函数，，方程有实根，且的实数根都是的根，反之，的实数根都是的根，

（1）求的值；（3分）

（2）若，求的取值范围；（6分）

（3）若，求的取值范围（7分）【答案】解

（1）设是的根，那么，则是的根，则即，∴

（2）∵，∴，则==0的根也是的根（a）当，时，此时的根为0，而的根也是0，∴（b）当，时，的根为0，而的根也是0（c）当，时，的根为0和，而的根不可能为0和，∴必无实数根，∴，由解得∴综上所述，当时，；当时，

（3），∴，即的根为0和1∴=0必无实数根（a）当时，==，即函数在，恒成立又，∴，即∴（b）当时，==，即函数在，恒成立又，∴，即，而，∴，∴不可能小于0（c）则这时的根为一切实数，而，∴符合要求∴综上所述，【考点】函数与方程的综合运用【分析】

（1）不妨设为方程的一个根，即，则由题设得，从而由求解

（2）由

（1）知．所以有==0而方程最后按方程的类型，分（ⅰ），，（ⅱ），，（ⅲ），讨论

（3）由得，将函数的系数都用表示，分，，三种情况讨论

6.（江苏2008年16分）已知函数，（为常数）．函数定义为对每个给定的实数，

（1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）；

（2）设是两个实数，满足，且．若，求证函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）【答案】解

（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于（对所有实数）这又等价于，即对所有实数均成立.（*）由于的最大值为，故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件

（2）分两种情形讨论（i）当时，由

（1）知（对所有实数）则由及易知，再由的单调性可知，函数在区间上的单调增区间的长度为（参见示意图1）（ii）时，不妨设，则，于是当时，有，从而；当时，有从而；当时，，及，由方程解得图象交点的横坐标为⑴显然，这表明在与之间由⑴易知综上可知，在区间上，（参见示意图2）故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得⑵故由⑴、⑵得综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为【考点】指数函数综合题【分析】

（1）根据题意，先证充分性由的定义可知，对所有实数成立，等价于对所有实数成立，等价于，即对所有实数均成立，分析容易得证再证必要性对所有实数均成立等价于，即

（2）分两种情形讨论（i）当时，由中值定理及函数的单调性得到函数在区间上的单调增区间的长度；（ii）时，是两个实数，满足，且，根据图象和函数的单调性得到函数在区间上的单调增区间的长度

7.（江苏2009年16分）设为实数，函数.学科网1若，求的取值范围；学科网2求的最小值；学科网3设函数，直接写出不需给出演算步骤不等式的解集.【答案】解

（1）若，则当时，，∴；当时，无解∴的取值范围为

（2）当时，；当时，∴综上

（3）当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为【考点】二次函数的性质，一元二次不等式的解法【分析】

（1）再去绝对值求的取值范围

（2）分和两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，最后综合即可

（3）转化为，因为不等式的集由对应方程的根决定，所以再对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可时，由得，∴当时，；当时，△0得因此，讨论得当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为

8.（江苏2010年16分）设是定义在区间上的函数，其导函数为如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质1设函数，其中为实数i求证函数具有性质；ii求函数的单调区间2已知函数具有性质给定设为实数，，，且，若||||，求的取值范围【答案】解

（1）i证∵时，恒成立，∴函数具有性质ii设，当时，对于，∴，故此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为，而当时，，，故此时在区间上递减，同理得在区间上递增综上所述，当时，在区间上递增；当时，在上递减；在上递增2由题意，得，又对任意的都有0，∴对任意的都有，在上递增又，当时，，且，综上所述，所求的取值范围是（0，1）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】

（1）i先求出函数的导函数，然后将其配凑成这种形式，再说明对任意的∈（1，+∞）都有＞0，即可证明函数具有性质；ii设，分和两种情况讨论根据i令，讨论对称轴与2的大小，当时，对于，＞0，所以＞0，可得）在区间（1，+∞）上单调性，当时，图象开口向上，对称轴，可求出方程=0的两根，判定两根的范围，从而确定的符号，得到的符号，求出单调区间

（2）对求导，由已知条件，应用不等式的性质求解

9.（江苏2011年14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm.

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【答案】解设包装盒的高为，底面边长为由已知得

（1）∵，∴当时，S取得最大值

（2）∵，∴由得，舍或∴当时；当时，∴当时取得极大值，也是最大值，此时，即包装盒的高与底面边长的比值为【考点】建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用【分析】

（1）可设包装盒的高为，底面边长为，写出，与的关系式，并注明的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可

（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于的函数解析式，利用导数知识求出何时它取得的最大值即可

10.（江苏2011年16分）已知，是实数，函数和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致.

（1）设，若函数和在区间上单调性一致求实数的取值范围；

（2）设且，若函数和在以，为端点的开区间上单调性一致，求|－|的最大值.【答案】解由得

（1）由题意得，在上恒成立∵，∴∴，即在区间上恒成立∴，∴的取值范围是

（2）令，解得若，由得又∵，∴函数和在上不是单调性一致的∴当时，，∴函数和在上不是单调性一致的当时，，∴函数和在上是单调性一致的∴由题设得且，从而，于是∴，且当时等号成立又当时，，从而当时，，∴函数和在上单调性一致的∴的最大值为【考点】单调性概念，导数运算及应用，含参数不等式恒成立问题【分析】

（1）先求出函数和的导函数，再利用函数和在区间[－1，+∞）上单调性一致即在[-1，+∞）上恒成立，以及，来求实数的取值范围

（2）先求出的根，讨论的取值范围，得到再讨论和时两个单调性一致的情况，从而求得||的最大值

11.（2012年江苏省16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点已知是实数，1和是函数的两个极值点．

（1）求和的值；

（2）设函数的导函数，求的极值点；

（3）设，其中，求函数的零点个数．【答案】解

（1）由，得∵1和是函数的两个极值点，∴，，解得

（2）∵由

（1）得，，∴，解得∵当时，；当时，，∴是的极值点∵当或时，，∴不是的极值点∴的极值点是－2

（3）令，则先讨论关于的方程根的情况当时，由

（2）可知，的两个不同的根为I和一2，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2当时，∵，，∴一2－1，1，2都不是的根由

（1）知

①当时，，于是是单调增函数，从而此时在无实根

②当时．，于是是单调增函数又∵，，的图象不间断，∴在

（12）内有唯一实根同理，在（一2，一I）内有唯一实根

③当时，，于是是单调减两数又∵，，的图象不间断，∴在（一1，1）内有唯一实根因此，当时，有两个不同的根满足；当时有三个不同的根，满足现考虑函数的零点i）当时，有两个根，满足而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5个零点11）当时，有三个不同的根，满足而有三个不同的根，故有9个零点综上所述，当时，函数有5个零点；当时，函数有9个零点【考点】函数的概念和性质，导数的应用【解析】

（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可

（2）由

（1）得，，求出，令，求解讨论即可

（3）比较复杂，先分和讨论关于的方程根的情况；再考虑函数的零点Oyxafabfb图1Oyxafabfbx0y0p22p11图2第1页共28页。