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专题一函数概念与表示一.课标要求1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念;2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用;4.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解奇偶性的含义;5.学会运用函数图象理解和研究函数的性质要点精讲1.函数的概念设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应,那么就称f A→B为从集合A到集合B的一个函数记作y=fx,x∈A其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{fx|x∈A}叫做函数的值域注意
(1)“y=fx”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=gx”;
(2)函数符号“y=fx”中的fx表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x2.构成函数的三要素定义域、对应关系和值域
(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式
①自然型指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等);
②限制型指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误;
③实际型解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x的实际意义
(2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题
①配方法(将函数转化为二次函数);
②判别式法(将函数转化为二次方程);
③不等式法(运用不等式的各种性质);
④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等)3.两个函数的相等函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数4.区间
(1)区间的分类开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间;
(3)区间的数轴表示5.映射的概念一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f AB为从集合A到集合B的一个映射记作“f AB”函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映射注意
(1)这两个集合有先后顺序,A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述
(2)“都有唯一”什么意思?包含两层意思一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思6.常用的函数表示法
(1)解析法就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式;
(2)列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系;
(3)图象法就是用函数图象表示两个变量之间的关系7.分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数又称分段函数;8.复合函数若y=fu,u=gxxa,b,umn,那么y=f[gx]称为复合函数,u称为中间变量,它的取值范围是gx的值域四.典例解析题型一函数概念例.
(1)设函数
(2)设函数f(x)=,则满足f(x)=的x值为解
(1)这是分段函数与复合函数式的变换问题,需要反复进行数值代换,==
(2)当x∈(-∞,1,值域应为[,+∞],当x∈(1,+∞)时值域应为(0,+∞),∴y=,y∈(0,+∞),∴此时x∈(1,+∞),∴log81x=,x=81=3点评讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧(赋值、变量代换、换元等等),这都是函数学习的常用基本功变式题设()A.0 B.1C.2D.3解选项为C题型二判断两个函数是否相同例.试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1)f(x)=,g(x)=;
(2)f(x)=,g(x)=
(3)f(x)=,g(x)=()2n-1(n∈N*);
(4)f(x)=,g(x)=;
(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1解
(1)由于f(x)==|x|,g(x)==x,故它们的值域及对应法则都不相同,所以它们不是同一函数;
(2)由于函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而g(x)=的定义域为R,所以它们不是同一函数;
(3)由于当n∈N*时,2n±1为奇数,∴f(x)==x,g(x)=()2n-1=x,它们的定义域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一函数;
(4)由于函数f(x)=的定义域为{x|x≥0},而g(x)=的定义域为{x|x≤-1或x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数;
(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数点评对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时,y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数http://www.xjktyg.com/wxc/若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然
(1)第
(5)小题易错判断成它们是不同的函数,原因是对函数的概念理解不透http://www.xjktyg.com/wxc/要知道,在函数的定义域及对应法则f不变的条件下,自变量变换字母,以至变换成其他字母的表达式,这对于函数本身并无影响,比如f(x)=x2+1,f(t)=t2+1,f(u+1)=(u+1)2+1都可视为同一函数
(2)对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函数就不可能是同一函数题型三函数定义域问题例.求下述函数的定义域
(1);
(2)解
(1),解得函数定义域为.
(2),(先对a进行分类讨论,然后对k进行分类讨论),
①当a=0时,函数定义域为;
②当时,得,1)当时,函数定义域为,2)当时,函数定义域为,3)当时,函数定义域为;
③当时,得,1)当时,函数定义域为,2)当时,函数定义域为,3)当时,函数定义域为点评在这里只需要根据解析式有意义,列出不等式,但第
(2)小题的解析式中含有参数,要对参数的取值进行讨论,考察学生分类讨论的能力例.已知函数定义域为0,2,求下列函数的定义域1;2解
(1)由0<x<2,得点评本例不给出fx的解析式,即由fx的定义域求函数f[gx]的定义域http://www.xjktyg.com/wxc/关键在于理解复合函数的意义,用好换元法;求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系,求其定义域,后面还会涉及到变式题已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是()A.a>B.-12<a≤0C.-12<a<0D.a≤解由a=0或可得-12<a≤0,答案B题型四函数值域问题例.求下列函数的值域
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8);
(9)解
(1)(配方法),∴的值域为改题求函数,的值域解(利用函数的单调性)函数在上单调增,∴当时,原函数有最小值为;当时,原函数有最大值为∴函数,的值域为
(2)求复合函数的值域设(),则原函数可化为又∵,∴,故,∴的值域为
(3)(法一)反函数法的反函数为,其定义域为,∴原函数的值域为(法二)分离变量法,∵,∴,∴函数的值域为
(4)换元法(代数换元法)设,则,∴原函数可化为,∴,∴原函数值域为注总结型值域,变形或
(5)三角换元法∵,∴设,则∵,∴,∴,∴,∴原函数的值域为
(6)数形结合法,∴,∴函数值域为
(7)判别式法∵恒成立,∴函数的定义域为由得
①①当即时,
①即,∴
②当即时,∵时方程恒有实根,∴△,∴且,∴原函数的值域为
(8),∵,∴,∴,当且仅当时,即时等号成立∴,∴原函数的值域为
(9)(法一)方程法原函数可化为,∴(其中),∴,∴,∴,∴,∴原函数的值域为点评上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法,在现行的中学数学要求中,求值域要求不高,要求较高的是求函数的最大与最小值,在后面的复习中要作详尽的讨论题型五函数解析式例6.
(1)已知,求;
(2)已知,求;
(3)已知是一次函数,且满足,求;
(4)已知满足,求解
(1)∵,∴(或)
(2)令(),则,∴,
(3)设,则,∴,,∴
(4)
①,把
①中的换成,得
②,
①②得,∴点评第
(1)题用配凑法;第
(2)题用换元法;第
(3)题已知一次函数,可用待定系数法;第
(4)题用方程组法题型六课标创新题例10.
(1)设,其中a、b、c、d是常数如果求;
(2)若不等式对满足的所有m都成立,求x的取值范围解
(1)构造函数则故
(2)原不等式可化为构造函数,其图象是一条线段根据题意,只须即解得点评上面两个题目通过重新构造函数解决了实际问题,体现了函数的工具作用五.思维总结“函数”是数学中最重要的概念之一,学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表,实际上是求使给定式有意义的x的取值范围http://www.xjktyg.com/wxc/它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练1.求函数解析式的题型有
(1)已知函数类型,求函数的解析式待定系数法;
(2)已知求或已知求换元法、配凑法;
(3)已知函数图像,求函数解析式;
(4)满足某个等式,这个等式除外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组法;
(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等2.求函数定义域一般有三类问题
(1)给出函数解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;
(2)实际问题函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义;
(3)已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域
①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域;
②若已知的定义域,其复合函数的定义域应由解出3.求函数值域的各种方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类1求常见函数值域;2求由常见函数复合而成的函数的值域;3求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域
①直接法利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+ba0的定义域为R,值域为R;反比例函数的定义域为{x|x0},值域为{y|y0};二次函数的定义域为R,当a0时,值域为{};当a0时,值域为{}
②配方法转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如的形式;
③分式转化法(或改为“分离常数法”)
④换元法通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;
⑤三角有界法转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;
⑥基本不等式法转化成型如,利用平均值不等式公式来求值域;
⑦单调性法函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域
⑧数形结合根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。