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亿库教育网http://www.eku.cc专题复习数列、数列的极限、数学归纳法一.本周教学内容
1.复习内容专题复习“数列”、“数列的极限”、“数学归纳法”重点是
①数列的通项公式、前n项和公式的关系;用递推关系式表示数列;
②两种基本数列——等差数列与等比数列的定义,通项公式、前n项和公式、性质;
③极限的运算法则,公比q的绝对值小于1的无穷等比数列的所有项的和的定义以及计算公式;
④数学归纳法的涵义及其运用
2.要点综述
①数列与极限是初等数学与高等数学衔接和联系最紧密的内容之一,有关极限的概念及方法是微积分的重要工具因此,数列的极限就成为进一步学习高等数学的基础
②两种基本数列——等差数列、等比数列,是高考中的必考内容,要熟练掌握这两种数列的定义,通项公式、前n项和公式以及其性质
③数列的极限的思想方法要认真体会,为进一步学好高等数学作好充分的准备高考试题中对极限的考查逐渐由单一地求数列的极限,向结合等差、等比数列的计算求极限转化逐渐向结合数列求和方法求极限转化
④数学归纳法作为一种证明方法,在证明某些与自然数n有关的命题时,有其他证明方法所不具有的独特性和优越性,是一种非常重要的证明方法,应认真体会其要义并能正确使用它,在高考试题中,经常作为解答中的一个环节来考查,比如,给出一个数列的递推关系式,先求出其前三项,进而推测通项公式,最后再用数学归纳予以证明这其中,体现了数学中“归纳——猜想——证明”的由特殊到一般的思维方法
3.复习建议
①认真复习以下概念——等差、等比数列的定义,数列极限的定义,认真体会其内涵
②掌握几个重要公式——数列的前n项和Sn与通项an的关系式;等差数列、等比数列的通项公式,前n项和公式;无穷等比递缩数列的所有和S的计算公式
③掌握一个重要性质——设m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,
④掌握数列求和的几个方法——裂项求和法,错位相减求和法,以及公式法【典型例题】例
1.分析这是一道数列与函数综合的习题
①由条件“fx的图象过原点”,可以确定fx它们依次成等差数列的条件,可列出关于x的方程,解方程得x值;
②在
①的基础上只需证解例
2.分析例
3.分析例
4.分析欲求等差数列{an},等比数列{bn}的通项公式,只要求出{an}的公差d以及{bn}的首项b1的公比q即可因此,要用已知条件列出关于d、b
1、q的方程组解设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,首项为b1,依题意,有注本例是一道很注重基础知识、基本方法的习题,对于这类的习题应通过复习熟练掌握例
5.分析解注根据已知条件,确定数列的类型,对于进一步解题特别重要,因此要充分掌握已知条件中的各种有利因素,联想已学知识,发现解题的思路例
6.设{an}是一个由正数组成的数列,其前n项和为Sn,且对所有自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项(I)写出数列{an}的前3项;(II)求数列{an}的通项公式(要写出推理过程);解∴∴{an}是首项为a1=2,且公差d=4的等差数列从而其前三项依次为2,6,10例
7.(I)求数列{an}的通项公式;,求函数fn的最小值分析由此发现,{an}是公差为d=1的等差数列,进而可写出其通项公式先判断数列的类型,再求其通项公式的方法,做为一种基本方法要熟练掌握(II)所给函数f(n)是一个不连续函数,或称之为离散函数,这一点可通过自变量n的取值看出通过计算f
(1),f
(2),f
(3)的值会发现f(n)是一个单调递增函数,(当然这一点应予以严格证明),既如此,那么f(n)的最小值是f
(2),于是问题得解解∴函数fn是增函数,例
8.分析对n赋值后,比较几对an与bn的大小,可作出合理猜测,再用数学归纳法予以论证解下面用数学归纳法证明上述猜想
(1)当n=6时,显然不等式成立,∴n=6时,不等式anbn成立;
(2)假设当n=kk≥6时,不等式成立,即akbk,也即k+122k+4然数例
9.有一个下岗职工,一月初向银行贷款10000元作为启动资金开店,每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%,每月月底需交纳的所得税,为该月月利润的10%,每月的生活费为300元,余款作为资金全部投入下个月的经营,如此继续,问到这年年底这个职工有多少资金?若贷款年利息为25%,问这个职工还清银行贷款后纯收入多少元?分析这是一道由社会生活实践中抽象出的应用型数学习题将涉及到数列的有关知识,这种问题需要从起始月份逐月分析,寻找蕴含其中的数量关系,化归为某个数学模型来求解解依题意,第一个月月底余款为若设第n个月月底的余款为an元,第n+1个月月底余款为an+1元,这恰好是课本(《代数》(下册)复习参考题六的第34题)的一道习题的特例将数据代入该习题所得结论,有即到年底该职工共有资金
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