北京四中--高中数学高考综合复习专题十五向量的概念与运算

高中数学高考综合复习专题十五　　向量的概念与运算　　

一、知识网络　　

二、高考考点　　

1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线的基本定理的运用，多以选择题或填空题的形式出现　　

2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容，对此，高考的考点主要是　　

（1）向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用；　　

（2）向量共线的充要条件的应用；　　

（3）向量垂直的充要条件的应用；　　

（4）向量的夹角的计算与应用；　　

（5）向量的模的计算，关于向量的模的等式的变形与转化，关于向量的模的不等式的认知与转化　　

3、线段的定比分点线或平移问题　　

4、以向量为载体的三角求值或图象变换问题，以向量为载体的函数或解析几何问题（多以解答题的形式出现）　　

三、知识要点　　

（一）向量的概念　　

1、定义　　

（1）向量既有大小又有方向的量叫做向量　　

（2）向量的模向量的大小（即长度）叫做向量的模，记作　　特例长度为0的向量叫做零向量，记作；长度为1的向量叫做单位向量.　　

（3）平行向量（共线向量）　　一般定义方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.　　特殊规定与任一向量平行（即共线）.　　　　

（4）相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量　　零向量与零向量相等　　认知向量的平移具有“保值性”　　

2、向量的坐标表示　　

（1）定义在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，任作一个向量则由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得，将有序实数对（xy）叫做向量的坐标，记作；并将叫做向量的坐标表示　　

（2）认知相等的向量，其坐标也相同，反之成立　　

（二）向量的运算　　

1、向量的加法　　

2、向量的减法　　

3、实数与向量的积　　

（1）定义　　

（2）实数与向量的积的运算律　　

（3）平面向量的基本定理　　如果是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使，这两个不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底　　

（4）向量共线的充要条件　　（i）向量与非零向量共线有且只有一个实数使　　（ii）　　设　　则　　

4、向量的数量积（内积）　　

（1）定义　　（i）向量的夹角已知两个非零向量和，作　　叫做向量与的夹角　　（ii）设两个非零向量和的夹角为，则把数量叫做与的数量积（内积），记作，即　　并且规定零向量与任一向量的数量积为

0.　　

（2）推论　　设、都是非零向量，则　　（i）　　（ii）　　（iii）　　3坐标表示　　i　　　　设非零向量，则　　　　ii设　　4运算律（自己总结，认知）　　

四、经典例题　　例1．判断下列命题是否正确　　

（1）若的方向相同或相反；　　

（2）若　　

（3）若则A、B、C、D四点组成的图形为梯形；　　分析　　

（1）不正确　　　　∵不能比较方向　　

（2）不正确　　　　当时，虽然对任意，都有不一定平行　　

（3）不正确　　，故这里的已知条件也包含A、B、C、D四点共线的情形　　点评判断或证明向量的共线或垂直问题，务必要注意有关向量为零向量的情形，判断失误或解题出现疏露，多是零向量惹的祸　　例2．设点O为ΔABC所在平面内一点　　

（1）若，则O为ΔABC的（　　　　）　　A、外心　　　　　　B、内心　　　　　　C、垂心　　　　　　D、重心　　

（2）若，则为ΔABC的（　　　　）　　A、外心　　　　　　B、内心　　　　　　C、重心　　　　　　D、重心　　

（3）若动点P满足则点P的轨迹一定通过ΔABC的（　　）　　A、外心　　　　　　B、内心　　　　　　C、重心　　　　　　D、重心　　

（4）若动点P满足则点P轨迹一定通过ΔABC的（　　）　　A、外心　　　　　　B、内心　　　　　　C、重心　　　　　　D、重心　　分析　　

（1）借助向量加法分析已知条件　　以、为邻边作平行四边形OBDC，并设OD∩BC=E，则由平行四边形性质知，E为BC和OD中点　　　　

①　　　　且

②　　∴由

①、

②得　　∴A、O、E、D、四点共线　　

③　　且

④　　于是由

③、

④知O为ΔABC的重心，应选D　　2由　　同理可得OA⊥BCOC⊥AB　　于是可知，O为ΔABC的垂心，应选C　　

（3）由已知得　　

①　　令，则是上的单位向量，令，则是上的单位向量　　∴由

①得　　

②　　令则点Q在角A的平分线上　　　　

③　　又由

②知的　　与共线且同向（或）　　∴动点P在角A的平分线上　　∴点P的轨迹一定通过ΔABC的内心，应选B　　

（4）注意到的几何意义，　　　　　　　　=0　　又由已知的得　　　　　　∴动点P在BC边的高线上　　∴动点P的轨迹一定通过ΔABC的垂心，应选C　　点评品味各小题，从中参悟解题思路以及三角形的各心的向量特征　　例3　　

（1）成立的充分必要条件为（　　）　　A、　　　　　　　　　　　　B、　　C、　　　　　　　　　　　　D、　　

（2）已知A、B、C三点共线，O为该直线外一点，设且存在实数m使，则点A分所成的比为（　　）　　A、-　　　　　　　　B、2　　　　　　　　C、　　　　　　　　D、-2　　　　分析　　

（1）注意到不等式，当且仅当、反向或、中至少有一个为时等号成立，　　∴由得、反向或　　由此否定A、B、C，本题应选D　　

（2）注意到条件的复杂以及已知式变形方向的迷茫，故考虑从“目标”分析切入，主动去沟通“已知”，　　设　　则　　　　刻意变形，靠拢已知　　　　　　　　　　　　（目标的延伸）　　　　　　

①　　又由已知得　　（已知的变形或延伸）　　

②　　∴根据两向量相等的条件由

①、

②得　　于是可知，点A分所成的比，应选A　　点评　　（i）

（1）对任意向量、都有，其中，当且仅当同向或中至少有一个为时左边的等号成立；当且仅当反向或中至少有一个为时右边的等号成立；当且仅当中至少有一个为时，左右两等号同时成立　　（ii）对于

（2），“已知”与“目标”相互靠扰，只是切入点是从“已知”切入还是从“目标”切入，需要仔细分析　　例4设、分别是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，在同一条直线上有A、B、C三点，，求实数m、n的值　　解由题设知　　　　　　与共线　　

①　　又

②　　

②代入

①得　　7（2n-1）=n+22n+1　　　　n-32n-3=0　　　　当时代入

②得m=3　　当时代入

②得m=6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴m=6，n=3或m=3，　　点评不失时机地利用向量的坐标表示，是解题的基本技巧　　例5．设试求满足　　（这里O为原点）　　分析注意到的坐标即点D的坐标，可从设坐标，由（xy）切入，去建立关于x，y的方程组　　解设，则点D坐标为（xy）　　则由已知条件得　　　　　　x-2y+1=0　　　　　　

①　　由得x+4=3y-1　　x-3y+7=0　　　　　　　　　　　　

②　　于是将

①、

②联立，解得　　　　　　点评本题是对向量坐标的概念，向量的垂直与向量的平行的充要条件的综合应用，借此练习，可进一步认识与把握关于向量的概念与公式　　例6．设向量满足　　

（1）若，求与的夹角；　　

（2）若的值　　解　　

（1）设与的夹角为，则

①　　　　　　　　　　　　

②　　于是由

②代入

①得　　注意到∈[O]可得结果　　

（2）解法（着眼于对等各个击破）　　一方面由已知得　　　　　　

③　　又　　　　　　　　　　　　　　　　

④　　由

③、

④得　　　　　　

⑤　　注意到　　，当且仅当，同向或，中至少有一个为时等号成立　　由

⑤得与同向　　另一方面，又由知，与反向　　与的夹角为0°，与的夹角为180°，与的夹角为180°　　∴原式　　=3×1-1×4-3×4=-13　　解法二（着眼于寻求目标与已知的整体联系）　　　　　　　　　　∴由已知条件得　　　　解法三（从寻求目标局部的值切入）　　原式　　　　同理，　　　　　　点评解法二与解法三，均着眼于整体代入，解题过程简明，比解法一有明显优势但是，解法一中对已知数值的利用，却对今后的条件求值有着不可替代的潜在作用，条件求值中对已知数据的应用主要有以下三个方面　　

（1）利用数值本身（代入）；　　

（2）分别利用数值的绝对值和符号；　　

（3）利用有关数值的关系沟通有关元素间的联系（比如，由3+1=4，32+42=52沟通联系等）　　例7．已知的夹角为120°，且试求m，n及与的夹角　　解法一（利用内积的定义），设与的夹角为，　　由　　再　　

①　　　　

②　　再由　　由

①，

②得

③　　将

③代入

②得　　

④　　于是由

①，

③，

④得所求n=-4的夹角为30°或150°　　点评1本题已知条件繁多，头绪纷乱，更需要在解题时梳理思绪注意到所求m、n含在中，故在求出、的值之后，以的变形为主线展开求索　　变形

1.　　变形

2.　　变形

3.　　于是，整个解题过程既显得有条不紊，又感觉酣畅淋漓　　解法二（利用向量的坐标）　　设，与的夹角为，　　由已知得　　　　　　

①　　由

②　　又x12+y12=8　　　　

③　　　　x22+y22=4　　　　

④　　由

①，

③解得　　或　　由

②，

④解得或　　　　　　将上述，坐标分四次代入　　便解得n=-4，=30°或150°　　点评2本解法致力于求与的坐标，虽然解题过程仍然曲折，但思路明朗，更多几分胜算　　例8．设的夹角为，　　分析此题为以向量为载体的三角求值问题，因此，从化简，的坐标切入，向三角函数中常见的关系式转化　　解　　　　　　

①　　

②　　

③　　注意到这里　　由

②、

③得到

④　　　　

⑤　　于是由

①、

④得　　　　由

①、

⑤得　　　　　　　　解得

⑥　　因此由

⑥得　　点评在这里，利用实数与向量的乘法的法则，将表为　　从而为简化及的表达式以及简化的表达式奠定良好的基础　　

五、高考填题　　

（一）选择题、　　

1、（2005·湖南卷）P是ΔABC所在平面上一点，且，则P是ΔABC的（　　）　　A、外心　　　　B、内心　　　　C、重心　　　　　D、垂心　　分析　　由　　　　同理，AB⊥PCBC⊥PA　　点P为ΔABC的垂心，应选D　　

2、（2005•山东卷）已知向量，且则一定共线的三点是（　　）　　A．A、B、D　　　　　　B.A、B、C　　　　　C.B、C、D　　　　D.A、C、D　　分析　　利用两向量共线的充要条件来判定，从寻找所给向量的联系切入　　由题意得　　　　　　A、B、D三点共线，应选A　　

3、（2005•全国卷B）已知点A

（1），B（0，0），C（，0），设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有其中等于（　　）　　A、2　　　　　B、　　　　　C、-3　　　　　　　D、-　　分析　　从认知目标切入，由题设易知与反向，故0　　

①　　又由三角形内角平分线定理得　　即　　=3　　

②　　于是由

①、

②得　　=-3，应选C　　

4、（2005·北京卷）若，则向量与的夹角为（　　　　）　　A、30°　　　B、60°　　　C、120°　　　　D、150°　　分析　　令向量与的夹角为，则　　　　　　　　　　　　　　　　

①　　　　又由　　得　　　　　　　　　　　　

②　　于是将已知与

②代入

①得　　　　所得，应选C　　

5、（2005·福建）在ΔABC中，，，，则k的值是（　　）　　A、5　　　　　B、-5　　　　C、　　　　D、　　分析　　循着一般思路，欲求k的值，先寻找关于k的方程，可以通过解方程获取k的值，为此我们利用题设条件寻找等量关系切入　　由题设知，　　由此得（2，3）·（2-k2）=0　　2（2-k）+6=0　　解得k=5故应选A　　

6、（2005·重庆）设向量等于（　　　　）　　A、（1，1）　　　　　　B、（-4，-4）　　　C、-4　　　　D、（-2-2）　　分析　　循着向量的坐标表示与有关公式得　　　　　　∴原式=-4（1，1）=（-4，-4），应选B　　

7、（2005·重庆卷）已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为（　　）　　A、　　分析1　　（特征分析法）画出ΔABC及其中线AD，又将向量平移到则可见与成钝角，而选项中A、B为锐角，D为负角，故只能选C　　分析2　　（直接法）由题设D（5，2）　　　　　　所求两向量夹角应为）应选C　　

8、（2005·浙江）已知向量，满足对任意t∈R，则（　　）　　A、　　分析　　从已知不等式的等价变形切入，去认识所含向量，的关系　　由已知得　　整理得　　　　　　

①　　注意到

①对任意都成立　　　　即　　

②　　根据

②式检验选项，故选C　　点评关于向量的模的不等式，变形转化的基本手段是不等式两边平方，这是本题切入、转化的关键环节　　

（二）填空题　　

1、（2005·广东卷）已知向量　　分析　　注意到两向量平行的充要条件，　　由已知条件得　　2×6-3x=0，由此解得x=4　　

2、（2005·全国卷C）已知向量且A、B、C三点共线，则k=　　　　　　　　分析　　由A、B、C三点共线切入，向着向量的共线转化　　A、B、C三点共线　　向量、共线　　又　　　　由、共线的充要条件得　　7（-k-4）=5（k-4），解为　　

3、（2005·天津卷）已知=2，=4，与的夹角为，以，为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为　　　　　　　　分析　　根据向量加法与向量减法的几何意义又知，、分别表示上述平行四边形中两条对角线的长度　　注意到与的夹角为锐角，故此平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为　　　　

①　　又=4+16-2×2×4cos=12　　∴=2　　　　

②　　于是由

①、

②知所求为.　　

4、（2005·湖北卷）已知向量=-2，2，=5，k若不超过5，则k的取值范围为　　　　　.　　分析　　由已知得　　　　　　　　　　若≤5，则9+（k+2）2≤25　　∴由此解得-6≤k≤2，故应填[-6，2]　　

5、（2004·浙江卷）已知平面上三点A、B、C满足，则的值等于　　　　　　　　分析　　从认知ΔABC切入，由32+42＝52知，　　∴　　∴原式=　　=　　=　　=-25　　

6、（2005·全国卷A）ΔABC的外接圆圆心为0，两条边上的高的交点为H，=m++则实数m=　　　　　　分析　　由题设知，O为ΔABC的外心，即O是ΔABC的三边中垂线的交点，因此，以与为邻边作平行四边形OADC，则OADC为菱形，且+=　　∴⊥　　　　⊥+　　∴++的终点必在AC边的高线上　　　　　　

①　　同理，++的终点在AB边的高线上　　　　　　

②　　∴由

①、

②得++的终点为△ABC的垂心H.　　∴　　∴m=1　　点评从O为ΔABC的外心切入，认知向量，此乃求解本题的关键　　

三、解答题　　

1、（2005·山东卷）已知向量=cos、sin和=-sin，cos，，且=求cos（+）的值　　分析这是以向量为载体的三角求值问题，故首先要利用向量的有关概念与公式进行转化－化生为熟，进入三角函数求值的“似曾相识燕归来”的境界　　解由已知得　　　　　　由题设

①　　又

②　　由

①、

②得　　

③　　

④　　于是由

③、

④得　　　　点评首先运用向量的公式化生为熟，进而运用“方程思想”去求解的值，这是求解本题所运用的基本策略也是解决本类问题的基本思路　　

2、（2005·江西卷）　　已知向量，是否存在实数x∈[O]，使fx+f′x=0其中f′x是f（x）的导函数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明　　分析对于这样以平面向量为载体的　　问题，首先仍是运用向量的知识将其转化为熟悉的三角函数问题　　解　　　　　　　　=sinx+cosx　　∴fx=cosx-sinx　　若fx+fx=0，则2cosx=0即cosx=0　　由x∈[0，π]　　又由题意　　综上[0，π]内不存在fx+fx=0的x值　　点评函数式的变形要注意保持等价性，特别是在变形过程中不可改变函数的定义域，由

①到

②，需要附加的制约，以保证函数的定义域不发生变更.　　

3、（2004·福建卷）设　　1若　　

（2）若函数y=2sin2x的图象按向量平移后得到函数y=fx的图象，求实数m、n的值　　解　　

（1）由题设得　　　　　　　　由

①、

②得　　　　2函数y=2sin2x按向量平移后得到函数y=2sin2x-m+n的图象　　由题设　　　　即　　又　　∴　　点评函数y=fx的图象按向量平移后所得图象的函数解析式由y-k=fx-h确定，上面求解利用了这一结论。