北大附中高考数学专题复习数列、极限、数学归纳法练习

学科数学教学内容数列、极限、数学归纳法综合能力训练【综合能力训练】

一、选择题

1.数列{an}是等比数列，下列结论中正确的是（）A.an·an+10B.an·an+1·an+20C.an·an+20D.an·an+2·an+

402.在等比数列{an}中，a1=secθθ为锐角，且前n项和Sn满足Sn=，那么θ的取值范围是（）A.（0，）B.（0，）C.（0，）D.（0，）

3.已知数列{an}中，an=n∈N，则数列{an}的最大项是A.第12项B.第13项C.第12项或13项D.不存在

4.三个数成等差数列，如果将最小数乘2，最大数加上7，所得三数之积为1000，且成等比数列，则原等差数列的公差一定是（）A.8B.8或－15C.±8D.±

155.已知数列{an}:+++…++…+，…，那么数列{}的所有项的和为（）A.2B.4C.3D.

56.已知a、b∈R|a||b|，又，则a的取值范围是A.a1B.－1a1C.|a|1D.a1或－1a

07.+++…+的值是A.1B.C.D.

8.等差数列{an}中，a100a110，且|a10||a11|，Sn为其前n项之和，则A.S1S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零B.S1S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零C.S1S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零D.S1S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零

9.将自然数1，2，3，…，n，…按第k组含k个数的规则分组

（1），（2，3），（4，5，6），…，那么1996所在的组是（）A.第62组B.第63组C.第64组D.第65组

10.在等差数列中，前n项的和为Sn若Sm=2nSn=2mm、n∈N且m≠n，则公差d的值为（）A.－B.－C.－D.－

11.设数列{an}、{bn}都是公差不为0的等差数列，且=2，则等于A.1B.C.D.

12.a、b∈R，且|a|1|b|1，则无穷数列11+ba1+b+b2a2…1+b+b2+…+bn－1an－1…的和为（）A.B.C.D.

二、填空题

13.设zn=nn∈N，记Sn=|z2－z1|+|z3－z2|+…+|zn+1－zn|，则Sn=

14.在等比数列{an}中，a1=1|q|≠1，若am=a1·a2·a3·…·a10，则m=

15.数列{an}是公差为d≠0的等差数列，若a1a2是方程x2－a3x+a4=0的二根，则通项公式an=

16.fx－1=x+x2+x3+…+xnx≠01，设fx中x的系数为Snx3的系数为Tn，=

三、解答题

17.一个含有7项的数列，它的奇数位置的项顺次成等差数列，偶数位置的项顺次成等比数列，所有奇数位置的项之和减去第2项与第6项之积所得的差是42，又首项、末项、中间项之和为27，求第4项

18.设fnx=f{[f…fx]…}（n个f），

（1）求f2xf3x;

（2）猜想fnx，并证明你的结论

19.已知a0且a≠1，数列{an}是首项、公比都为a的等比数列，令bn=anlgann∈N

（1）当a=2时，求数列{bn}的前n项之和；

（2）当a=时，数列{bn}中从第几项开始每一项总小于它后面的项

20.已知函数fx=n∈N的最小值为an，最大值为bn，且cn=1+3anbn

（1）求数列{cn}的通项公式；

（2）求证－2－n≥

221.曲线C xy=1x0与直线l:y=x相交于A1作A1B1⊥l交x轴于B1，作B1A2∥l交曲线C于A2…依此类推

（1）求点A1，A2，A3和B1，B2，B3的坐标；

（2）猜想An的坐标，并加以证明；

（3）

22.设Tn为数列{an}前n项的和，Tn=（an－1）n∈N数列{bn}的通项公式为bn=4n+3（n∈N）

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若c∈{a1a2a3…an…}∩{b1b2b3…bn…}则c称为数列{an}{bn}的公共项，将数列{an}与{bn}的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{cn}证明数列{cn}的通项公式为cn=32n+1n∈N;

（3）设数列{cn}中的第n项是数列{bn}中的第m项，Bm为数列{bn}前m项的和；Dn为数列{cn}前n项的和，且An=Bm－Dn；求参考答案【综合能力训练】

1.C

2.D

3.C

4.C

5.B

6.D

7.C

8.C

9.B

10.A

11.C

12.D

13.1+

14.

4615.an=2n

16.－

17.解设这7个数为a1a2a3…，a7，则a1a3a5a7，成等差数列，a2a4a6成等比数列，依题意有解

①、

②得或

18.解

（1）f2x=f3x=2fnx=

19.解

（1）依题有an=an∴bn=nanlga∴Sn=1+2a+3a2+…+nan－1·alga可求得Sn=[1－1+n－na·an]当a=2时，Sn=2[1+n－1·2n]lg2

（2）令bk+1bk（k∈N），则bk+1－bk=k+1·（）k－1·lg－k·k·lg=k·－k·lg∵（）k0lg0，而bk+1bk∴－k0∴k6，故从第七项开始每一项总比它后面的项小

20.解

（1）整理已知得y－1x2+y+1x+y－n=0∴x∈R∴Δ≥0，即Δ=y+12－4y－1y－n≥0y≠1，∴3y2－4n+6y+4n－1≤

0.由此知anbn就是方程3y2－4n+6y+4n－1=0的两个根，由根与系数的关系得an·bn=（4n－1），∴cn=n2当y=1时，x=∵，其中只是k的一个子集，即不是所有x∈R都满足y=1，∴舍去

（2）先证－n≥2=1+=1+－=1+－=－n≥2再用同样方法证2－n≥

221.解

（1）A1（1，1），A2（+1，－1），A3（+，－）B1（2，0），B2（2，0），B3（2，0）

（2）An+－，证明略

（3）设AnanBnbn0由图A1（1，1），B1（2，0）∵a1=1b1=2且∴==，分子分母同乘以（+）+及==

122.解

（1）a1=a1－1，∴a1=3当n≥2时，an=Tn－Tn－1可求得=3∴{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴an=3n

（2）设{an}中的第k项与{bn}中的第r项相同，则3k=4r+3kr∈N，又3k+1=3·3k=3·4r+3=43r+2+1∴ak+1不是{bn}中的项，又∵∴是中的项，且又∵，故知c1=a3c2=a5c3=a7…cn=a2n+1∴{cn}的通项公式为cn=32n+1n∈N

（3）由

（2）知32n+1=4m+3m=32n－1而Bm==;Dn==;∴An=Bm－Dn=∴==。