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第三章动量守恒和能量守恒定律沈阳工业大学郭连权(教授)第三章动量守恒和能量守恒定律§1-1质点和质点系的动量定理
一、质点的动量定理
1、动量质点的质量与其速度的乘积称为质点的动量,记为(3-1)说明⑴是矢量,方向与相同⑵是瞬时量⑶是相对量⑷坐标和动量是描述物体状态的参量
2、冲量牛顿第二定律原始形式由此有积分(3-2)定义称为在时间内力对质点的冲量记为(3-3)说明⑴是矢量⑵是过程量⑶是力对时间的积累效应⑷的分量式∵(3-4)∴分量式(3—4)可写成(3-5)、、是在时间内、、平均值
3、质点的动量定理由上知(3-6)结论质点所受合力的冲量=质点动量的增量,称此为质点的动量定理说明⑴与同方向⑵分量式(3-7)⑶过程量可用状态量表示,使问题得到简化⑷成立条件惯性系⑸动量原理对碰撞问题很有用
二、质点系的动量定理概念系统指一组质点内力系统内质点间作用力外力系统外物体对系统内质点作用力设系统含个质点,第个质点的质量和速度分别为、,对于第个质点受合内力为,受合外力为,由牛顿第二定律有对上式求和,有因为内力是一对一对的作用力与反作用力组成,故,有(3-8)结论系统受的合外力等于系统动量的变化,这就是质点系的动量定理式(3-8)可表示如下(3-9)即(3-10)结论系统受合外力冲量等于系统动量的增量,这也是质点系动量定理的又一表述例3-1质量为的铁锤竖直落下,打在木桩上并停下设打击时间,打击前铁锤速率为,则在打击木桩的时间内,铁锤受平均和外力的大小为?解设竖直向下为正,由动量定理知强调动量定理中说的是合外力冲量=动量增量例3-2一物体受合力为(SI),做直线运动,试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少?解设物体沿+x方向运动,N·S(沿方向)N·S(沿方向)∵∴例3-3如图3-1,一弹性球,质量为kg,速率m/s,与墙壁碰撞后跳回设跳回时速率不变,碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为°,⑴求碰撞过程中小球受到的冲量⑵设碰撞时间为s,求碰撞过程中小球受到的平均冲力解⑴如图3-1所取坐标,动量定理为〈方法一〉用分量方程解N·S〈方法二〉用矢量图解如上图3-1所示∵∴故为等边三角形m/s沿方向∴N·S,沿方向⑵N注意此题按求困难(或求不出来)时,用公式求方便§3-2动量守恒定律由式(3-8)知,当系统受合外力为零时3-11即系统动量不随时间变化称此为动量守恒定律说明⑴动量守恒条件,惯性系⑵动量守恒是指系统的总动量守恒,而不是指个别物体的动量守恒⑶内力能改变系统动能而不能改变系统动量⑷时,若在某一方向上的分量为零,则在该方向上系统的动量分量守恒⑸动量守恒是指(不随时间变化),∴此时要求⑹动量守恒是自然界的普遍规律之一例3-4如图3-2,质量为的水银球,竖直地落到光滑的水平桌面上,分成质量相等的三等份,沿桌面运动其中两等份的速度分别为、,大小都为
0.30m/s相互垂直地分开,试求第三等份的速度解〈方法一〉用分量式法解研究对象小球受力情况只受向下的重力和向上的桌面施加的正压力,即在水平方向不受力,故水平方向动量守恒在水平面上如图3-2取坐标,有∴〈方法二〉用矢量法解∵及∴即即有图3-3可得m/s得强调要理解动量守恒条件例3-5如图3-4,在光滑的水平面上,有一质量为长为的小车,车上一端有一质量为的人,起初、均静止,若人从车一端走到另一端时,则人和车相对地面走过的距离为多少?解研究对象、为系统∵此系统在水平方向受合外力为零,∴在此方向动量守恒〈方法一〉(对地)即如图所取坐标,标量式为即积分(,在A处,,在B处)即得由图3-4知方法二〉标量式即积分
①可知
②由
①、
②得例3-6质量为的人手里拿着一个质量为的物体,此人用以与水平方向成角的速率向前跳去当他达到最高点时,他将物体以相对于人为的水平速率向后抛出,问由于人抛出物体,他跳跃的距离增加了多少?(假设人可视为质点)解如图3-5,设P为抛出物体后人达到的最高点,、分别为抛球前后跳跃的距离研究对象人、物体组成的系统,∵该系统在水平方向上合外力=0,∴在水平方向上系统的动量分量守恒设在P点,人抛球前、后相对地的速度分别为、,在P点抛球后球相对地速度为,有标量式即得强调,因为是与同时产生的,而人速度为时,还没产生§3-3碰撞
一、碰撞碰撞特点⑴碰撞时物体间相互作用内力很大,其它力相对比较可忽略即碰撞系统合外力=0故动量守恒⑵机械能
二、完全弹性碰撞
1、对心情况(一维)如图3-6,以与为系统,碰撞中(3-12)(3-14)����#0;����#0;����#0;��3-6#0;(,沿+x方向;反之,沿-x方向)解得(3-15)讨论⑴(交换速度)⑵
2、非对心情况设,且,可知,、系统动量及动能均守恒,即(3-16)(3-17)可知,、、是以为斜边的直角三角形,如图3-7§3-4动能定理
一、功定义力对质点所做的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积
1、恒力的功恒力力的大小和方向均不变如图3-8,功为3-18即3-19说明⑴为标量⑵功是过程量⑶功是相对量⑷功是力对空间的积累效应⑸作用力与反作用力的功其代数和不一定为零
2、变力的功设质点做曲线运动,如图3-9为变力,在第个位移元中,看作恒力,对物体做功为质点从过程中,对质点做的功为功的精确数值为即(3-20)讨论⑴恒力功⑵直线运动设,如图3-10,质点在中,功为⑶合力功设质点受个力,,,…,,合力功为
二、功率定义力在内对物体做功为,下式称为在时间间隔内的平均功率下式称为瞬时功率,即(3-21)
三、质点的动能定理
1、动能定义(3-20)式(3-20)中,、分别为物体质量和速率称为质点的动能说明⑴为标量;⑵为瞬时量;⑶为相对量
2、质点的动能定理设做曲线运动,如图3-11,合力为,在a、b二点速度分别为、在c点力为,位移为,由牛顿定律有(切线上)即即做如下积分可写成(3-21)结论合力对质点作的功等于质点动能的增量称此为质点的动能定理说明⑴⑵为过程量,为状态量,过程量用状态量之差来表示,简化了计算过程⑶动能定理成立的条件是惯性系⑷功是能量变化的量度例3-7如图3-12,篮球的位移为,与水平线成角,,球质量为,求重力的功解⑴研究对象球⑵重力为恒力⑶强调恒力功公式的使用.例3-8如图3-13,远离地面高处的物体质量为,由静止开始向地心方向落到地面,试求地球引力对做的功解c点例3-9力SI作用在的质点上物体沿x轴运动,时,求前二秒内对作的功解⑴研究对象⑵直线问题,沿+x轴方向〈方法一〉按作在此有∵∴做如下积分有∵即∴〈方法二〉用动能定理作例3-10质量为的物体作直线运动,受力与坐标关系如图3-14所示若时,,试求时,解在到过程中,外力功为由动能定理为即§3-5保守力与非保守力势能
一、万有引力、重力、弹性力的功及其特点
1、万有引力功及特点如图3-15,设质量为物体在质量为的引力场中运动,(不动),从中,引力功=?在任一点c处,(变力)(3-22)∵∴又∵∴(3-23)特点万有引力只与物体始末二位置有关,而与物体所经路程无关
2、重力功及特点如图3-16,质点经acb路径由,位移为,在地面附近重力可视为恒力,故功为(3-24)特点重力功只与物体始末二位置有关,而与其运动路径无关
3、弹性力功及特点如图3-17,称为弹簧振子,处于x处时,它受弹性力为从坐标过程中,弹性力做功为(3-25)特点弹性力功仅与物体始末位置有关而与过程无关如物体可以从处向左移,然后向右平移至处,也可以从处直接移到处但是,无论怎样从处移到处,弹性力做的功都是上述结果
二、保守力和非保守力
1、保守力与非保守力如果力对物体做的功只与物体始末二位置有关而与物体所经路径无关,则该力称为保守力,否则称为非保守力数学表达依次为(3-26)及(3-27)由上可知,重力、弹性力、万有引力均为保守力,而摩擦力、汽车的牵引力等都是非保守力
三、势能对任何保守力,则它的功都可以用相应的势能增量的负值来表示,即(3-28)结论保守力功=相应势能增量的负值[*从理论上讲,∵∴即是无旋的,∵∴与有对应关系,可定义为与相应的势能也就是说,保守力场中才能引进势能的概念可见,引进势能概念是有条件的注意势能是相对的,属于系统的](3-29)(3-30)(3-31)说明
(1)
(2)
(3)§3-6功能原理机械能守恒定律
一、质点系的动能定理系统中有个物体,第个物体受合外力为,合内力为,在某一过程中,合外力功为,合内力功为,由单个质点的动能定理,对第个质点有(3-32)对上式两边求和,有(3-33)(3-34)结论合外力功与合内力功之和等于系统动能的增量称此为系统的动能定理
二、功能原理作用在质点上的力可分为保守力和非保守力,把保守力的受力与施力者都划在系统中,则保守力就为内力了,因此,内力可分为保守内力和非保守内力,内力功可分为保守内力功和非保守内力功由质点动能定理有(3-35)结论合外力功+非保守内力功=系统机械能(动能+势能)的增量称此为功能原理说明⑴功能原理中,功不含有保守内力的功,而动能定理中含有保守内力的功⑵功是能量变化或转化的量度⑶能量是系统状态的单值函数
三、机械能守恒定律由功能原理知,当时,有(3-36)结论当时,系统机械能=常量,这为机械能守恒定律(注意守恒条件)例3-11如图3-18,在计算上抛物体最大高度时,有人列出了方程(不计空气阻力)列出方程时此人用了质点的动能定理、功能原理和机械能守恒定律中的那一个?解⑴动能定理为合力功=质点动能增量⑵功能原理为外力功+非保守内力功=系统机械能增量(取、地为系统)⑶机械能守恒定律∵∴即可见,此人用的是质点的动能定理例3-12如图3-19,质量为的物体,从四分之一圆槽A点静止开始下滑到B在B处速率为,槽半径为求从A→B过程中摩擦力做的功解〈方法一〉按功定义,在任一点c处,切线方向的牛顿第二定律方程为〈方法二〉用质点动能定理受三个力,,,由有即∴〈方法三〉用功能原理取、地为系统,∵无非保守内力∴,功为(不作功,及槽对地的力也不做功)由有即注意此题目机械能不守恒例3-13质量为、的二质点靠万有引力作用,起初相距,均静止它们运动到距离为时,它们速率各为多少?解以二质点为系统,则系统的动量及能量均守恒,即
①②由
①、
②解得PAGE16。