还剩6页未读,继续阅读
文本内容:
导数一.要点精讲1.导数的概念函数y=fx,如果自变量x在x0处有增量Δx,那么函数y相应地有增量=fx0+Δx-fx0,比值叫做函数y=fx在x0到x0+Δx之间的平均变化率,即=如果当Δx→0时,有极限,我们就说函数y=fx在点x0处可导,并把这个极限叫做fx在点x0处的导数,记作f’x0或y’|即fx0==说明1函数fx在点x0处可导,是指Δx→0时,有极限如果不存在极限,就说函数在点x0处不可导,或说无导数2Δx是自变量x在x0处的改变量,Δx≠0时,而Δy是函数值的改变量,可以是零2.导数的几何意义函数y=fx在点x0处的导数的几何意义是曲线y=fx在点px0fx0处的切线的斜率也就是说,曲线y=fx在点px0fx0处的切线的斜率是f’x0相应地,切线方程为y-y0=f’x0x-x03.常见函数的导出公式.1C’=0C为常数 2xn’=n∙xn-13ex’=ex4sinx’=cosx5cosx’=-sinx6lnx’=4.两个函数的和、差、积的求导法则法则1两个函数的和或差的导数等于这两个函数的导数的和或差,即u±v’=u’±v’法则2两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即u∙v’=u’∙v+u∙v’若C为常数,则Cu’=C’u+Cu’=Cu’即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数Cu’=Cu’法则3两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方=v0形如y=f[φx]的函数称为复合函数复合函数求导步骤分解——求导——回代法则y’|x=y’|φ·φ’|x5.导数的应用1一般地,设函数y=fx在某个区间可导,如果f’x0,则fx为增函数;如果f’x0,则fx为减函数;如果在某区间内恒有f’x=0,则fx为常数;2曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;3一般地,在区间[ab]上连续的函数fx在[ab]上必有最大值与最小值
①求函数fx在ab内的极值;
②求函数fx在区间端点的值ƒa、ƒb;
③将函数fx的各极值与ƒa、ƒb比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值二.典例解析题型1导数的概念例1.已知s=,1计算t从3秒到
3.1秒、
3.001秒、
3.0001秒….各段内平均速度;2求t=3秒是瞬时速度例2.求函数y=的导数题型2导数的基本运算例3.1求的导数;2求的导数;3求的导数;4求y=的导数;5求y=的导数例4.写出由下列函数复合而成的函数1y=cosu,u=1+x22y=lnu,u=lnx3y=e2x4y=eu,u=x2题型3导数的几何意义例5.1若曲线y=x4的一条切线与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=02过点-10作抛物线y=x2+x+1的切线,则其中一条切线为A2x+y+2=0B3x-y+3=0Cx+y+1=0Dx-y+1=0例6.1半径为r的圆的面积Sr=πr2周长Cr=2πr,若将r看作0+∞上的变量,则πr2’=2πr
①,
①式可以用语言叙述为圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为R的球,若将R看作0+∞上的变量,请你写出类似于
①的式子
②;
②式可以用语言叙述为2曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是题型4借助导数处理单调性、极值和最值例7.1对于R上可导的任意函数fx,若满足x-1f’x0,则必有A.f0+f22f1B.f0+f22f1C.f0+f22f1D.f0+f22f12函数fx的定义域为开区间ab,导函数f’x在ab内的图象如图所示,则函数fx在开区间ab内有极小值点 A.1个B.2个C.3个D.4个3已知函数I设,讨论y=fx的单调性;II若对任意x∈01恒有fx1,求a的取值范围例8.1在区间上的最大值是A-2B0C2D42设函数fx=2x3-3a-1x2+1,其中a≥1I求fx的单调区间;II讨论fx的极值题型5导数综合题例9.设函数fx=-x3+3x+2分别在x
1、x2处取得极小值、极大值xoy平面上点A、B的坐标分别为x1fx
1、x2fx2,该平面上动点P满足点Q是点P关于直线y=2x-4的对称点.求I求点A、B的坐标;II求动点Q的轨迹方程.例10.设函数fx=,x∈01],a∈R+1若fx在01]上是增函数,求a的取值范围;2求fx在01]上的最大值作业
一、选择题
1、函数是减函数的区间为ABCD
2.在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数A.3B.2C.1D.03.对于R上可导的任意函数fx,若满足x-10,则必有A.f0+f22f1B.f0+f22f1C.f0+f22f1D.f0+f22f
14.设,曲线在点处切处的倾斜角的取值范围为,则P到曲线对称轴距离的取值范围A.B.C.D.5.与直线的平行的抛物线的切线方程是A.B.C.D.6.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数,,当时,且则不等式的解集是A.B.C.D.7.函数fx=xx-1x-2·…·x-100在处的导数值为A.0B.C.200D.100!8.过点-1,0作抛物线的切线,则其中一条切线为ABCD9.设函数,、、是两两不等的常数,则.A.0B.-1C.2D.-
210.过曲线和交点的切线与坐标轴围成的在它们的三角形的面积是A.B..C.D.
二、填空题
1、曲线在点处的切线方程是________________;
2、函数,已知在时取得极值,则=_________;
3、设曲线在点1处的切线与直线平行则____________;
4、已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为_____________;
5、曲线在点处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为;
三、解答题
1.已知抛物线C1y=x2+2x和C y=-x2+a,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.Ⅰa取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程;Ⅱ若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.2.已知fx=x2+ax+bgx=x2+cx+d又f2x+1=4gx且,f5=30则求g43.已知向量=1,0,=0,1,函数的图象在轴上的截距为1,在=2处切线的方向向量为,并且函数当时取得极值1求的解析式;2求的单调递增区间;3求的极值
4.设a为实数函数Ⅰ求的极值.Ⅱ当a在什么范围内取值时曲线轴仅有一个交点.5.设,点P,0是函数的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.;Ⅰ用表示a,b,c;Ⅱ若函数在-1,3上单调递减,求的取值范围.
6.已知函数http://www.ks5u.com/1当时,求函数的单调增区间;2求函数在区间上的最小值;3设,若存在,使得成立,求实数的取值范围第8页,共8页。