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工科类本科数学基础课程教学基本要求修订稿
2004.10
一、前言数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学随着现代科学技术和数学科学的发展,“数量关系”和“空间形式”具备了更丰富的内涵和更广泛的外延现代数学内容更加丰富,方法更加综合,应用更加广泛数学不仅是一种工具,而且是一种思维模式不仅是一种知识,而且是一种素养;不仅是一种科学,而且是一种文化,能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志数学教育在培养高素质科学技术人才中具有其独特的、不可替代的重要作用高等学校工科类专业本科生的数学基础课程应包括微积分、线性代数与空间解析、概率论与数理统计,它们都是必修的重要基础理论课通过这些课程的学习,应使学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数与常微分方程、向量代数与空间解析几何、线性代数、概率论与数理统计等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能,为今后学习各类后继课程和进—步扩大数学知识而奠定必要的连续量、离散量和随机量方面的数学基础在传授知识的同时,要努力培养学生进行抽象思维和逻辑推理的理性思维能力,综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力,逐步培养学生的创新精神和创新能力课程的教学基本要求,是工科院校本科生学习本课程都应当达到的合格要求,其中带*号的条目是为某些相关专业选用的,也是对选用专业学生的基本要求各校根据本校的实际情况,在达到基本要求的基础上,还可以提出一些较高的或特殊的要求各门课程的内容按教学要求的不同,都分为两个层次文中用黑体字排印的内容,应使学生深入领会和掌握,并能熟练运用其中,概念、理论用“理解”一词表述,方法、运算用“掌握”一词表述非黑体字排印的内容,也是必不可少的,只是在教学要求上低于前者其中,概念、理论用“了解”一词表述,方法、运算用“会”或“了解”表述基本要求中所列出的各项内容与要求是制订教学计划、教学大纲和编写教材的重要依据,但不涉及课程体系的结构、教学内容的先后安排和编写教材的章节顺序
二、微积分课程教学基本要求一函数、极限、连续1.在中学已有函数知识的基础上,加深对函数概念的理解和函数性质奇偶性、单调性、周期性和有界性的了解2.理解复合函数的概念,了解反函数的概念3.会建立简单实际问题中的函数关系式4.理解极限的概念,了解极限的定义不要求学生做给出求或的习题5.掌握极限的有理运算法则,会用变量代换求某些简单复合函数的极限6.了解极限的性质唯一性、有界性、保号性和两个存在准则夹逼准则与单调有界准则,会用两个重要极限与求极限7.了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念,会用等价无穷小求极限8.理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念9.了解函数间断点的概念,会判别间断点的类型10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理二一元函数微分学及其应用1.理解导数的概念及其几何意义不要求学生做利用导数的定义研究抽象函数可导性的习题,了解函数的可导性与连续性之间的关系2.了解导数作为函数变化率的实际意义,会用导数表达科学技术中一些量的变化率3.掌握导数的有理运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数的导数公式4.理解微分的概念,了解微分概念中所包含的局部线性化思想,了解微分的有理运算法则和一阶微分形式不变性5.了解高阶导数的概念,掌握初等函数一阶、二阶导数的求法不要求学生求函数的n阶导数的一般表达式6.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数以及这两类函数中比较简单的二阶导数,会解一些简单实际问题中的相关变化率问题7.理解罗尔Rolle定理和拉格朗日Lagrange定理,了解柯西Cauchy定理对三个定理的分析证明不作要求,并且不要求学生掌握构造辅助函数证明相关问题的技巧,会用洛必达L’Hospital法则求不定式的极限8.了解泰勒Taylor定理以及用多项式逼近函数的思想对定理的分析证明以及利用泰勒定理证明相关问题不作要求9.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法会求解较简单的最大值与最小值的应用问题10.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会描绘一些简单函数的图形包括水平和铅直渐近线11.了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径12.了解求方程近似解的二分法和切线法的思想三一元函数积分法及其应用1.理解定积分的概念和几何意义对于利用定积分定义求定积分与求极限不作要求,了解定积分的性质和积分中值定理2.理解原函数与不定积分的概念,理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理,掌握牛顿Noewton一莱布尼兹Leibniz公式3.掌握不定积分的基本公式以及求不定积分、定积分的换元法与分部积分法淡化特殊积分技巧的训练,对于求有理函数积分的一般方法不作要求,对于—些简单有理函数、三角有理函数和无理函数的积分可作为两类积分法的例题作适当训练4.掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法微元法会建立某些简单几何量和物理量的积分表达式5.了解两类反常积分及其收敛性的概念6.了解定积分的近似计算法梯形法和抛物线法的思想四多元函数微分学及其应用
1.理解二元函数的概念,了解多元函数的概念
2.了解二元函数的极限与连续性的概念,了解有界闭区域上连续函数的性质3.理解二元函数偏导数与全微分的概念,了解全微分存在的必要条件与充分条件
4.了解一元向量值函数及其导数的概念与计算方法5.了解方向导数与梯度的概念及其计算方法
6.掌握复合函数一阶偏导数的求法,会求复合函数的二阶偏导数对于求抽象复合函数的二阶导数,只要求作简单训练7.会求隐函数包括由两个方程构成的方程组确定的隐函数的一阶偏导数对求隐函数的二阶偏导数不作要求8.了解曲线的切线和法平面以及曲面的切平面与法线,并会求出它们的方程9.理解二元函数极值与条件极值的概念,会求二元函数的极值,了解求条件极值的拉格朗日乘数法,会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题五多元函数积分学及其应用1.理解二重积分的概念,了解三重积分的概念,了解重积分的性质2.掌握二重积分的计算方法直角坐标、极坐标,会计算简单的三重积分直角坐标、柱面坐标,*球面坐标
3.理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系,会计算两类曲线积分对于空间曲线积分的计算只作简单训练4.掌握格林Green公式,会使用平面线积分与路径无关的条件,了解第 二类平面线积分与路径无关的物理意义5.了解两类曲面积分的概念及其计算方法6.了解高斯Gauss公式,斯托克斯Stokes公式斯托克斯公式的证明以及利用该公式计算空间曲线积分不作要求*7.了解场的基本概念,了解散度、旋度的概念和某些特殊场无源场、无旋场与调和场,会计算散度与旋度8.了解科学技术问题中建立重积分与曲线、曲面积分表达式的元素法微元法,会建立某些简单的几何量和物理量的积分表达式六无穷级数1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念,了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件2.了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p-级数的敛散性,掌握正项级数的比值审敛法3.了解交错级数的莱布尼兹定理,会估计交错级数的截断误差了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系4.了解函数项级数的收敛域与和函数的概念,掌握简单幂级数收敛区间的求法区间端点的收敛性不作要求了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质对求幂级数的和函数只要求作简单训练5.会利用e,sinx,cosx,1n1+x与的马克劳林Maclaurin展开式将一些简单的函数展开成幂级数6.了解利用将函数展开为幂级数进行近似计算的思想7.了解用三角函数逼近周期函数的思想了解函数展开为傅里叶Fourier级数的狄利克雷Dirichlet条件,会将定义在,和上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在0上的函数展开为傅里叶正弦或余弦级数七常微分方程1.了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念2.掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法3.会解齐次方程,并从中领会用变量代换求解微分方程的的思想
4.会用降阶法求下列三种类型的高阶可降阶微分方程5.理解二阶线性微分方程解的结构6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法7.会求自由项形如的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解,其中为实系数n次多项式,为实数8.会通过建立微分方程模型,解决一些简单的实际问题
三、线性代数与空间解析几何课程教学基本要求说明在此次修订中,考虑到线性代数与空间解析几何的内在联系,我们将线性代数与空间解析几何作为一门课程,但基本要求的具体内容还是相对独立的,并且不要求所有学校都遵循这一模式将空间解析几何与线性代数分开授课的学校可根据基本要求中的空间解析几何部分的要求即几何向量和空间曲线与曲面两章进行教学一行列式1.了解行列式的定义2.掌握行列式的性质和行列式按行列展开的方法3.会计算简单的n阶行列式二矩阵1.理解矩阵的概念2.了解单位矩阵,数量矩阵、对角矩阵,三角矩阵,对称矩阵以及它们的基本性质3.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规则4.理解逆矩阵的概念掌握矩阵可逆的充要条件,掌握可逆矩阵的性质5.掌握矩阵的初等变换及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法6.了解矩阵等价的概念7.理解矩阵秩的概念并掌握其求法三几何向量1.理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示2.掌握向量的运算线性运算、数量积、向量积,了解两个向量垂直、平行行的条件3.掌握单位向量方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法4.掌握平面的方程和直线的方程及其求法,会利用平面、直线的相互关系解决有关问题四n维向量与向量空间1.理解n维向量的概念2.理解向量组的线性组合、线性相关、线性无关的概念
3.掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法
4.了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念.会求向量组的极大线性无关组及秩5.了解n维向量空间、线性子空间、基底、维数、坐标等概念*6了解基变换公式和坐标变换公式,会求过渡矩阵
7.了解内积的概念,会用施密特Schmidt方法将线性无关的向量组标准正交化
8.了解标准正交基、正交矩阵的概念及它们的性质9.了解线性变换的概念及其矩阵表示五线性方程组
1.了解克莱姆Cramer法则2.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件3.理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解等概念5.掌握用行初等变换求线性方程的组通解的方法六矩阵的特征值与特征向量1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念,会求矩阵的特征值与特征向量2.了解相似矩阵的概念和性质3.了解矩阵对角化的充要条件和对角化的方法4.会求实对称矩阵的相似对角形矩阵七实二次型1.掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型的秩的概念2.了解合同变换和合同矩阵的概念3.了解实二次型的标准形式及其求法4.了解惯性定理对定理的证明不作要求和实二次型的规范形5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及它们的判别法八空间曲线与曲面1.理解二次曲面方程的概念,了解空间曲线方程的概念2.了解常用二次曲面的方程及其图形,了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程3.了解空间曲线的参数方程和一般方程4.了解曲面的交线在坐标平面上的投影*5.了解二次曲面的分类
四、概率论与数理统计课程教学基本要求一随机事件与概率1.了解随机现象,了解样本空间的概念理解随机事件的概念,掌握事件之间的关系与运算2.了解事件频率的概念,理解概率的统计定义了解概率的古典定义计算简单的古典概率3.理解概率的公理化定义和概率的基本性质,了解概率加法定理
4.了解条件概率的概念、概率的乘法定理了解全概率公式,会应用贝叶斯Bayes公式解决比较简单的问题5.理解事件的独立性概念6.了解贝努利Bernoulli概型和二项概率的计算方法二随机变量及其分布1.理解随机变量的概念,了解分布函数的概念和性质,会计算与随机变量相联系的事件的概率2.理解离散型随机变量及其分布律的概念,掌握0-1分布、二项分布和泊松Poisson分布3.理解连续型随机变量及其密度函数的概念,掌握正态分布了解均匀分布和指数分布4.会根据自变量的概率分布求简单随机变量函数的概率分布三多维随机变量及其分布1.了解多维随机变量的概念,了解二维随机变量的联合分布函数2.了解二维离散型随机变量的联合分布律的概念,理解二维连续型随机变量的联合密度函数的概念3.理解二维随机变量的边缘分布4.理解随机变量的独立性概念5.会求两个独立随机变量简单函数的分布和、差、商、极大、极小四随机变量的数字特征1.理解随机变量数学期望与方差的概念,掌握它们的性质与计算方法2.了解0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望与方差
3.了解矩、协方差、相关系数的概念及其性质,并会计算五大数定律和中心极限定理1.了解切比雪夫不等式、切比雪大大数定律和贝努利大数定律,了解贝努利大数定律与概率的统计定义、参数估计之间的关系*2.了解独立同分布的中心极限定理和棣莫弗Demoiver一拉普拉斯Laplace中心极限定理*3.了解棣莫弗Demoiver拉普拉斯Laplace中心极限定理在实际问题中的应用六数理统计的基本概念1.理解总体、个体、样本和统计量的概念2.了解直方图的作法3.理解样本均值、样本方差的概念,掌握根据数据计算样本均值、样本方差的方法4.了解分布,分布,分布的定义,并会查表计算分位数5.了解正态总体的某些常用抽样分布,如正态总体样本产生的标准正态分布、分布、t分布、F分布等七参数估计1.理解点估计的概念,了解矩估计法与极大似然估计法2.了解无偏性、有效性、一致性等估计量的评判标准3.理解区间估计的概念,会求单个正态总体均值与方差的置信区间,会求两个正态总体均值差与方差比的置信区间八假设检验1.理解假设检验的基本思想,掌握假设检验的基本步骤,了解假设检验可能产生的两类错误
2.了解单个和两个正态总体均值与方差的假设检验
3.了解总体分布假设的检验法,会用该方法进行分布拟合优度检验
五、建议1.在课程的教学过程中,应当积极开展对教学内容与课程体系、教学方法与教学手段的改革,认真总结经验,并将教学改革的成果逐步吸收到教学中来,不断提高教学质量要不断更新教学内容,逐步实现教学内容的现代化;要加强不同数学分支间的相互结合和相互渗透,进行课程和内容的重组要突出数学思想方法的教学,加强数学应用能力的培养,淡化运算技巧的训练;要尊重个性,发挥特长,探索现阶段因材施教的新方法、新模式要不断探索以学生为主体有利于调动学生自主学习积极性的启发式、讨论式、研究式的教学方法;要积极采用现代教育技术手段,使传统的教学手段与现代教学手段相互结合,取长补短2.各校应根据自身的实际情况,努力创造条件,尽快开设与理论教学相配套的数学实验课,使学生学会使用常用的数学软件,提高他们使用数学软件解决问题的意识和能力,逐步培养他们的数学建模能力已开设数学实验课的院校,可将基本要求中有关内容的理论教学结合实验课完成
3.应保证学生足够的课外学习时间,课内外学时比建议为
12.习题课是实现教学基本要求的一个重要环节,不应取消习题课学时应不少于总学时的1/6,以采用小班上课为宜,不宜用大班课代替4.考试不仅是检查教学效果的重要手段,而且对教与学有着重要的导向作用应积极进行考试改革,使考试的内容和形式不但有利于检查学生对基本知识和技能掌握的情况,而且有利于检测学生素质和能力的高低,逐步建立起科学的人才评判标准和教学质量评价体系5.随着现代科学技术的发展,很多工科类专业对线性代数和随机数学包括数理统计的要求越来越高希望各校在教学过程中不断总结经验,就如何改进和加强这两门课程的教学提出意见和建议福州大学高等数学教学大纲(四年制用)(170—200学时)二00四年八月本教学大纲根据教育部非数学类数学课程教学指导委员会2004年制定的数学课程基本要求而制定函数、极限、连续函数函数的定义显函数与隐函数函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性反函数及其图形基本初等函数复合函数初等函数*双曲函数与反双曲函数极限数列极限的ε-N定义数列收敛的条件(必要条件——有界性;充分条件——单调有界(叙述);*充要条件——柯西(Cauchy)审敛原理(叙述)函数极限的定义函数极限的ε-δ定义函数的左右极限不等式取极限无穷小与无穷大的定义、无穷小与函数极限的关系极限的四则运算两个重要极限 无穷小的比较等价无穷小函数的连续性函数连续的定义间断点连续函数的和、差、积、商的连续性连续函数的反函数的连续性(不证)连续函数的复合函数的连续性(不证)基本初等函数和初等函数的连续性闭区间上连续函数的最大值、最小值定理及介值定理等的叙述一元函数的微分学导数与微分导数的定义导数的几何意义平面曲线的切线与法线函数的可导性与连续性之间的关系函数的和、差、积、商的导数复合函数的导数反函数的导数基本初等函数的导数公式初等函数的求导问题高阶导数隐函数的导数对数求导法由参数方程所给定的函数的导数微分的定义微分的几何意义微分的运算法则微分形式的不变性微分在近似计算及误差估计中的应用**极坐标下曲线的切线与切点的连线的夹角中值定理与导数的应用罗尔(Rolle)定理拉格朗日(Lagrange)定理柯西定理罗必达(L′Hospital)法则带有拉格朗日余项的泰勒(Taylor)公式函数增减性的判定法函数的极值及其求法最大值、最小值问题函数图形的凹向及其判定法拐点及其求法水平与垂直渐近线函数图形的描绘举例弧微分曲率的定义及其计算公式曲率圆与曲率半径、曲率中心**曲率中心的计算公式**渐伸线与渐屈线用牛顿切线法求方程的近似解一元函数的积分学不定积分原函数与不定积分的定义不定积分的性质基本积分公式换元积分法分部积分法有理函数、三角函数的有理式及简单的无理函数的积分举例积分表的用法定积分及其应用定积分的定义定积分存在定理的叙述定积分的性质定积分的中值定理定积分作为变上限的函数极其求导定理牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式定积分的换元法与分部积分法定积分的近似积分法(矩形法、梯形法、抛物线法)两种广义积分的定义**两种广义积分的审敛法,**Γ函数及其递推公式定积分在几何学中的应用(面积、弧长、已知平行截面面积求体积等)定积分在物理学中的应用举例向量代数与空间解析几何向量代数向量概念向量的加减法向量与数量的乘法投影定理空间直角坐标系向量的分解与向量的坐标向量的模单位向量方向余弦与方向数向径两点间的距离向量的数量积两向量的夹角两向量平行与垂直的条件*混合积平面与直线平面的方程(点法式、一般式、截距式)直线的方程(参数式、对称式、一般式)夹角(平面与平面、平面与直线、直线与直线)平行与垂直的条件(平面与平面、平面与直线、直线与直线)曲面与空间曲线曲面方程的概念球面方程旋转曲面(包括圆锥面)母线平行于坐标轴的柱面方程空间曲线作为两曲面的交线空间曲线的参数方程螺旋线空间曲线在坐标面上的投影二次曲面椭球面、抛物面、双曲面多元函数的微分学多元函数多元函数的定义点函数的概念区域二元函数的几何表示二元函数的极限与连续性有界闭域上连续函数性质的叙述偏导数与全微分偏导数的定义二元函数偏导数的几何意义高阶偏导数混合偏导数可以交换求导次序的条件(叙述)全微分的定义全微分存在的充分条件二元函数泰勒公式的叙述*全微分在近似计算中的应用多元复合函数的求导法则全导数隐函数的求导公式方向导数**梯度偏导数的应用空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线多元函数的极值及其求法最大值、最小值问题条件极值拉格朗日乘数法多元函数的积分学二重积分二重积分的定义二重积分存在定理的叙述二重积分的性质二重积分的计算法(包括极坐标)二重积分在几何学中的应用(立体体积、曲面面积)二重积分在物理学中的应用举例三重积分三重积分的定义及其性质三重积分的计算法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)三重积分的应用举例曲线积分曲线积分(对弧长及对坐标)的定义曲线积分的性质曲线积分的计算法曲线积分的应用举例曲面积分曲面积分(对面积及坐标)的定义曲面积分的性质曲面积分的计算法曲面积分的应用举例各类积分的联系平面曲线积分与二重积分的联系——格林(Green)公式曲面积分与三重积分的联系——高斯(Gauss)公式*空间曲线与曲面积分的联系——斯托克斯(Stokes)公式(不证)平面曲线积分与路径无关的条件二元函数的全微分求积**散度**旋度无穷级数常数项级数无穷级数及其收敛与发散的定义无穷级数的基本性质级数收敛的必要条件*柯西审敛原理几何级数调和级数P级数正项级数的比较审敛法和比值审敛法交错级数莱布尼兹定理绝对收敛和条件收敛幂级数幂级数概念阿贝尔(Abel)定理幂级数的收敛半径与收敛区间幂级数的四则运算、和的连续性、逐项积分与逐项微分泰勒级数函数展开为幂级数的唯一性函数(、sinx、cosx、ln1+x、1+x等)的幂级数展开式幂级数在近似计算中的应用举例欧拉(Euler)公式*函数项级数函数项级数的一般概念一致收敛及一致收敛级数的基本性质傅立叶(Fourier)级数三角级数概念三角函数系及其正交性函数的傅立叶系数函数的傅立叶级数函数展开为傅立叶级数的充分条件(叙述)奇函数和偶函数的傅立叶级数函数展开为正弦级数或余弦级数任意区间上的傅立叶级数常微分方程常微分方程的一般概念微分方程的定义阶解通解初始条件特解一阶微分方程变量可分离的方程线性方程用变量置换法解一阶方程举例全微分方程可降阶的高阶微分方程、、线性微分方程线性微分方程的解的结构二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程**欧拉方程*常系数线性微分方程组解法举例附高等数学教学大纲说明书
1、课程的作用和任务高等数学在高等工科院校的教学计划中是一门重要的基础理论课,为培养适应四个现代化需要的高级工程技术人才服务通过这门课程的学习,要使学生系统地获得微积分(包括向量代数与空间解析几何)与常微分方程的基本知识,必要的基础理论和常用的运算方法,并注意培养学生比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力,从而使学生受到数学分析方法和运用这些方法解决几何、力学和物理等实际问题的初步训练,为学习后继课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础
2、课程的基本要求1.正确理解下列基本概念和它们之间存在的内在联系函数,极限,无穷小,连续,导数,微分,不定积分,定积分,偏导数,全微分,重积分,曲线积分,曲面积分,级数的敛散性,微分方程2.正确理解下列基本定理和公式并能正确应用极限的主要定理,拉格朗日定理,泰勒定理,定积分作为变上限的函数及其求导定理,牛顿-莱布尼兹公式,格林公式3.牢固掌握下列公式基本初等函数的导数公式,基本积分公式,函数、、sinx和cosx的幂级数展开式4.熟练运用下列法则和方法函数的和、差、积、商的求导法则与复合函数的求导法则,换元积分法和分部积分法,二重积分的计算法,变量可分离的一阶微分方程的解法,一阶线性微分方程和二阶常系数微分方程的解法5.会运用微积分和常微分方程的方法解决一些简单的几何、力学和物理的问题
3、课程内容的重点、深度和广度函数、极限、连续重点函数的概念极限的概念无穷小极限的四则运算函数的连续性对于中学学过的有关函数的内容,只须加以复习提高,不必再作详细讲解但对于函数符号fx的意义和用法,应有足够的说明和训练还应适当介绍分段函数,举例说明建立函数式的方法关于极限的定义只用“”、“”语言来描述不定式求极限的训练主要放在罗必塔法则中进行,这里不宜作过多过难的练习,对于=只须证明为正整数的情况基本初等函数的连续性可以不要证振荡间断点可以不讲对于连续函数在闭区间上的性质,只要求几何说明导数与微分重点导数的概念导数的几何意义初等函数导数的求法微分的概念正确理解导数作为变化率的概念,微分是函数增量的线性主部的概念,以及函数局部线性化的思想熟练掌握初等函数的求导法,明确初等函数的导数仍是初等函数这一事实中值定理和导数的应用重点拉格朗日定理泰勒公式罗必塔法则函数增减性的判定法函数的极值及其求法最大值、最小值问题三个中值定理采用分析证明或几何说明可以灵活掌握极值点的判定限于用一阶导数与二阶导数对于罗必塔法则,可只证x→a时的型不定积分重点原函数与不定积分的概念不定积分的性质基本积分公式换元积分法分部积分法在讲有理函数的积分时,对于化有理真分式为部分分式的问题,可以只提出结论而不加证明,但须通过例题把方法讲清楚,在适当的地方介绍一下递推公式定积分及其应用重点定积分的概念定积分的中值定理定积分作为变上限的函数及其求导定理牛顿—莱布尼兹公式要求学生学会正确使用定积分的换元积分法在定积分的应用中,应把重点放在培养学生运用微元分析法建立积分表达式的能力上,定积分在物理学中应用的具体例子可根据需要选择向量代数与空间解析几何重点向量概念向量的坐标向量的数量积向量的向量积平面的点法式方程、直线的对称式方程、曲面方程的概念空间曲线的参数方程空间解析几何应以向量为主要工具,注意培养学生对向量的运用和空间图形的想象能力要求熟悉标准二次曲面的方程与图形、标准二次曲面以及它们所围的简单立体关于圆锥面,可以只讲顶点在原点且以坐标轴为轴的圆锥面关于旋转曲面可以只讲以坐标轴为旋转轴的旋转曲面多元函数的微分学重点多元函数的概念偏导数与全微分概念多元复合函数的求导法则多元函数极值存在的充分条件(叙而不证)由方程组确定的隐函数的求导公式可以不讲重积分重点二重积分概念二重积分计算法三重积分的计算法二重积分化为累次积分的公式,以及二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式,都只作几何说明,不作分析证明三重积分与此类同重积分的应用着重于运用微元分析法,具体例子可以根据需要选择曲线积分于曲面积分重点曲线积分的概念及其计算法格林公式曲线积分与路径无关的条件曲面积分的概念及其计算法曲线积分要讲平面曲线与空间曲线两种情况,但以平面曲线为主梯度、散度、旋度可供不单独学场论的专业选用无穷级数重点无穷级数收敛和发散的概念正项级数的比值审敛法级数的绝对收敛和收敛的关系幂级数的收敛半径与收敛区间泰勒级数函数的幂级数展开式函数的傅立叶级数函数展开为正弦级数或余弦级数绝对收敛和条件收敛包括它们的概念,级数的绝对收敛与收敛的关系,绝对收敛级数的性质可灵活掌握函数幂级数的四则运算、和的连续性、逐项微分于逐项积分均不证常微分方程重点微分方程的概念解通解特解变量可分离的微分方程一阶线性微分方程二阶线性常系数微分方程变量置换法解一阶方程可用齐次方程和贝努力方程为例,着重说明通过变量置换求解方程的思想线性微分方程的解的结构包括齐次与非齐次两种情况,对于非齐次方程要讲明自由项为两项之和时,其特解等于自由项为各项时的特解之和关于二阶常系数非齐次线性方程,包括自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与乘积几种微分方程的应用,可穿插在有关内容中讲
4、学时分配的建议教学环节课程内容讲课习题课小计函数、极限、连续一元函数微分学一元函数积分学常微分方程向量代数与空间解析几何多元函数的微分学重积分曲线积分与曲面积分无穷级数、机动16~1822~2418~2014~1616~1818~2012~1414~1616~188244222~42~42~42018~2024~2822~2416~1818~2020~2414~1816~2018~208共计154—17222~28176-200本大纲适用于高等工业学校本科四年制的各类专业,教学时数为170---200,课内外学时比例为12大纲中有*号的内容已计入高限学时,可灵活选用带有**的内容未计入学时,供某些有特殊需要的专业选用为适应少数的特殊情况,下列内容可供选择三重积分、曲线积分、曲面积分、傅立叶级数线性代数课程教学基本要求(学时数范围36—45学时)线性代数是讨论有限维空间线性理论的课程,它具有较强的抽象性与逻辑性,是高等工业学校教学计划中的一门基础理论课由于线性问题广泛存在于技术科学的各个领域,某些非线性问题在一定条件,可以转化为线性问题因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科,尤其在计算机日益普及的今天,该课程的地位与作用更显得重要通过教学,使学生掌握该课程的基本理论与方法,培养解决实际问题的能力,并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础本课程的内容按教学要求的不同,分两个层次文中用黑体字排印的属较高要求,必须使学生深入理解,牢固掌握,熟练应用其中,概念理论用“理解”一词表述,方法、运算用“掌握”一词表述非黑体字排印的,也是教学中必不可少的,只是在要求上低于前者其中,概念、理论用“了解”一词表述,方法、运算用“会”或“了解”表述
1、行列式1.了解行列式的定义2.掌握行列式的性质和行列式按行(列)展开的方法3.会计算简单的n阶行列式
2、矩阵1.理解矩阵概念2.了解单位矩阵,数量矩阵、对角矩阵,三角矩阵对称矩阵及其基本性质3.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律4.理解逆矩阵的概念掌握矩阵可逆的充要条件与矩阵求逆的方法5.掌握矩阵的初等变换及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法6.理解矩阵秩的概念并掌握其求法7.了解矩阵等价的概念
3、向量1.理解n维向量的概念2.理解向量组线性相关、线性无关的定义3.了解有关向量组线性相关、线性无关的重要结论4.了解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念
5.了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念*6.了解基变换公式和坐标变换公式,会求过渡矩阵7.了解内积的概念,会用施密特Schmidt方法将线性无关的向量组标准正交化8.了解标准正交基、正交矩阵的概念及它们的性质9.了解线性变换的概念及其矩阵表示
4、线性方程组1.掌握克莱姆(Cramer)法则2.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件3.理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念4.理解非齐次线性方程组的解的结构及通解等概念5.掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法
5、矩阵的特征值与特征向量1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念,会求矩阵的特征值与特征向量2.了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充分条件,会求实对称矩阵的相似对角形矩阵3.了解正交矩阵概念及性质
6、二次型1.掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型的秩的概念2.了解合同变换和合同矩阵的概念3.了解实二次型的标准形式及其求法4.了解惯性定理对定理的证明不作要求和实二次型的规范形5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及它们的判别法福州大学理工科《线性代数》教学大纲
一、行列式行列式的概念和基本性质 行列式按行(列)展开定理
二、矩阵矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵等价 分块矩阵及其运算
三、向量 向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间以及相关概念n维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质
四、线性方程组 线性方程组的克莱姆又译克拉默(Cramer)法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解
五、矩阵的特征值和特征向量 矩阵的特征值和特征向量的概念及性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵
六、二次型二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性 概率论与数理统计教学大纲(学时数54)
1、课程性质与设置目的、基本要求一课程性质与设置目的概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的数学学科,是高等学校教学计划中的一门重要的公共基础课概率论从数量上研究随机现象的统计规律性,它是本课程的理论基础,数理统计研究处理随机性数据,建立有效的统计方法,进行统计推断,通过本课程的学习,应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念,了解它的基本理论和方法,从而使学生处理掌握处理随机现象的基本思想和方法,培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力二本课程的基本要求本课程概率论部分包括随机事件与概率、随机变量与概率分布、随机向量、随机变量的数字特征、大数定律与极限定理初步;数理统计部分包括样本及抽样分布、参数估计、假设检验等内容通过本课程的学习,对学生有下列基本要求1.理解概率论的基本概念,掌握随机事件与概率的性质与运算,掌握随机变量的概率分布的性质与运算掌握随机变量的期望与方差的性质与运算,熟记常用概率分布的期望与方差2.理解数理统计的基本概论,掌握参数点估计与区间估计的基本方法,掌握假设检验的基本步骤与方法3.不仅为后继课程中用到的概率论与数理统计知识作好准备,而且能应用本课程介绍的统计方法解决一些简单的实际问题,并为更深入学习概率论与数理统计知识打好基础三本课程与相关课程的联系1.高等数学与线性代数是本课程的先修课程高等数学课程中,本课程主要要用到导数、不定积分与定积分、偏导数、二重积分与级数等本课程还用到排列组合的知识2.本课程为工科各专业中与随机性数学有关的后继课程准备必要的理论知识
2、课程内容与考核目标第1章随机事件与概率一教学知识点1.随机事件随机试验与随机事件,事件的关系与运算2.概率概率的定义与性质,古典概型,利用概率性质计算古典概率,几何概型3.条件概率与事件的独立性条件概率与乘法公式,全概率公式与贝叶斯Bayes公式,事件的独立性,贝努利Bemoulli概型二本章教学要求了解随机试验与随机事件的概念,理解并掌握事件的关系与运算;理解概率的定义与基本性质;了解古典概型的定义,会计算简单的古典概率;会用概率性质计算古典概率;理解条件概率的定义,掌握概率乘法公式;了解全概率公式与与贝叶斯公式并会进行简单计算;理解事件的独立性的概念,熟练掌握相互独立事件的性质及其有关概率计算;掌握贝努利概型的计算方法本章的重点是事件的关系与运算;概率的基本性质及计算;事件的独立性及有关概率计算三考核要求1.随机事件
1.1随机试验与随机事件,要求达到领会层次理解随机试验、随机事件的概念
1.2事件的关系与运算,要求达到简单应用层次理解事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件、事件的差概念,掌握和事件、积事件、对立事件的基本运算规律2.概率
2.1概率的定义与性质,要求达到领会层次正确理解概率的概念,事件A的概率是事件A发生可能性大小的度量,是进行大量重复试验时事件A发生频率的稳定值熟记下列概率的基本性质12;特别是当时,;
3.
42.2古典概型,要求达到领会层次了解古典概型的定义,会计算简单的古典概型问题
2.3利用概率性质计算古典概率,要求达到领会层次会用概率性质计算简单的古典概率问题3.条件概率与事件的独立性
3.1条件概率与乘法公式,要求达到简单应用层次理解条件概率的定义,掌握概率乘法公式并进行计算
3.2全概率公式贝叶斯公式,要求达到领会层次了解全概率公式与贝叶斯公式,会用这两个公式进行计算
3.3事件的独立性,要求达到综合应用层次理解事件的独立性的概念;熟记相互独立事件的积事件的概率计算公式,即若AB相互独立,则PAB=PAPB熟练掌握上述公式进行计算
3.4贝努利概型,要求达到简单应用层次理解贝努利概型的定义,掌握计算方法第2章随机变量与概率分布一教学知识点1.随机变量的概念2.离散随机变量离散随机变量的分布列,两点分布,二项分布
2.4泊松Poisson分布3.连续随机变量统计直方图,连续随机变量的概率密度,均匀分布与指数分布4.随机变量的分布函数分布函数概念,离散随机变量的分布函数,连续随机变量的分布函数,分布函数的性质,正态分布及其概率计算5.随机变量的函数及其分布离散随机变量函数的分布,连续随机变量函数的分布二本章教学要求理解随机变量的概念;理解离散随机变量及其分布列的概念,掌握较简单的离散随机变量的分布列的计算;掌握两点分布、二项分布与泊松分布;理解连续随机变量及其概率密度的概念,掌握概率密度的性质及有关计算;了解均匀分布与指数分布;熟练掌握正态分布及其概率计算;了解随机变量的函数的概念,会求简单随机变量函数的概率分布本章的重点是离散随机变量及其分布列,连续随机变量及其概率密度,分布函数的定义及性质,随机变量的函数的分布,正态分布及其概率计算三考核要求1.随机变量的概念,要求达到领会层次理解随机变量的概念及其分类2.离散随机变量
2.1离散随机变量的分布列,要求达到简单应用层次理解离散随机变量的分布列的概念与性质,掌握求较简单的离散随机变量的分布列的方法
2.2两点分布,要求达到领会层次熟记两点分布的分布列
2.3二项分布,要求达到简单应用层次熟记二项分布的分布列,并掌握相应的计算
2.4泊松分布,要求达到简单应用层次熟记泊松分布的分布列,了解泊松分布的应用背景,会查泊松分布表并进行有关计算3.连续随机变量
3.1统计直方图,要求达到识记层次知道如何从试验数据出发作出统计直方图,了解从此引出的连续随机变量的概率密度的概念
3.2连续随机变量的概率密度,要求达到简单应用层次理解连续随机变量概率密度的概念,熟记概率密度的性质,并熟练掌握由概率密度计算概率的方法
3.3均匀分布与指数分布,要求达到领会层次记住均匀分布与指数分布的概率密度,会计算相应的概率4.随机变量的分布函数
4.1分布函数的概念,要求达到领会层次理解分布函数的概念,熟记由分布函数计算概率的公式
4.2离散随机变量的分布函数,要求达到领会层次了解离散随机变量的分布列与分布函数的关系
4.3连续随机变量的分布函数,要求达到简单应用层次理解连续随机变量的概率密度与分布函数的关系,并掌握计算有关概率的方法
4.4分布函数的性质,要求达到识记层次知道分布函数的三条性质
4.5正态分布及其概率计算,要求达到综合应用层次熟记正态分布的定义,理解参数及的概率意义,熟练掌握查标准正态分布函数表的方法,当随机变量X服从正态分布时,记为标准正态分布函数,熟练掌握以下公式计算概率理解标准正态分布上侧分位数的定义与几何意义,并会查上侧分位数的值5.随机变量的函数及其分布
5.1离散随机变量函数的分布,要求达到识记层次知道较简单的离散随机变量的函数的分布列的求法
5.2连续随机变量函数的分布,要求达到领会层次理解并掌握求连续随机变量函数(限于严格单调函数)的概率密度的方法,记住关于正态随机变量的线性函数分布的结论第3章多维随机向量一教学知识点1.二维随机向量二维随机向量,二维连续随机向量,均匀分布,二维正态分布2.二维随机向量的分布函数与边缘分布分布函数的定义与性质,二维随机向量的边缘分布3.随机变量的独立性两个随机变量的独立性,两个独立随机变量之和的分布4.n维随机向量n维随机向量及n个随机变量的独立性5.条件分布二本章教学要求了解二维离散随机向量及其分布列的概念;了解二维连续随机向量及其概率密度的概念,记住概率密度的性质;了解均匀分布并会进行计算;知道二维正态分布;知道二维随机向量的分布函数的定义与性质;会求二维离散随机向量边缘分布列;掌握二维连续随机向量边缘概率密度的计算;了解两个随机变量独立性的概念;会计算较简单的两个独立随机变量之和的概率密度本章的重点是二维连续随机向量及其概率密度;由联合概率密度确定边缘概率密度;两个随机变量的独立性三考核要求1.二维随机向量
1.1二维离散随机向量,要求达到识记层次了解二维随机向量的概念,知道二维离散随机向量及其分布列的概念,记住分布列的性质
1.2二维连续随机向量,要求达到领会层次了解二维连续随机向量及其概率密度的概念,记住概率密度的性质
1.3均匀分布,要求达到领会层次记住均匀分布的概率密度,会计算较简单的区域上的均匀分布的概率
1.4二维正态分布,要求达到识记层次知道二维正态分布的概率密度2.二维随机向量的分布函数与边缘分布
2.1分布函数的定义与性质,要求达到识记层次知道二维随机向量的分布函数的定义与性质
2.2二维随机向量的边缘分布,要求达到简单应用层次了解二维离散随机向量边缘分布列的概念会由联合分布列求边缘分布;了解二维连续随机向量的边缘概率密度的概念,掌握由联合概率密度求边缘概率密度计算知道二维正态分布的边缘分布为一维正态分布3.随机变量的独立性
3.1两个随机变量的独立性,要求达到领会层次了解两个随机变量相互独立的概念;了解两个连续随机变量相互独立的充分必要条件;知道二维正态分布中两个随机变量相互独立的充分必要条件是.
3.2两个独立随机变量之和的分布,要求达到领会层次记住两个独立随机变量之和的概率密度公式,会计算较简单的两个独立随机变量之和的概率密度4.二维随机向量的条件分布记住二维随机向量的条件分布的概念并会计算第4章随机变量的数字特征一教学知识点1.期望离散随机变量的期望及常用离散分布的期望,连续随机变量的期望及常用连续分布的期望,随机变量函数的期望,期望的性质2.方差方差的定义与计算公式、标准差,常用概率分布的方差,方差的性质3.协方差与相关系数协方差及其性质,相关系数及其性质4.矩二本章教学要求理解期望的概念;掌握期望的计算;熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布与正态分布的期望;掌握随机变量函数的期望的计算;熟练掌握期望的性质及其计算;理解方差的概念;掌握方差的计算;熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布与正态分布的方差;掌握方差的性质及其计算;了解协方差与相关系数的概念及其性质;知道矩的概念本章的重点是期望、方差的性质与计算三考核要求1.期望
1.1离散随机变量的期望及常用离散分布的期望,要求达到简单应用层次理解和熟记离散随机变量期望的定义,会计算较简单的离散随机变量的期望熟记两点分布、二项分布、泊松分布的期望
1.2连续随机变量的期望及常用连续分布的期望,要求达到简单应用层次理解和熟记连续随机变量期望的定义,掌握较简单的连续随机变量期望的计算熟记正态分布、均匀分布与指数分布的期望
1.3随机变量函数的期望,要求达到领会层次记住计算的期望的公式,会运用公式计算较简单的随机变量函数的期望
1.4期望的性质,要求达到综合应用层次熟记期望的性质,熟练掌握期望的计算2.方差
2.1方差的定义与计算公式、标准差,要求达到简单应用层次熟记方差的定义及计算公式掌握较简单的随机变量方差的计算,了解标准差定义
2.2常用概率分布的方差,要求达到领会层次熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布与指数分布的方差
2.3方差的性质,要求达到简单应用层次熟记方差的性质,掌握方差的计算3.协方差与相关系数
3.1协方差及其性质,要求达到领会层次了解协方差定义及其性质并会计算
3.2相关系数及其性质,要求达到领会层次了解相关系数定义及其性质并会计算,知道随机变量相互独立与不相关的联系与区别,知道二维正态分布中XY的相关系数是参数;当(XY)服从二维正态分布时,XY相互独立与XY不相关等价4.矩,要求达到识记层次知道随机变量的原点矩、中心矩的概念第5章大数定律与中心极限定理一教学知识点1.大数定律切比雪夫Chebyshev不等式,贝努利大数定律,独立同分布序列的切比雪夫大数定律2.中心极限定理独立同分布序列的中心极限定理,棣莫弗DeMoivre—拉普拉斯Laplace中心极限定理二本章教学要求知道切比雪夫不等式;了解贝努利大数定律;了解独立同分布序列的切比雪夫大数定律;了解独立同分布序列的中心极限定理;知道棣莫弗—拉普拉期中心极限定理三考核要求1.大数定律
1.1切比雪夫不等式,要求达到识记层次知道切比雪夫不等式的含义
1.2贝努利大数定律,要求达到领会层次了解贝努利大数定律及其在概率论中的重要意义
1.3独立同分布序列的切比雪夫大数定律,要求达到领会层次了解独立同分布序列的切比雪夫大数定律及其在概率论中的重要意义2.中心极限定理
2.1独立同分布序列的中心极限定理,要求达到领会层次了解独立同分布序列的中心极限定理及其在概率论中的重要意义
2.2棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理,要求达到识记层次知道棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理第6章样本及抽样分布一教学知识点1.总体与样本总体、个体及总体分布,样本及样本分布2.样本数字特征与经验分布函数样本均值,样本方差与样本标准差,样本矩,经验分布函数3.统计量与抽样分布统计量与抽样分布概念,正态总体的抽样分布二本章教学要求理解总体、个体、样本的概念;了解总体分布与样本分布;熟练掌握样本均值与样本方差的计算;理解统计量的概念,了解抽样分布概念;了解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布;了解分布、t分布、F分布的定义,并会查表计算,了解正态总体的某些常用统计量的分布三考核要求1.总体与样本
1.1总体、个体及总体分布,要求达到领会层次理解总体与个体的概念,了解总体分布概念
1.2样本及样本分布,要求达到领会层次理解简单随机样本的概念,了解样本分布的概念,知道样本与样本观察值的联系与区别2.样本数字特征
2.1样本均值,要求达到简单应用层次熟练掌握样本均值的计算
2.2样本方差与样本标准差,要求达到简单应用层次熟练掌握样本方差与样本标准差的计算
2.3样本矩,要求达到识记层次知道样本原点矩、样本中心矩的定义与计算3.统计量与抽样分布
3.1统计量与样分布概念,要求达到领会层次理解统计量的概念,了解抽样分布的概念
3.2正态总体的抽样分布,要求达到领会层次了解分布、t分布、F分布的定义,并会查表计算,了解并熟记正态总体的样本均值与样本方差的抽样分布,了解并记住正态总体的其它的抽样的分布第7章参数估计一教学知识点1.点估计点估计的概念,矩估计法
1.3极大似然估计法2.估计量的评选标准无偏性,有效性,相合性3.区间估计置信区间概念正态总体均值的区间估计正态总体方差的区间估计二本章教学要求理解点估计的概念;掌握矩估计法;了解极大似然估计法;了解无偏性的概念;知道有效性、相合性的概念;理解置信区间概念;熟练掌握正态总体均值的区间估计;掌握正态总体方差的区间估计本章的重点是点估计的矩估计法和极大似然估计法;正态总体均值和方差的区间估计三考核要求1.点估计
1.1点估计的概念,要求达到领会层次理解点估计的概念
1.2矩估计法,要求达到简单应用层次掌握总体未知参数的矩估计法(一阶、二阶)
1.3极大似然估计法,要求达到简单应用层次了解总体未知参数的极大似然估计法,掌握较简单的极大似然估计法的计算2.估计量的评选标准
2.1无偏性,要求达到领会层次了解无偏性的定义,了解样本均值,样本方差分别是总体均值,总体方差的无偏估计
2.2有效性,要求达到识记层次知道有效性的概念
2.3相合性,要求达到识记层次知道相合性的概念3.区间估计
3.1置信区间概念,要求达到领会层次理解置信区间和置信度的概念
3.2正态总体均值的区间估计,要求达到简单应用层次熟记单个正态总体在方差已知与方差未知时的均值的置信区间,并熟练掌握计算;熟记两个正态总体方差未知(方差相等)时均值差的置信区间,并掌握计算方法
3.3正态总体方差的区间估计,要求达到简单应用层次熟记单个正态总体均值未知时方差的置信区间,两个正态总体在均值未知时方差比的置信区间,并掌握计算方法第8章假设检验一教学知识点1.假设检验的基本概念:假设检验的基本原理两类错误假设检验的基本步骤2.正态总体均值与方差的假设检验正态总体均值的假设检验,正态总体方差的假设检验3.总体分布假设检验法皮尔逊Pearson的检验法,总体分布假设的检验法二本章教学要求理解假设检验的基本概念;掌握假设检验的基本步骤;熟练掌握正态总体均值的假设检验;掌握正态总体方差的假设检验;了解总体分布假设的检验法本章的重点是正态总体均值与方差的假设检验三考核要求1.假设检验的基本概念
1.1假设检验的基本原理,要求达到领会层次理解假设检验的基本思想与基本原理
1.2两类错误,要求达到识记层次知道假设检验中两类错误的概念
1.3假设检验的基本步骤,要求达到领会层次掌握假设检验的基本步骤2.正态总体均值与方差的假设检验
2.1正态总体均值的假设检验,要求达到简单应用层次熟记单个正态总体方差已知与方差未知时均值的假设检验,并熟练掌握计算方法;熟记两个正态总体方差未知(方差相等)时两个总体均值相等的假设检验,并掌握计算方法
2.2正态总体方差的假设检验,要求达到简单应用层次熟记单个正态总体均值未知时总体方差的假设检验,并掌握计算方法;熟记两个正态总体均值未知时两个总体方差相等的假设检验,并掌握计算方法3.总体分布假设的检验法
3.1皮尔逊定理,要求达到领会层次了解皮尔逊定理,并能利用定理对取有限值的离散分布进行检验
3.2总体分布假设的检验法,要求达到领会层次了解总体分布已知或总体分布含有未知参数时,总体分布假设的检验法
3、有关说明与实施要求一关于“课程内容与考核目标”中有关提法的说明本大纲提出的“本章的教学要求”中,对概念和理论要求的提法是“知道”、“了解”、“理解”;在知识与公式的记忆方面,提法是“记住”、“熟记”、;对技能要求的提法是“会”、“掌握”、“熟练掌握”;其中每一种提法的要求后者较前者为高,为使学生进一步把握“本章的教学要求”、,大纲在“考核要求”中,提出了四个能力层次要求“识记”、“领会”、“简单应用”、“综合应用”四个能力层次是递进等级关系,后一层次的水平必须包含前一层次的水平,各个层次含义是1.识记知道有关的概念与知识的意义,并能正确认识与表述2.领会在识记的基础上,能全面把握基本概念与基本原理,掌握有关概念与原理的联系与区别3.简单应用在领会的基础上,能用学过的
一、二个知识点,分析和解决较简单的问题4.综合应用在简单应用的基础上,能用学过的多个知识点,综合分析和解决较复杂的问题二关于教材与主要参考书教材《概率论与数理统计》郭福星等主编,上海科学技术出版社,1990主要参考书1.《概率率与数理统计教程》沈恒范编,高等教育出版社,1995年第3版
2.《概率论与数理统计》浙江大学盛骤、谢式千、潘承毅编,高等教育出版社,1989年第2版经济管理类数学课程教学基本要求初稿(
2004.
11.10)前言数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学随着现代科学技术和数学科学的发展,“数量关系”和“空间形式”具备了更丰富的内涵和更广泛的外延现代数学内容更加丰富,方法更加综合,应用更加广泛数学不仅是一种工具,而且是一种思维模式;不仅是一种知识,而且是一种素养;不仅是一种科学,而且是一种文化能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志数学教育在培养高素质科学技术人才中具有其独特的、不可替代的重要作用高等学校经济管理类专业本科生数学基础课程应包括微积分、线性代数与空间解析几何初步、概率论与数理统计,它们都是必修的重要基础理论课通过这些课程的学习,应使学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数与常微分方程、空间解析几何初步、线性代数、概率论与数理统计等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能,为今后学习各类后继课程和进—步扩大数学知识而奠定必要的连续量、离散量和随机量方面的数学基础在传授知识的同时,要努力培养学生进行抽象思维和逻辑推理的理性思维能力,综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力,逐步培养学生的创新精神和创新能力课程的教学基本要求,是经济管理类专业本科生学习本课程都应当达到的合格要求,其中带*号的条目是为某些相关专业选用的,也是对选用专业学生的基本要求各校根据本校的实际情况,在达到基本要求的基础上,还可以提出一些较高的或特殊的要求各门课程的内容按教学要求的不同,都分为两个层次文中用黑体字排印的内容,应使学生深入领会和掌握,并能熟练运用其中,概念、理论用“理解”一词表述,方法、运算用“掌握”一词表述非黑体字排印的内容,也是必不可少的,只是在教学要求上低于前者其中,概念、理论用“了解”一词表述,方法、运算用“会”或“了解”表述基本要求中所列出的各项内容与要求是制订教学计划、教学大纲和编写教材的重要依据,但不涉及课程体系的结构、教学内容的先后安排和编写教材的章节顺序第一部分微积分
一、函数极限连续
1、理解函数的概念;掌握基本初等函数的几何特性、图形及基本性质
2、了解常见经济函数;会建立简单经济问题的函数关系
3、了解数列极限和函数极限的概念
4、理解无穷小的概念和基本性质;掌握无穷小比较的方法
5、掌握极限的四则运算法则;了解极限的性质及极限存在的两个准则
6、会应用两个重要极限;掌握求极限的基本方法
7、理解函数连续性的概念;掌握连续与极限的关系;会判别函数间断点的类型o
8、了解闭区间上连续函数的性质有界性、最大值和最小值定理、介值定理及其简单运用
二、一元函数微分学
1、了解导数的概念;知道导数的几何意义和经济意义含边际与弹性的概念
2、掌握基本求导公式;掌握导数的四则运算法则以及复合函数的链式求导法则;会求隐函数、反函数的导数
3、了解高阶导数的概念;会求二阶、三阶及简单函数的n阶导数
4、理解微分的概念;掌握导数与微分的关系;掌握微分形式的不变性;熟练掌握可微函数的微分方法
5、了解罗尔R011e定理、拉格朗日Lagrange中值定理及柯西Cauchy中值定理及它们之间的关系;能利用中值定理证明一些简单的命题
6、掌握罗比塔LHospital法则求极限的方法
7、掌握函数单调性的判定方法
8、掌握函数的极值与最值的计算方法,并能运用于经济问题
9、了解函数凹凸性的判别方法
三、一元函数积分学
1、了解原函数与不定积分的概念;了解不定积分与原函数的关系;掌握不定积分的性质;了解原函数存在定理;掌握基本积分公式;掌握不定积分的换元法和分部积分法;会计算一些简单有理函数的积分
2、理解定积分的概念和几何性质;了解定积分的基本性质和积分中值定理
3、了解变上限定积分;会求变上限定积分的导数;掌握牛顿一莱布尼兹公式
4、掌握定积分的换元法和分部积分法
5、了解无穷区间上的广义积分和无界函数的广义积分的概念;了解-函数
6、会利用定积分求平面图形的面积;会利用定积分求解简单的经济应用问题
四、无穷级数
1、理解无穷级数的收敛与发散、收敛级数的和等概念
2、了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件;了解几何级数及P-级数的收敛与发散的条件
3、会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域
4、理解幂级数在其收敛区间内的基本性质和函数的连续性、逐项微分和逐项积分,会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数
5、掌握常见函数幂级数的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数
五、多元函数微积分学
1、了解空间坐标系的有关概念;会求空间两点间的距离;了解空间曲面及其方程;了解平面区域、区域边界、点的邻域、开区域、闭区域等概念
2、了解多元函数概念;了解二元函数的定义与表示法;了解二元函数的几何意义
3、了解二元函数的极限与连续的直观意义了解有界闭区域上二元连续函数的性质
4、理解多元函数的偏导数与全微分的概念;熟练掌握求偏导数与全微分的方法;掌握求多元复合函数偏导数的方法
5、掌握由一个方程确定的隐函数的求偏导的方法
6、理解二元函数极值、条件极值的概念;掌握二元函数极值存在的必要条件、充分条件;会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值
7、了解二重积分的概念、几何意义与基本性质掌握简单区域上二重积分的计算方法;*会计算无界区域上的较简单的二重积分
8、了解三重积分的概念和计算
9、会用多元函数微积分知识解决简单的经济问题会求解两种商品效用最大化等经济问题
六、微分方程
1、了解微分方程的阶、通解、特解等概念
2、掌握可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程的解法
3、掌握二阶常系数线性微分方程的解法
4、了解一些简单的经济问题的微分方程模型;会建立微分方程数学模型解决一些简单的经济应用问题
七、差分方程
1、了解差分与差分方程、差分方程的阶与解等概念
2、掌握一阶、二阶常系数线性齐次差分方程的解法
3、会求解某些诗殊的一阶、二阶常系数非齐次差分方程的特解与通解
4、会利用差分模型求解一些简单的经济应用问题第二部分线性代数
一、行列式
1、了解行列式的概念;掌握行列式的基本性质
2、会应用行列式的定义、性质和有关定理计算行列式
3、掌握克莱姆法则
二、n维向量
1、理解n维向量的概念,向量的线性组合和线性表示;熟练掌握向量的加法和数乘运算
2、理解向量组的线性相关和线性无关的定义;会判断向量组的线性相关性或线性无关性
3、理解向量纽的极大线性无关组和向量组的秩的概念;会求向量组的极大线性无关组和向量组的秩
三、矩阵
1、理解矩阵的概念
2、了解单位阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵以及它们的性质
3、掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置以及它们的运算规律;了解方阵的幂、方阵乘积的行列式
4、理解逆矩阵的概念;掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件;理解伴随矩阵概念;会用伴随矩阵求矩阵的逆
5、掌握矩阵的初等变换;了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念
6、了解矩阵秩的概念;了解向量组的秩与矩阵的秩之间的关系
7、掌握用初等变换求矩阵的秩和求逆矩阵的方法
四、线性方程组
1、理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件
2、理解齐次线性方程组的基础解系和通解的概念
3、理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念
4、掌握用初等变换求线性方程组通解的方法
五、向量空间
1、了解向量空间的概念;了解Rn的基底、子空间及其维数的概念;了解向量在不同基底下的坐标变换
2、了解向量内积的定义;理解线性无关向量组的正交化方法
3、了解正交矩阵的定义;了解正交矩阵主要性质
六、矩阵的特征值与特征向量
1、了解矩阵特征值、特征向量等概念及有关性质熟练掌握求二阶矩阵特征值和特征向量的方法
2、了解相似矩阵的概念
3、掌握将实对称矩阵化为对角阵的方法*
4、了解向量和矩阵序列极限的概念;了解矩阵级数的收敛性及收敛条件*
5、了解投入产出数学模型
七、二次型
1、了解二次型的概念;会用矩阵形式表示二次型
2、了解合同变换和合同矩阵的概念;了解二次型的秩的概念;了解二次型的标准形、规范形等概念;了解惯性定理的条件和结论会用正交变换和配方法化二次型为标准形
3、理解正定负定二次型、正定矩阵的概念及在求极值问题中的应用;掌握正定矩阵的性质两个正定阵的和还是正定阵第三部分概率论与数理统计
一、数据收集、图示与描述性统计量
1、了解数据的来源;掌握数据的类型定性数据;定量数据;有序数据;间隔数据和比例数据
2、掌握离散数据的列表表示,掌握用直方图作图
3、掌握描述性统计量的性质,掌握计算描述性统计量
二、随机事件和概率
1、了解样本空间基本事件空间的概念理解随机事件的概念;掌握事件的关系与运算
2、理解概率、条件概率的概念;掌握概率的基本性质会计算古典型概率
3、熟练掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式
4、理解事件的独立性概念;掌握用事件独立性进行概率计算理解独立重复试验的概念掌握计算基本事件概率的方法
三、随机变量及其分布
1、理解随机变量以及它的分布的概念和性质会计算与随机变量相联系的事件的概率
2、理解离散型随机变量及其概率分布的概念;掌握两点分布、二项分布、离散均匀分布、泊松Poisson分布及其应用
3、理解连续型随机变量及其概率密度的概念;掌握正态分布及其应用
4、会求简单随机变量函数的分布
四、二维随机变量及其联合概率分布
1、理解多维随机变量的概念;理解随机变量的联合分布的概念和基本性质
2、理解离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布;了解连续型随机变量的联合概率密度、边缘概率密度和条件概率密度
3、理解用二维概率分布求有关事件的概率
4、理解随机变量的独立性概念;掌握离散型和连续型随机变量独立的条件
5、掌握二维正态分布
6、会求两个随机变量和的分布了解N个正态分布的线性组合还是正态分布,
五、随机变量的数字特征
1、理解随机变量的数字特征数学期望、方差、标准差;矩、协方差、相关系数、中位数、分位点的概念及其在经济中的应用;并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征
2、掌握常用分布的数字特征
3、会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望;会根据两个随机变量联合概率分布求其函数的数学期望
4、了解切比雪夫不等式
六、大数定律和中心极限定理
1、理解辛钦大数定律独立同分布随机变量的大数定律
2、掌握棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理二项分布以正态分布为极限分布并运用该定理近似计算有关事件的概率;了解列维一林德伯格中心极限定理独立同分布随机变量列的中心极限定理
七、数理统计的基本概念
1、理解总体、简单随机样本和统计量的概念,理解样本的两重性
2、了解产生x2分布、t分布、F分布的定义,了解它们密度函数的图像;掌握标准正态分布、x2分布、t分布和F分布的分位数,并会查表计算
3、掌握正态总体样本均值、样本方差和样本方差比的抽样分布
4、理解经验分布函数的概念和性质,会根据样本值求经验分布函数
八、参数估计
1、理解点估计的概念2,掌握矩估计法一阶、二阶和极大似然估计法3.了解估计量的评价标准无偏性、有效性、一致性4.会求单个正态总体的均值和方差的置信区间5.会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间
九、假设检验
1、理解显著性检验的基本思想;掌握假设检验的基本步骤了解假设检验可能产生的两类错误
2、掌握一个正态总体均值的检验;掌握两个正态总体的均值差检验;理解成对比较和成组比较的概念
3、掌握拟合优度检验、列联表检验
十、回归分析
1、了解回归分析的含义
2、会用最小二乘法求回归系数;了解可线性化为一元线性回归的基本类型
3、会作简单预测福州大学经管类高等数学教学大纲经管类高等数学课内总学时为126学时分上下两学期,每学期各63学时
一、函数函数的定义显函数与隐函数函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性反函数及其图形基本初等函数复合函数分段函数.初等函数建立简单的函数关系熟悉经济上常用的经济函数
二、极限与连续极限数列和函数极限的定义分析定义不要求函数的左右极限夹限定理和单调有界必有极限定理证明不要求极限的四则运算两个重要极限,=e无穷小与无穷大的定义、关系无穷小与函数极限的关系无穷小的比较等价无穷小.主部的概念主部替换.函数的连续性函数连续的定义间断点定义及分类连续函数的和、差、积、商的连续性连续函数的复合函数的连续性(不证)基本初等函数和初等函数的连续性闭区间上连续函数的最大值、最小值定理及介值定理等的叙述
三、导数与微分导数导数的定义导数的几何意义及经济意义平面曲线的切线与法线函数的可导性与连续性之间的关系函数的和、差、积、商的导数复合函数的导数反函数的导数基本初等函数的导数公式初等函数的求导问题隐函数的导数对数求导法由参数方程所给定的函数的导数高阶导数sinxcosx的n阶导数公式简单函数的高阶导数微分微分的定义微分的几何意义微分的运算法则可微和可导的关系.微分形式的不变性微分在近似计算中的应用二阶微分不要求
四、中值定理与导数应用中值定理罗尔(Rolle)定理拉格朗日(Lagrange)定理柯西定理(证明不要求)罗必达(L′Hospital)法则导数的应用:函数增减性的判定法函数的极值及其求法最大值、最小值问题函数图形的凹向及其判定法拐点及其求法水平与垂直渐近线函数图形的描绘举例边际分析和弹性分析边际函数的定义及经济涵义,边际成本最大利润原则需求弹性,供给弹性,收益弹性的定义及经济涵义
五、不定积分原函数与不定积分的定义不定积分的性质基本积分公式换元积分法分部积分法简单有理函数的积分举例
六、定积分定积分的定义定积分存在定理的叙述定积分的性质定积分的中值定理定积分作为变上限的函数及其求导定理牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式定积分的换元法与分部积分法
六、定积分定积分在几何学中的应用(面积、旋转体体积)两种广义积分的定义定积分在经济学中的应用举例
七、多元函数的微积分学多元函数空间直角坐标系的概念;空间两点间的距离;空间曲面及其方程;了解平面区域、区域边界、点的邻域、开区域、闭区域等概念多元函数的定义二元函数的几何意义二元函数的极限与连续性有界闭域上连续函数性质的叙述偏导数与全微分偏导数的定义全微分的定义高阶偏导数混合偏导数可以交换求导次序的条件(叙述)全微分存在的充分条件多元复合函数的求导法则全导数梯度,隐函数的求偏导公式复合函数二阶偏导数、隐函数的偏导数偏导数的应用二元函数的极值及必要充分条件最大值、最小值问题条件极值拉格朗日乘数法经济应用二重积分二重积分的定义二重积分的性质二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算二重积分在几何学中的应用(立体体积、曲面面积)无界区域上简单二重积分的计算
八、无穷级数常数项级数无穷级数及其收敛与发散的定义无穷级数的基本性质级数收敛的必要条件几何级数调和级数P级数正项级数的比较判别法、比值判别法和根值判别法交错项级数莱布尼兹定理绝对收敛和条件收敛幂级数幂级数概念阿贝尔(Abel)定理幂级数的收敛半径与收敛区间幂级数的四则运算、和的连续性、逐项积分与逐项微分带有拉格朗日余项的泰勒(Taylor)公式泰勒级数函数展开为幂级数的唯一性函数(、sinx、cosx、ln1+x、1+x等)的幂级数展开式幂级数在近似计算中的应用举例
九、常微分方程常微分方程的一般概念微分方程的定义阶解通解初始条件特解一阶微分方程变量可分离的方程齐次方程,一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程y=fxy″=fxy′.y″=fyy′.二阶常系数线性齐次非齐次微分方程线性微分方程的解的结构二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程在经济上的简单应用
十、差分方程差分方程的概念,差分方程的阶、解、通解、特解、初始条件的概念一阶、二阶常系数线性差分方程的求解方法附文科高等数学教学大纲说明
一、课程的作用和任务《微积分》是高等学校经济管理学科各专业所必学的一门主要基础课由于科学技术飞速发展,社会主义市场经济对人才的要求提高促使各高等院校对数学课程的教学内容和体系进行深刻的改革尤其在素质教育的今天,充分提示数学的思维过程是教学的核心目前,随着我国社会主义经济建设的发展和经济体制改革的深入,经济数学方法的研究和应用日益受到广大经济理论教学,研究人员和实际工作者的重视,也目益加强数量经济学方面的研究和教学工作通过教学的各个环节,使学生掌握本课程的基本理论和方法,培养学生具有分析、研究和解决实际问题的能力及知识自我更新能力,尢其是通过本课程的学习,使学生能够解决经济系统中,经济数量之间的函数建立,即数学模型的建立,并且利用微分及积分的方法来求解经济问题,以及通过本课程的学习,为后继各专业的课程学习和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础
二、课程的基本要求1.正确理解下列基本概念和它们之间存在的内在联系函数,极限,无穷小,连续,导数,微分,不定积分,定积分,偏导数,全微分,重积分,级数的敛散性,微分方程2.正确理解下列基本定理和公式并能正确应用极限的主要定理,拉格朗日定理,泰勒定理,定积分作为变上限的函数及其求导定理,牛顿-莱布尼兹公式3.牢固掌握下列公式基本初等函数的导数公式,基本积分公式,函数、、sinx和cosx的幂级数展开式4.熟练运用下列法则和方法函数的和、差、积、商的求导法则与复合函数的求导法则,换元积分法和分部积分法,二重积分的计算法,可分离变量的一阶微分方程的解法,一阶线性微分方程5.会运用微积分和常微分方程的方法解决一些简单的几何、经济应用问题
三、课程内容的重点、深度和广度函数、极限、连续重点函数的概念极限的概念无穷小极限的四则运算函数的连续性对于中学学过的有关函数的内容,只须加以复习提高,不必再作详细讲解但对于函数符号fx的意义和用法,应有足够的说明和训练还应适当介绍分段函数,反函数的图形及定义域值域举例说明建立函数式的方法介绍成本函数,利润函数,收益函数关于极限的定义不要求用“ε-N”、“ε-δ”语言来描述不定式求极限的训练主要放在罗必塔法则中进行,这里不宜作过多过难的练习,对于=e及变形要有适当的训练基本初等函数的连续性可以不会证振荡间断点不讲对于连续函数在闭区间上的性质,只要求几何说明导数与微分重点导数的概念导数的几何意义初等函数导数的求法微分的概念正确理解导数作为变化率的概念,微分是函数增量的线性主部的概念熟练掌握初等函数的求导法,明确初等函数的导数仍是初等函数这一事实中值定理和导数的应用重点拉格朗日定理罗必塔法则函数增减性的判定法函数的极值及其求法最大值、最小值问题三个中值定理采用几何说明极值点的判定限于用一阶导数与二阶导数对于罗必塔法则不要求证明不定积分重点原函数与不定积分的概念不定积分的性质基本积分公式换元积分法分部积分法有理函数的积分要求是简单的有理函数的积分,只须通过例题把化有理真分式为部分分式的方法讲清楚定积分及其应用重点定积分的概念定积分的中值定理定积分作为变上限的函数及其求导定理牛顿—莱布尼兹公式要求学生学会正确使用定积分的换元积分法在定积分的应用中,要求学生会套用公式计算面积和旋转体体积就可以对定积分在经济上的应用要作小结性的介绍多元函数的微分学重点多元函数的概念偏导数与全微分概念多元复合函数的求导法则多元函数极值存在的充分条件(叙而不证)条件极值的充分性判定不要求重积分重点二重积分概念二重积分计算法二重积分的一般变量替换法不要求,无界区域上的反常二重积分只要求简单的二重积分的计算无穷级数重点无穷级数收敛和发散的概念正项级数的比值审敛法级数的绝对收敛和收敛的关系幂级数的收敛半径与收敛区间麦克劳林级数函数的幂级数展式绝对收敛和条件收敛包括它们的概念,级数的绝对收敛与收敛的关系,绝对收敛级数的性质可灵活掌握函数幂级数的四则运算、和的连续性、逐项微分及逐项积分均不证常微分方程重点微分方程的概念解通解特解可分离变量的微分方程一阶线性微分方程关于二阶常系数非齐次线性方程,包括自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与乘积几种对解的结构及线性相关无关性只做简单介绍微分方程的应用,可穿插在有关内容中讲差分方程重点:差分方程的阶、解、通解、特解、初始条件的概念一阶常系数线性差分方程掌握fx为多项式和指数函数及它们的乘积的求解方法福州大学文科《线性代数》教学大纲
一、行列式行列式的概念和基本性质 行列式按行(列)展开定理
二、矩阵矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算
三、向量 向量的概念 向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量的内积 线形无关向量组的正交规范化方法
四、线性方程组 线性方程组的克莱姆(Cramer)法则 线性方程组有解和无解的判定 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组(导出组)的解之间的关系 非齐次线性方程组的通解
五、矩阵的特征值和特征向量 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵
六、二次型二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性 大学文科数学教学大纲(讨论稿)(72学时,4学分)数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学随着现代科学技术和数学科学的发展,“数量关系”和“空间形式”具备了更丰富的内涵和广泛的外延现代数学内容更加丰富,方法更加综合,应用更加广泛数学不仅是一种工具,而且是一种思维模式;不仅是一种知识,而且是一种素养;不仅是一种科学;而且是一种文化,能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志数学教育在培养高素质科学技术人才中具有其独特的不可替代的重要作用文科高等数学(包括微积分、线性代数和概率统计)是文科类各专业的一门基础课,主要培养文科学生的科学素养,养成良好的思维习惯,提高学生整体素质因此本课程主要在理性思维训练、实用技术学习和数学文化欣赏这三者中寻找合适的平衡点与保持必要的张力具体包括离散型数学、连续型数学、随机型数学的最基本内容在难度和深度上降低要求,淡化技巧,拓宽知识面,使学生领略和体会数学多个分支的思想本质,提高理性思维能力,培养学生的现代数学意识,向学生展示数学在实际应用中的巨大威力,使学生学会欣赏数学文化,提高数学兴趣第一部分微积分
一、函数与极限教学内容 函数的概念及表示法 、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 、复合函数、反函数、和分段函数、隐函数、基本初等函数的性质及其图形 、初等函数、简单应用问题的函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限和右极限、无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较、极限的四则运算、两个重要极限 函数连续的概念 、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质教学要求
1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建立简单应用问题中的函数关系
2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性
3.理解复合函数、和分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念
4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念
5.了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念
6.理解无穷小的概念和基本性质掌握无穷小的比较方法了解无穷大的概念及其与无穷小的关系
7.了解极限的性质与极限存在的两个准则,掌握极限的四则运算法则,会应用两个重要极限
8.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型
9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)及其简单应用
二、导数与微分教学内容 导数的概念 、导数的几何意义和经济意义 、函数的可导性与连续性之间的关系、 平面曲线的切线与法线 、导数的四则运算、 基本初等函数的导数 、复合函数、反函数和隐函数的导数 、高阶导数、 微分的概念和运算法则、一阶微分形式的不变性、 微分中值定理 、 洛必达(L’Hospital)法则、 函数的极值 、函数单调性的判别、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘、函数的最大值与最小值 教学要求
1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念)会求平面曲线的切线方程和法线方程
2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,掌握反函数与隐函数求导法以及对数求导法
3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数
4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系,以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分
5.理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日 Lagrange中值定理、了解柯西(Cauchy)中值定理,掌握这三个定理的简单应用
6.会用洛必达法则求极限
7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用
8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线
9.会描述简单函数的图形
三、积分学 教学内容 原函数和不定积分的概念、不定积分的基本性质、基本积分公式、定积分的概念和基本性质 定积分中值定理、积分上限的函数及其导数、牛顿—莱布尼茨(Newton- Leibniz)公式、不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 、广义积分 、定积分的应用 教学要求
1.理解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质和基本积分公式,掌握计算不定积分的换元积分法和分部积分法
2.了解定积分的概念和基本性质,了解定积分中值定理,理解积分上限的函数并会求它的导数,掌握牛顿—莱布尼茨公式,以及定积分的换元积分法和分部积分法
3.会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积及函数的平均值,会利用定积分求解简单的经济应用问题
4.了解广义积分的概念,会计算广义积分
五、无穷级数 教学内容 常数项级数的收敛与发散的概念、收敛级数的和的概念、级数的基本性质与收敛的必要条件、几何级数与p级数的收敛性、正项级数收敛性的判别法、任意项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数与莱布尼茨定理 教学要求 1了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念 2掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,会用根值判别法 3了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与收敛的关系掌握交错级数的莱布尼茨判别法
六、常微分方程教学内容 常微分方程的基本概念、变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程 教学要求 1了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念 2掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法 第二部分线性代数
一、行列式 教学内容 行列式的概念和基本性质、行列式按行(列)展开定理 教学要求 1了解行列式的概念,掌握行列式的性质 2会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式
二、矩阵 教学内容 矩阵的概念、矩阵的线性运算、矩阵的乘法、方阵的幂、方阵乘积的行列式、矩阵的转置、逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆的充分必要条件、伴随矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩、矩阵的等价教学要求
1、理解矩阵的概念,了解单位矩阵、零矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵等的定义和性质
2、掌握矩阵的线性运算、乘法、转置,以及它们的运算规律,了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质 3理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质,以及矩阵可逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵 4了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念,理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法
三、线性方程组 教学内容 线性方程组的克莱姆(Cramer)法则、线性方程组有解和无解的判定、齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解教学要求 1会用克莱姆法则解线性方程组 2掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法 3掌握用初等行变换法求解线性方程组的方法 第三部分概率论与数理统计
一、随机事件和概率 教学内容 随机事件与样本空间、事件的关系与运算、完全事件组、概率的概念、概率的基本性质、古典型概率、条件概率、概率的基本公式、事件的独立性、独立重复试验 教学要求
1、了解样本空间(基本事件空间)的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系及运算
2、理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式等
3、理解事件的独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法
二、随机变量及其分布 教学内容 随机变量、随机变量的分布函数的概念及其性质、离散型随机变量的概率分布、连续型随机变量的概率密度 、常见随机变量的分布 教学要求
1、理解随机变量的概念,理解分布函数F(x)=P{X}(-∞﹤x﹤∞)的概念及性质,会计算与随机变量相联系的事件的概率
2、理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握0-1分布、二项分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用
3、理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布、正态分布N(μ)、指数分布及其应用.
三、随机变量的数字特征 教学内容 随机变量的数学期望(均值)、方差和标准差及其性质、随机变量函数的数学期望 教学要求 1理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差)的概念,会运用数字特征的基本性质,并掌握常用分布的数字特征
2、会求随机变量函数的数学期望 《数学实验》课程教学大纲课程目的《数学实验》的教学目的和要求是使学生掌握数学实验的基本思想和方法,即不把数学看成先验的逻辑体系,而是把它视为一门“实验科学”,从问题出发,通过学习数学软件主要是Mathematica.,借助计算机,学生亲自设计和动手,体验解决问题的过程,从实验中去学习、探索和发现数学的规律课程通过介绍并让学生参与将实际问题提炼出数学模型,进而运用数学方法和手段,尤其是用数值模拟的方法结合计算机来解决这些问题的过程,着重培养学生的创新意识和综合应用能力.课程的教学框架具体的教学过程是通常在课程的开始时先用大约8个学时介绍数学软件的基本内容和操作指令,并要求学生进行适当的练习,作为以后实验的基础计划安排五至六个实验,在每一实验开始时,先由教师授课约2学时,介绍实验的背景和要求,以及相关的建模方法、数学上的解析的和近似的处理方法,然后布置实验任务学生分小组(每组
二、三人为宜)在课外讨论、建模,设计问题的处理方案,再上机操作2学时左右,最后写出实验报告在有必要时,宜对学生的实验情况作讨论或小结教学方法课堂讲授与实验上机相结合,以学生上机为主先修课程微积分、线性代数、概率统计、计算机应用基础课程内容一.Mathematica简介1.Mathematica基本知识(4学时,其中上机2学时)了解Mathematica软件掌握Mathematica系统的符号演算、数值计算和作图的基本使用方法(包括函数、变量和表达式,符号表达式的一般处理过程,基本表达式变换,表与表的生成,初等数学运算,求解方程及简单作图方法等)掌握交互式计算以及程序包的使用学会Mathematica处理的基本对象―-表达式的统一结构、变换规则、模式、表与表达式的结构、Mathematica中的函数定义会用Mathematica语言设计、编写程序来解决一些简单数学问题难点表达式的统一结构、变换规则、模式、表与表的生成、函数和函数的定义Mathematica与其它计算机语言的语法区别Mathematica语言独有的语法
2.用Mathematica学高等数学及线性代数(4学时,其中上机2学时)掌握用Mathematica语言作函数图形(二维、三维)的一般方法,会通过直观图形研究函数的性质,进一步领会数学知识了解Mathematica图形表达式的构造会求函数的导数和微分会求微分方程的精确和近似解会解方程组会计算不定积分、定积分、广义积分、重积分、曲线积分和曲面积分会计算无穷级数会矩阵的各类运算难点函数图形的正确生成及灵活应用,与数学知识的联系 课程所讲授主要内容取自以下案例教师可根据学生实际情况选择5-6个实验,其中打*号为选讲实验 实验一曲柄滑块机构的运动规律 本实验主要涉及微积分中对函数特性的研究.通过实验复习函数求导法、Taylor公式和其他有关知识.着重介绍运用建立近似模型并进行数值计算来研究、讨论函数的方法. 实验二教堂顶部曲面面积的计算方法 本实验主要涉及微积分中多元函数积分,通过实验将复习曲面面积的计算、重积分和Taylor展开等知识;另外将介绍重积分的数值计算法和取得函数近似解析表达式的摄动方法. 实验三导弹跟踪问题 本实验主要涉及常微分方程.通过实验将复习微分方程的建模和求解;另外将介绍微分方程的数值方法:Euler法和改进的Euler法;还介绍了仿真方法. *实验四行星的轨道和位置 本实验主要涉及常微分方程.通过实验复习微分方程的建模和解法;数值积分的计算.另外将介绍:建立数学模型时复坐标系的选取;基于压缩映象的方程求根方法;微分方程的Runge-Kutte法. *实验五炮弹射击安全区和凸轮设计──平面曲线包络线的应用 本实验涉及微积分和微分方程,通过实验复习曲线的参数方程及其求导、复合函数微商法、微分方程的建立及求解和某些二次曲面等知识;另外通过两个实际问题介绍平面单参数曲线族包络线的概念及其应用. 实验六个人住房抵押贷款和其它金融问题 本实验涉及微积分中数列和线性代数中矩阵运算,通过实验复习数列、函数方程求根和与线性代数方程组有关的知识;主要是介绍与经济生活中某些常见重要问题有关的离散形式数学模型──差分方程. 实验七油罐标尺刻度的设计 本实验涉及积分、微分方程和线性代数的若干知识.通过实验将复习函数的反函数、定积分的应用和计算、解微分方程和解代数方程组等内容;并且介绍了连续型数学问题近似化处理的若干基本技巧,例如插值法、二分法和两点边值问题的差分法等. 实验八投入产出分析 本实验主要涉及线性代数.通过实验复习向量和矩阵的运算,线性方程组的求解等知识;主要介绍了线性代数在经济分析方面的重要应用. 实验九合金工厂的生产规划问题 本实验涉及线性代数,通过实验复习矩阵的运算、初等变换和解线性方程组等知识,另外介绍了运筹学中一类重要的问题线性规划问题的建模和求解的基本方法. *实验十Hill密码的加密、解密与破译 本实验主要涉及线性代数利用模运算意义下的矩阵乘法、求逆矩阵、线性无关、线性空间与线性变换等概念和运算介绍Hill密码体制的加密、解密和破译过程. 实验十一CT图像重建的代数方法 本实验主要涉及线性代数方程组.通过实验复习代数方程组解的有关理论利用线性代数方程组建模并根据方程组的具体情况利用数值方法求解或近似解.介绍了解方程组的松弛法. 实验十二种群年龄结构的估算 本实验主要涉及线性代数通过实验建立种群年龄结构的Leslie矩阵模型利用特征值与特征向量分析模型的性态. 实验十三库存系统的仿真方法 本实验涉及一些概率知识.通过实验讨论了较为简单的库存系统问题着重介绍离散事件的计算机仿真方法. *实验十四质量控制图 本实验主要涉及数理统计,通过实验复习数理统计中的参数估计、假设检验等有关知识,介绍了用质量控制图进行质量管理的方法 实验十五建筑工程公司投标的决策分析 本实验涉及概率论知识,通过实验复习了概率论的某些基本概念介绍了利用决策树和效用函数解决关于投资项目的风险决策问题的方法;并介绍与此相关的灵敏度分析和Bayes分析. 实验十六生存期预测 本实验主要涉及数理统计,通过实验复习数理统计中的基本概念;着重介绍了应用回归分析根据有关数据对问题进行预测的方法. *实验十七机器人识别定形工具柄问题 本实验涉及高等数学和线性代数若干知识点通过实验复习多元函数极值理论、线性代数方程组列式与求解等内容并且介绍了求解对称正定型线性代数方程组的几个常用的数值算法方法Jacobi和Gauss-seidel迭代法和一个求解非线性二元方程组的迭代法. 实验十八从物种增长的Malthus模型到浑沌 本实验涉及函数的迭代、不动点和有关的作图.实验通过对一个简单的一维二次函数映射即Logistic映射的讨论介绍了用数值迭代、蛛网迭代和密度分布等方法来研究浑沌;说明了浑沌的倍周期分叉、遍历性和某些普适结构;进而说明计算机和数学结合在科学研究中的重要性. 实验十九人寿保险费额的确定 本实验主要涉及概率论,利用概率论中的期望、方差与中心极限定理以及保险数学的相关知识给出了计算人寿保险费的一些方法. *实验二十生物电分析的小波方法 本实验主要涉及线性代数、微积分与积分变换.通过实验复习向量与矩阵的运算及广义积分等知识.另外,介绍了小波方法的基本概念及用之分析生物电进行疾病诊断的方法. *实验二十一股票期权定价问题的Black-Scholes方程和二叉树方法 本实验涉及概率论和微分方程.实验通过金融中期权定价的Black-Scholes方程的建立和求解复习了数学期望、方差、正态分布和分布函数等概念;介绍了Black-Scholes的建模思想;介绍了金融衍生证券定价的二叉树方法.教材的选用面向21世纪课程教材《数学实验》(乐经良主编),高等教育出版社1999学时安排36学时,其中教学学时16,上机学时20 大学数学二教学大纲
1、课程说明
1.课程性质《大学数学二》是理工科院校电类、信息类专业的一门改革课程,也是一重要的公共基础课程通过本课程的学习,使学生掌握多元函数,矢量函数和复变函数微分学和积分学的基本理论和基本方法培养学生具有能够利用所学的基础知识正确地分析问题、解决问题的综合应用的能力,培养学生具有一定的空间想象和抽象思维的能力,具有比较熟练的科学、准确的计算和严密的逻辑推理的能力作为改革试验,将加强学生对实分析和复分析知识的深入理解和应用加强学生的基本训练,提高学生的数学素质和综合素质,为学生学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础和提供强有力的数学工具
2.课程学习目标和基本要求通过本课程的学习,使学生掌握多元函数,矢量函数和复变函数微分学和积分学的基本理论和基本方法通过基本概念的正确讲解,基本理论的系统阐述,基本运算能力的严格训练,使学生受到严格的思维训练,为学习后继课程提供必要的数学工具通过学习,培养学生具有严密的逻辑推理能力,科学、准确的计算能力和综合利用所学的基本理论、基本方法去解决实际问题的综合应用的能力提高学生的数学素质与综合素质
3.教学方法课堂讲授为主,重点运用启发式教学法,结合课堂练习和多媒体课件的使用,强化教与学的交流,活跃课堂气氛,提高学生的学习兴趣,调动学生学习的积极性与主动性
4.课程学时课程总学时80学时,课堂教学74学时,复习6学时
5.课程类型公共基础课
6.先修课程大学数学
一、线性代数与空间解析几何
7.使用教材与参考书
1.大学数学二,王传荣等编,自编讲义
2.微积分下册第二版同济大学高等教育出版社2004年
3.高等数学辅导(修订本),北京大学数学科学学院,科学技术文献出版社,
20004.高等数学习题集,北京大学数学科学学院,科学技术文献出版社,
19995.复变函数(第四版)西安交通大学,高等数学教研室编,
19966.矢量分析与场论,谢树艺,高等教育出版社,1998
二、教学内容第六章多元函数微分学20学时多元函数的极限、连续、偏导数、全微分的概念与它们之间关系一般欧氏空间映射的极限、连续与微分,矢量函数的极限、连续与导数多元函数的偏导数与微分的计算,特别是复合函数和隐函数的求偏导方法多元函数的Taylor公式,多元函数极值、条件极值偏导数的应用几何应用、数量场的方向导数与梯度第七章解析函数与共形映射14学时复数及其基本运算,复平面上的区域,扩充复平面与复球面复变函数的概念,复变函数的极限、连续的概念及其运算,复变函数可导的充分必要条件解析函数的概念和Cauchy-Rieman方程,解析函数的充分必要条件指数函数、对数函数、双曲函数,反三角函数、反双曲函数的基本性质共形映射的概念,共形映射的区域保角原理,Rieman映射定理和边界对应原则分式线性映射及其性质,实现区域之间的共形映射的基本方法第八章第一型积分16学时第一型积分概念及其性质二重积分在直角坐标系与极坐标系下的计算,三重积分在直角坐标系、柱面坐标与球面坐标下的计算第一型曲线积分与曲面积分的计算第一型积分的几何与物理应用(微元法)第9章第二型曲线积分与复变函数的积分14学时第二型曲线积分、物理意义和性质第二型曲线积分的计算,第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系Green公式及其应用、平面曲线积分与路径无关的条件及其应用复函数的积分的概念及其性质,解析函数的Cauchy积分定理、Cauahy积分公式与高阶Cauahy积分公式,解析函数的原函数与不定积分复变函数的积分Cauchy主值与Hadamand主值、Cauchy型积分解析函数与调和函数的关系第10章第二型曲面积分与场论12学时第二型曲面积分的概念、物理意义和性质第二型曲面积分的计算,Stokes公式、Gauss公式及其应用,外微分式的Stokes公式*第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系场的概念和场量(环量、流量、梯度、散度、旋度、势函数等)的计算几种特殊的场的概念与场量的计算管形场、有势场、调和场等平面向量场与复势,Hamilton算子的概念及其运算公式正交曲线坐标系下场量的表示*大学数学二教学基本要求第六章多元函数微分学
1.理解多元函数的极限、连续、偏导数、全微分的概念与它们之间关系了解一般欧氏空间映射的极限、连续与微分,矢量函数的极限、连续与导数
2.掌握多元函数的偏导数与微分的计算,特别是复合函数和隐函数的求偏导方法
3.理解二元函数的极值与条件极值的概念,了解多元函数的Taylor公式,会求多元函数极值、条件极值会求一些简单的实际问题的最大值与最小值,会求数量场的方向导数与梯度第七章解析函数与共形映射
1.掌握复数及其基本运算,了解复平面上的区域,扩充复平面与复球面的概念
2.理解复变函数的概念,了解复变函数的极限、连续的概念及其运算,掌握复变函数可导的充分必要条件
3.理解解析函数的概念和Cauchy-Rieman方程,掌握解析函数的充分必要条件掌握指数函数、对数函数的基本性质,了解幂函数,一般指数函数,双曲函数,反三角函数、反双曲函数的基本性质
4.理解共形映射的概念,了解共形映射的区域保角原理,Rieman映射定理和边界对应原则掌握分式线性映射及其性质,会求实现区域之间的共形映射第八章第一型积分
1.理解第一型积分概念及其性质,了解测度的概念了解多元函数换元积分的一般公式掌握二重积分在直角坐标系与极坐标系下的计算
2.掌握三重积分在直角坐标系、柱面坐标与球面坐标下的计算
3.会计算第一型曲线积分与曲面积分了解第一型积分的几何与物理应用第11章第二型曲线积分与复变函数的积分
1.理解第二型曲线积分、物理意义和性质了解第二型曲线积分的计算,了解第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系
2.掌握Green公式及其应用、平面曲线积分与路径无关的条件及其应用
3.理解复函数的积分的概念及其性质,理解解析函数的Cauchy积分定理、Cauahy积分公式与高阶Cauahy积分公式,掌握应用解析函数的Cauchy积分定理、Cauahy积分公式计算复积分,了解解析函数的原函数与不定积分了解复变函数的积分Cauchy主值与Hadamand主值、Cauchy型积分会从调和函数求解析函数第12章第二型曲面积分与场论
1.理解第二型曲面积分的概念、物理意义和性质会计算第二型曲面积分,了解Stokes公式,掌握Gauss公式及其应用,了解外微分式的Stokes公式*了解第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系
2.了解场的概念,会计算场的环量、流量、梯度、散度、旋度等掌握场量的计算有势场、调和场等了解平面向量场与复势,了解Hamilton算子的概念及其运算公式了解正交曲线坐标系下场量的表示*大学数学三教学大纲
2、课程说明
1.课程性质《大学数学三》是理工科院校电类、信息类专业的一门改革课程,也是一重要的公共基础课程通过本课程的学习,使学生掌握无穷级数,留数理论及其应用,傅里叶变换,拉普拉斯变换的基本理论和基本方法培养学生具有能够利用所学的基础知识正确地分析问题、解决问题的综合应用的能力,培养学生具有一定的抽象思维的能力,具有比较熟练的科学、准确的计算和严密的逻辑推理的能力作为改革试验,将加强学生对实分析和复分析知识的深入理解和应用加强学生的基本训练,提高学生的数学素质和综合素质,为学生学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础和提供强有力的数学工具
2.课程学习目标和基本要求通过本课程的学习,使学生掌握无穷级数,留数理论及其应用,傅里叶变换,拉普拉斯变换的基本理论和基本方法通过基本概念的正确讲解,基本理论的系统阐述,基本运算能力的严格训练,使学生受到严格的思维训练,为学习后继课程提供必要的数学工具通过学习,培养学生具有严密的逻辑推理能力,科学、准确的计算能力和综合利用所学的基本理论、基本方法去解决实际问题的综合应用的能力提高学生的数学素质与综合素质
3.教学方法课堂讲授为主,重点运用启发式教学法,结合课堂练习,强化教与学的交流,活跃课堂气氛,提高学生的学习兴趣,调动学生学习的积极性与主动性
4.课程学时课程总学时60学时,课堂教学54学时,复习6学时
5.课程类型公共基础课
6.先修课程大学数学
一、大学数学
二、线性代数与空间解析几何
7.使用教材与参考书
1.大学数学三,王传荣等编,自编讲义
2.微积分下册第二版同济大学高等教育出版社2004年
3.高等数学辅导(修订本),北京大学数学科学学院,科学技术文献出版社,
20004.高等数学习题集,北京大学数学科学学院,科学技术文献出版社,
19995.复变函数(第四版)西安交通大学,高等数学教研室编,
19966.积分变换第三版,南京工学院数学教研室,
19957.复变函数与积分变换,盖云英,包革军,科学出版社,2001
二、教学内容纲要第十一章无穷级数22学时级数的基本概念及其运算,正项级数的审敛准则,交错级数审敛准则,绝对收敛与条件收敛的概念实与复幂级数概念与性质,Abel定理,收敛区间(圆)、收敛半径实函数的幂级数展开解析函数的幂级数Taylor展开,Laurent展开内积空间,Fourier级数的收敛定理,周期函数的Fourier级数展开第十二章留数14学时解析函数的孤立奇点及其分类包括无穷点,解析函数的零点与极点的关系,留数定理,外部区域的留数定理,本性奇点的留数的计算,极点的留数的计算留数定理的推广,幅角原理,Rouche定理代数方程的零点个数的确定利用留数定理和留数的计算去计算实积分三种类型利用留数定理计算复积分第十三章积分变换18学时傅里叶变换的概念,单位脉冲函数的概念及其性质,单位脉冲函数的傅氏变换傅氏变换的性质线性性质,移频性质,延迟性质,相似性质,对称性质,微分性质,积分性质,乘积定理,Parserval恒等式,傅氏变换的计算卷积的概念与卷积定理,相关函数拉普拉斯变换的概念,拉普拉斯变换存在定理,拉普拉氏变换的性质线性性质,位移性质,延迟性质,相似性质,微分性质,积分性质,拉氏变换的计算,拉普拉斯逆变换的计算利用拉氏变换解微分方程与积分方程,利用拉氏变换计算积分,线性系统的传递函数*大学数学二教学基本要求第十一章无穷级数
1.理解级数的基本概念及其运算,掌握正项级数的审敛准则与交错级数审敛准则,了解绝对收敛与条件收敛的概念
2.了解实与复幂级数概念与性质,掌握Abel定理,会求收敛区间(圆)、收敛半径
3.掌握实函数的幂级数展开,掌握解析函数的幂级数Taylor展开,Laurent展开
4.了解内积空间的概念,了解Fourier级数的收敛定理,会周期函数的Fourier级数展开第十二章留数
1.理解解析函数的孤立奇点的概念,会将解析函数的孤立奇点进行分类包括无穷点,了解解析函数的零点与极点的关系
2.掌握留数定理与外部区域的留数定理,会计算本性奇点的留数,极点的留数了解留数定理的推广,幅角原理,Rouche定理代数方程的零点个数的确定
3.会利用留数定理和留数的计算去计算实积分三种类型掌握利用留数定理计算复积分第十三章积分变换
1.理解傅里叶变换的概念,了解单位脉冲函数的概念及其性质,了解单位脉冲函数的傅氏变换掌握傅氏变换的几个基本公式
2.掌握傅氏变换的性质线性性质,移频性质,延迟性质,相似性质,对称性质,微分性质,积分性质,乘积定理,Parserval恒等式,会求傅氏变换
3.理解卷积的概念与卷积定理,了解相关函数
4.理解拉普拉斯变换的概念,了解拉普拉斯变换存在定理,掌握拉普拉氏变换的性质线性性质,位移性质,延迟性质,相似性质,微分性质,积分性质
5.掌握拉氏变换的几个基本公式,会求拉氏变换和拉普拉斯逆变换会利用拉氏变换解微分方程与积分方程,会利用拉氏变换计算积分了解线性系统的传递函数*复变函数教学大纲
3、课程说明
1.课程性质《复变函数》是理工科院校非数学专业的一门公共基础课程通过本课程的学习,使学生初步掌握复变函数的基本理论与基本方法,培养学生利用它们去解决实际问题的综合应用能力,为学生学习有关后继课程诸如《积分变换》、《电路原理》、《电子学》、《电磁学》、及《无线电技术》等课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础和提供必要的数学工具提高学生的数学素质和综合素质
2.课程学习目标和基本要求通过本课程的教学,使学生掌握解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射的基本理论和基本方法通过基本概念的正确讲解,基本理论的系统阐述,基本运算能力的严格训练,使学生受到严格的思维训练,为初步掌握数学思维方法打下基础,也为学习后继课程提供必要的数学工具通过学习,培养学生具有严密的逻辑推理能力,科学、准确的计算能力和综合利用所学的基本理论、基本方法去解决实际问题的能力提高学生的数学素质与综合素质
3.教学方法课堂讲授为主,重点运用启发式教学法,结合课堂练习,强化教与学的交流,活跃课堂气氛,提高学生的学习兴趣,调动学生学习的积极性与主动性
4.课程学时课程总学时36学时,课堂教学34学时,复习2学时
5.课程类型公共基础课
6.先修课程高等数学、线性代数
7.使用教材与参考书
1.复变函数第四版,西安交通大学高等数学教研室编,高等教育出版社,
19972.复变函数与积分变换,盖云英,包革军编,科学出版社,
20013.复变函数与积分变换例题与习题解析,孙清华等,湖南大学出版社,
20014.复变函数与积分变换学习辅导与习题选解,苏变萍,王一平,高等教育出版社,2003
二、教学内容纲要第一章复数与复变函数4学时复数的代数运算,复数的乘幂与方根的运算复平面的概念,曲线的概念,区域与单连通区域、多连通区域复变函数的概念,复变函数的极限与连续的概念与性质与二函数的极限与连续的关系第二章解析函数6学时复变函数的导数与微分的概念,复变函数可导的充要条件,柯西-黎曼Cauchy-Rieman方程解析函数的概念,函数在一点解析的概念,解析函数的充要条件初等解析函数指数函数,对数函数,乘幂与幂函数,三角函数,双曲函数,反三角函数与反双曲函数的基本性质平面场的复势*第三章复变函数的积分8学时复变函数的积分的概念与基本性质,利用曲线方程计算复积分柯西Cauchy定理,多连通区域的柯西定理复合闭路定理解析函数的原函数与不定积分,柯西公式,高阶柯西公式解析函数的高阶导数利用柯西定理与柯西公式计算复积分调和函数的概念,解析函数与调和函数的关系,利用柯西-黎曼条件求解析函数第四章级数6学时复数列的极限,复数项级数的收敛性及其基本性质阿贝尔Abel定理,幂级数的收敛半径与收敛圆的求法,幂级数的基本性质解析函数的泰勒Taylor级数与洛朗Laurent级数,将解析函数展开为泰勒Taylor级数与洛朗Laurent级数第五章留数6学时解析函数的孤立奇点的概念,解析函数的孤立奇点包括无穷远点的分类可去奇点、极点、本性奇点,可去奇点、极点、本性奇点的判别法,解析函数的零点与极点的关系留数的定义,留数定理,留数的计算,无穷远点的留数的计算利用留数定理计算三类实积分对数留数与幅角原理*第六章共形映射6学时解析函数的导数的几何意义,保角映射与共形映射的概念分式线性映射的四个性质保角性、保圆性、保圆对称性,保交比不变性几个初等函数所构成的映射幂函数,根式函数,指数函数、对数函数,求将区域共形映为区域的一个共形映射复变函数教学基本要求第一章复数与复变函数
1.掌握复数的代数运算,会求复数的乘幂与方根
2.了解复平面的概念,曲线的概念,理解区域与单连通区域、多连通区域的概念
3.理解复变函数的概念、复变函数的极限与连续的概念与性质与二函数的极限与连续的关系第二章解析函数
1.理解复变函数的导数与微分的概念,掌握复变函数可导的充要条件,柯西-黎曼Cauchy-Rieman方程
2.理解解析函数的概念和函数在一点解析的概念,掌握解析函数的充要条件
3.掌握初等解析函数指数函数,对数函数,三角函数,了解初等解析函数乘幂与幂函数,双曲函数,反三角函数与反双曲函数的基本性质
4.了解平面场的复势*第三章复变函数的积分
1.理解复变函数的积分的概念,掌握复变函数的积分的基本性质,会利用曲线方程计算复积分
2.掌握柯西Cauchy定理,多连通区域的柯西定理复合闭路定理
3.了解解析函数的原函数与不定积分,掌握解析函数的柯西公式,高阶柯西公式解析函数的高阶导数掌握利用柯西定理与柯西公式计算复积分
4.理解调和函数的概念,掌握解析函数与调和函数的关系,掌握利用柯西-黎曼条件求解析函数第四章级数6学时
1.了解复数列的极限,掌握复数项级数的收敛性及其基本性质
2.掌握阿贝尔Abel定理,会求幂级数的收敛半径与收敛圆的求法,了解幂级数的基本性质
3.掌握解析函数的泰勒Taylor级数与洛朗Laurent级数,会将解析函数展开为泰勒Taylor级数与洛朗Laurent级数第五章留数
1.理解解析函数的孤立奇点的概念,会对解析函数的孤立奇点包括无穷远点进行分类可去奇点、极点、本性奇点,了解解析函数的可去奇点、极点、本性奇点的判别法,了解解析函数的零点与极点的关系
2.理解留数的定义,掌握留数定理与留数的计算,掌握无穷远点的留数的计算
3.掌握利用留数定理计算三类实积分
4.了解对数留数与幅角原理*第六章共形映射
1.理解解析函数的导数的几何意义,理解保角映射与共形映射的概念
2.掌握分式线性映射的四个性质保角性、保圆性、保圆对称性,保交比不变性
3.掌握几个初等函数所构成的映射几何性质幂函数,根式函数,指数函数、对数函数,会求将区域共形映为区域的一个共形映射重点复变函数的概念,复变函数的极限与连续的概念与基本性质柯西-黎曼Cauchy-Riemann方程,解析函数的概念,解析函数的充要条件柯西Cauchy定理,柯西公式,高阶柯西公式,利用柯西-黎曼条件求解析函数,利用柯西定理与柯西公式计算复积分阿贝尔Abel定理,将解析函数展开为泰勒Taylor级数与洛朗Laurent级数留数的定义,留数定理,留数的计算,利用留数定理计算三类实积分解析函数的导数的几何意义,分式线性映射的四个性质,求将区域共形映为区域的一个共形映射难点复数的幅角与根式,初等解析函数中的对数函数,乘幂与幂函数,利用柯西定理与柯西公式计算复积分,将解析函数展开为泰勒Taylor级数与洛朗Laurent级数,孤立奇点包括无穷远点的分类可去奇点、极点、本性奇点及其判别,求将区域共形映为区域的一个共形映射积分变换教学大纲
4、课程说明
1.课程性质《积分变换》是理工科院校非数学专业的一门公共基础课程通过本课程的学习,使学生初步掌握积分变换的基本理论与方法,培养学生利用它们去解决实际问题的综合应用能力,为学生学习有关后继课程诸如《电路原理》、《电子学》、《电磁学》、《线性系统理论》及《无线电技术》等课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础和提供强有力的数学工具提高学生的数学素质和综合素质
2.课程学习目标和基本要求通过本课程的学习,使学生掌握傅里叶变换,拉普拉斯变换的基本理论和基本方法通过基本概念的正确讲解,基本理论的系统阐述,基本运算能力的严格训练,使学生受到严格的思维训练,为学习后继课程提供必要的数学工具通过学习,培养学生具有严密的逻辑推理能力,科学、准确的计算能力和综合利用所学的基本理论、基本方法去解决实际问题的能力提高学生的数学素质与综合素质
3.教学方法课堂讲授为主,重点运用启发式教学法,结合课堂练习,强化教与学的交流,活跃课堂气氛,提高学生的学习兴趣,调动学生学习的积极性与主动性
4.课程学时:课程总学时20学时,课堂教学18学时,复习2学时
5.课程类型公共基础课
6.先修课程高等数学、线性代数、复变函数
7.使用教材与参考书
5.积分变换第三版,南京工学院数学教研室编,高等教育出版社,
19976.复变函数与积分变换,盖云英,包革军编,科学出版社,
20017.复变函数与积分变换例题与习题解析,孙清华等,湖南大学出版社,
20018.复变函数与积分变换学习辅导与习题选解,苏变萍,王一平,高等教育出版社,2003
二、教学内容纲要第一章傅里叶变换10学时傅氏积分,傅氏变换,傅氏变换的概念,单位脉冲函数及其傅氏变换,非周期函数的频谱傅氏变换的性质线性性质,位移性质,相似性质,对称性质*,微分性质,积分性质,乘积定理,能量积分*卷积的概念与卷积定理,相关函数*第二章拉普拉斯变换10学时拉氏变换的概念,拉氏变换的存在性定理拉氏变换的性质线性性质,微分性质,积分性质,相似性质,位移性质,延迟性质,初值定理与终值定理*拉氏逆变,利用留数求拉氏逆变换拉氏卷积,卷积定理拉氏变换的应用微分方程的拉氏变换解法,积分方程的拉氏变换解法,线性系统的传递函数*积分变换教学基本要求第1章傅里叶变换
1.了解傅氏积分定理、单位脉冲函数的概念、非周期函数的频谱
2.理解傅氏变换的概念、卷积的概念掌握傅氏变换的性质,熟练掌握利用傅氏变换的性质与一些傅氏变换的基本公式求傅氏变换
3.会函数卷积的计算,会利用卷积定理计算傅氏变换第2章拉普拉斯变换
1.了解拉氏变换的存在性定理、初值定理与终值定理*、线性系统的传递函数*
2.理解拉氏变换的概念,拉氏卷积的概念
3.掌握拉氏变换的性质,掌握利用拉氏变换的性质与拉氏变换的一些基本公式求拉氏变换
4.会利用拉氏卷积定理求拉氏变换,会计算拉氏卷积
5.熟练掌握利用留数求拉氏逆变换会利用拉氏变换解微分方程与积分方程重点傅里叶变换的概念,傅氏变换的性质与计算,卷积的概念与卷积定理拉普拉斯变换的概念,拉普拉氏变换的性质与计算,利用留数求拉普拉斯逆变换难点单位脉冲函数及其傅氏变换,单位阶跃函数的傅氏变换微分方程与积分方程的拉氏变换的解法矢量分析与场论教学大纲
5、课程说明
1.课程性质《矢量分析与场论》是理工科院校非数学专业的一门公共基础课程通过本课程的学习,使学生初步掌握矢量分析与场论的基本理论与方法,掌握在力学、电学、磁学以及通信科学、信息科学等学科中所遇到的具体场的概念的一般数学背景,掌握其运算的一般规律,而且使学生得到一次抽象科学思维的训练培养学生利用它们去解决实际问题的综合应用能力,提高学生的数学素质和综合素质,为学生学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础和提供强有力的数学工具
2.课程学习目标和基本要求通过本课程的学习,使学生掌握矢量分析与场论的基本理论和基本方法通过基本概念的正确讲解,基本理论的系统阐述,基本运算能力的严格训练,使学生受到严格的思维训练,为学习后继课程提供必要的数学工具通过学习,培养学生具有严密的逻辑推理能力,科学、准确的计算能力和综合利用所学的基本理论、基本方法去解决实际问题的能力提高学生的数学素质与综合素质
3.教学方法课堂讲授为主,重点运用启发式教学法,结合课堂练习,强化教与学的交流,活跃课堂气氛,提高学生的学习兴趣,调动学生学习的积极性与主动性
4.课程学时课程总学时16学时,课堂教学14学时,复习2学时
5.课程类型公共基础课
6.先修课程高等数学、线性代数
7.使用教材与参考书
1.矢量分析与场论第二版,谢树艺,高等教育出版社,
19982.微积分下册第二版同济大学高等教育出版社2004年
二、教学内容纲要第一章矢量分析4学时矢性函数的概念,矢端曲线,矢性函数的极限、连续矢性函数的导数,矢性函数的导数的几何意义,矢性函数的微分,矢性函数的导数的公式矢性函数的不定积分,矢性函数的定积分第二章场论8学时场的概念,数量场的等值面,矢量场的矢量线,*平行平面场数量场的方向导数、梯度矢量场的通量与散度,矢量场的环量与旋度几种重要的矢量场有势场、管形场、调和场的力函数与势函数,平面调和场第三章哈米尔顿算子2学时哈米尔顿算子与梯度、散度、旋度的关系,哈米尔顿算子的基本性质第四章梯度、散度、旋度与调和量在正交曲线坐标系中的表示式*4学时曲线坐标的概念,正交曲线坐标系中的弧微分,在正交曲线坐标系梯度的表示式,散度的表示式、调和量的表示式、调和量的表示式矢量分析与场论教学基本要求第1章矢量分析
1.理解矢性函数的概念
2.了解矢端曲线,矢性函数的极限、连续
3.会求矢性函数的导数、不定积分定积分第2章场论
1.了解场的概念、数量场、向量场的概念会求一些简单的矢量线
2.理解有势场、管形场、调和场的概念,掌握求调和场的力函数与势函数的方法
3.掌握数量场的等值面、等值线、方向导数、梯度的求法
4.掌握矢量场的通量与散度的求法会求矢量场的环量与旋度第3章哈米尔顿算子
1.了解哈米尔顿算子与梯度、散度、旋度的关系,哈米尔顿算子的基本性质第四章梯度、散度、旋度与调和量在正交曲线坐标系中的表示式*
1.了解曲线坐标的概念、正交曲线坐标系中的弧微分
2.了解在正交曲线坐标系中梯度、散度、旋度与调和量的表示式重点矢性函数的导数、不定积分、定积分,数量场的等值面的求法,数量场的方向导数和梯度的计算,矢量场的通量、散度、旋度的计算,有势场、管形场、调和场的求法难点矢量线、矢量管的求法,哈米尔顿算子的基本性质,在正交曲线坐标系中梯度、散度、旋度与调和量的表示式线性代数与空间解析几何教学大纲
6、课程说明
1.课程性质《线性代数与空间解析几何》是理工科院校非数学专业的一门公共基础课程通过本课程的学习,让学生懂得行列式矩阵运算初等变换,向量空间线性方程组矩阵的特征值与特征向量二次型空间解析几何的基本理论、基本知识培养学生具有科学、准确的计算能力严密的逻辑推理能力具有一定空间想象力与抽象思维能力提高学生的综合能力与数学素质,为学习后继课程打下必要的数学基础
2.课程学习目标和基本要求通过本课程的学习,使学生掌握线性代数与空间解析几何的基本理论和基本方法通过基本概念的正确讲解,基本理论的系统阐述,基本运算能力的严格训练,使学生受到严格的思维训练,为学习后继课程提供必要的数学工具通过学习,培养学生具有严密的逻辑推理能力,科学、准确的计算能力和综合利用所学的基本理论、基本方法去解决实际问题的能力提高学生的数学素质与综合素质
3.教学方法课堂讲授为主,重点运用启发式教学法,结合课堂练习,CAI课件演示,强化教与学的交流,活跃课堂气氛,提高学生的学习兴趣,调动学生学习的积极性与主动性
4.课程学时课程总学时60学时,课堂教学54学时,复习6学时
5.课程类型公共基础课
6.先修课程
7.使用教材与参考书1.线性代数与空间解析几何第二版电子科技大学高等教育出版社2003年2.线性代数与空间解析几何俞南雁东南大学出版社2000年3.线性代数与空间解析几何,俞正光,李永乐,詹汉生,清华大学出版社,2000年4.微积分下册第二版同济大学高等教育出版社2004年5.线性代数与空间解析几何学习指导俞正光、何坚勇、王飞燕,科学出版社2004年
二、教学内容纲要第一章矩阵及其初等变换8学时矩阵的概念与基本运算矩阵转置及其性质,高斯消元法,初等变换与初等矩阵可逆矩阵的概念非奇异矩阵概念逆矩阵的性质,利用初等变换求逆矩阵分块矩阵及其性质第二章行列式8学时n阶行列式的定义行列式的基本性质拉普拉斯展开定理,利用行列式的性质化为三角形行列式与行列式展开计算行列克拉姆法则,方阵的行列式,伴随矩阵及其性质,矩阵的秩的概念,矩阵秩的性质,满秩矩阵与降秩矩阵概念,非奇异矩阵的等价条件,利用初等变换求矩阵的秩n阶行列式的等价定义介绍第三章几何空间6学时空间直角坐标系向量的概念向量的坐标表示向量的模与方向余弦方向角单位向量向量代数运算与向量的坐标运算向量的数量积向量的向量积与混和积两个向量平行与垂直的充要条件平面的点法式方程平面的一般式截距式直线的对称式方程与一般式方程直线的参数式直线与平面直线与直线平面与平面的夹角,直线与直线直线与平面平面与平面的平行与垂直关系第四章n维向量空间12学时向量空间Rn的定义向量的基本运算向量的线性相关与线性无关的概念与等价条件利用初等变换求向量组的秩与矩阵秩Rn中的内积线性无关组的正交化最大无关组向量空间的基底,向量空间的维数向量的坐标表示向量空间的线性映射的运算与矩阵的运算齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解的结构与解的性质,齐次线性方程组的基础解系利用初等变换求齐次方程组的基础解系通解与非齐次方程组的通解第五章特征值与特征向量10学时矩阵的特征值与特征向量的概念求矩阵的特征值与特征向量,矩阵的相似,矩阵的相似对角化的充分必要条件,向量的正交的概念,施密特正交化,实对称矩阵正交相似对角矩阵第六章二次型与二次曲面10学时正交变换的性质,用正交变换化二次型化标准形配方法化二次型为标准型正定矩阵的性质,正定二次型的判别条件,负定、半正定矩阵与二次型空间曲面,空间曲线常见二次曲面方程及其图形第七章线性空间与线性变换6学时线性空间,线性子空间,线性空间的基与维数,坐标,基变换与坐标变换欧氏空间的内积,标准正交基,线性变换的概念与性质,线性变换的运算,线性变换的矩阵线性代数与空间解析几何教学基本要求第一章矩阵及其初等变换
1.理解矩阵的概念,掌握矩阵的基本运算、矩阵转置及其性质,了解高斯消元法
2.理解初等变换与初等矩阵、可逆矩阵的概念了解非奇异矩阵概念
3.掌握逆矩阵的性质,掌握利用初等变换求逆矩阵,了解分块矩阵的概念,掌握分块矩阵的性质第二章行列式8学时
1.了解n阶行列式的定义掌握行列式的基本性质、方阵乘积的行列式,了解n阶行列式的等价定义介绍
2.掌握拉普拉斯展开定理,会利用行列式的性质化为三角形行列式与行列式展开计算行列了解克拉姆法则
3.理解伴随矩阵的概念,掌握伴随矩阵的性质,理解矩阵的秩的概念,掌握矩阵秩的性质,会利用初等变换求矩阵的秩,了解满秩矩阵与降秩矩阵概念,掌握非奇异矩阵的等价条件第三章几何空间6学时
1.了解空间直角坐标系理解向量的概念了解向量的坐标表示向量的模与方向余弦方向角单位向量掌握向量代数运算与向量的坐标运算
2.掌握向量的数量积向量的向量积与混和积及其运算向量平行与垂直的充要条件
3.掌握平面的点法式方程平面的一般式及其应用了解平面的截距式掌握直线的对称式方程与一般式方程了解直线的参数式会确定直线与平面直线与直线平面与平面的夹角,掌握直线与直线直线与平面平面与平面的平行与垂直关系第四章n维向量空间12学时
1.了解向量空间Rn的定义掌握向量的基本运算理解向量的线性相关与线性无关的概念与等价条件掌握利用初等变换求向量组的秩与矩阵秩
2.了解Rn中的内积掌握线性无关组的正交化方法理解最大无关组的概念,掌握最大无关组的求法了解向量空间的基底,向量空间的维数向量的坐标表示了解向量空间的线性映射的运算与矩阵的运算
3.了解齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解的结构与解的性质,理解齐次线性方程组的基础解系掌握利用初等变换求齐次方程组的基础解系、通解与非齐次方程组的通解第五章特征值与特征向量10学时
1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念掌握矩阵的特征值与特征向量的求法,理解矩阵的相似的概念,掌握矩阵的相似对角化的充分必要条件
2.理解向量的正交的概念,掌握施密特正交化的方法,掌握实对称矩阵正交相似对角矩阵的方法第六章二次型与二次曲面10学时
1.掌握正交变换的性质,掌握用正交变换化二次型化标准形的方法了解配方法化二次型为标准型理解正定矩阵的概念,掌握正定矩阵与正定二次型的判别条件了解负定、半正定矩阵与二次型及其性质
2.了解空间曲面与空间曲线掌握常见二次曲面方程及其图形第七章线性空间与线性变换6学时
1.了解线性空间,线性子空间的概念,会确定线性空间的基与维数,坐标,基变换与坐标变换
2.了解欧氏空间的内积,标准正交基,理解线性变换的概念,了解线性变换的运算、线性变换的矩阵数值计算方法教学大纲一开设这个课的目的意义数值计算方法很早以前就已经建立了但是如果没有计算机的问世,数值计算方法也就不会成为数学中的独立分支现代计算机的出现为大规模的数值计算创造了条件,数值模拟方法已成为实验与理论两大科学研究方法之后的第三种方法,在科学与工程的计算中发挥着重要作用一方面它们本身是一些最基础的算法,是进行科学计算必不可缺少的起码常识;更为重要的是通过对它们的讨论,能够使人们掌握设计数值算法的基本方法和一般原理,为在计算机上解决科学计算问题打下基础因此,学习和掌握计算方法的基本理论,包括算法设计和误差分析,对于将来从事科学研究和工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的二课程简介本课程是面向全校有科学计算要求的各工科专业的本科生而开设的介绍近代计算机常用的计算方法及基础理论主要内容有插值法、曲线拟合、数值微分和积分、方程求根、线性与非线性方程组的解法、常微分方程数值解法其中方程求根、线性与非线性方程组的解法是难点要求学生了解这些数值计算问题的来源,理解它们的数学思想和理论根据,掌握相应计算方法及其计算步骤,能够分析计算中产生误差的原因,能采取减少误差的措施;还希望学生能够解释计算结果的意义,根据计算结果作合理的预测三预修课程 学习计算方法必须以一定的数学基础知识和计算机基础知识为前提在学习本课程之前应预修微积分、常微分方程、线性代数等课程要求学生熟悉至少一门数学软件平台(Mathematica/matlab/Maple)和至少一种编程语言 四.教学内容与教学基本要求第一部分误差2学时内容误差的种类及其来源,绝对误差、相对误差,有效数字,误差的传播与估计,数值计算中的若干准则要求1知道误差的种类及其来源2理解绝对误差、相对误差和有效数字的概念3掌握数值运算中避免大误差产生的若干准则 第二部分非线性方程求根6学时内容二分法,简单迭代法收敛性分析,Newton法与弦割法要求1掌握二分法,会用二分法求非线性方程根的较好近似,了解其误差估计,知道二分法的优缺点2掌握构造迭代格式的基本原理与常用技巧,能对迭代格式作收敛性分析熟练迭代法的求解过程知道其收敛性(局部收敛)3熟练掌握牛顿法的迭代过程,了解牛顿法的局部收敛性,知道牛顿迭代法是平方收敛,了解重根的收敛情况4掌握弦割法的迭代过程,知道弦割法的收敛速度5了解Aitken加速法第三部分线性代数方程组的解法8学时内容Gauss消去法和LU分解,*平方根法,追赶法,向量与矩阵的范数,矩阵的条件数,雅可比迭代法,高斯—塞德尔迭代法和超松弛迭代法要求1掌握高斯消去法的消元过程与回代过程,了解主元对舍入误差的影响,掌握列主元高斯消去法2了解矩阵能三角分解的条件,熟练掌握Doolittle分解3掌握求解三对角线性方程组的追赶法4了解向量和矩阵的范数的意义,会求“
1、
2、∞”三种向量、矩阵范数,知道谱范数的求法5掌握雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法、超松弛迭代法了解高斯—塞德尔迭代法、超松弛迭代法收敛的一些充分条件6了解条件数的意义,了解条件数对解的精度的影响,知道病态方程;了解解的迭代改善法第四部分插值与拟合8学时内容常用的多项式插值方法,分段插值,三次样条插值,曲线的最小二乘拟合要求1了解插值法的概念,知道插值多项式的存在唯一性2熟练掌握拉格朗日插值公式,会用余项估计误差3掌握牛顿插值公式,理解差分、差商的概念4了解分段低次插值的概念及其意义5知道三次样条插值函数的概念,会求三次样条插值函数6知道最小二乘原则求出在最小二乘原则下的一次和二次类型的拟合函数;通过变量替换将非线性的拟合函数形式转换成线性的拟合函数形式第五部分数值积分与数值微分6学时内容牛顿科茨求积法,复合求积法,Ronberg算法,常用的数值微分法要求
1.理解数值求积的基本思想,代数精度的概念
2.了解牛顿科茨求积公式熟练掌握梯形,辛普生及其复化求积公式
3.掌握几个数值微分计算公式第六部分常微分方程初值问题的数值解法4学时内容常用的常微分方程数值方法,龙格—库塔方法要求1掌握欧拉公式及隐式欧拉公式,理解局部截断误差的概念,知道欧拉公式(及隐式)的精度是一阶,了解各种欧拉公式的变形2掌握二阶龙格—库塔公式的导出方法,知道经典龙格—库塔公式,会用龙格—库塔公式求常微分方程初值问题的数值解3了解稳定性及收敛性的意义由于学时有限,这一章只能简介不能细讲重点1误差、有效数字及数值计算中应注意的问题2非线性方程求根重点讲述牛顿迭代法及弦截法3线性代数方程组的数值解法高斯消去法、三角分解法,迭代法4插值与拟合重点掌握拉格朗日插值、牛顿插值、最小二乘法5数值积分与数值微分主要掌握牛顿科茨求积公式、梯形,辛普生及其复化求积公式.6:常微分方程的初值问题的数值解法:欧拉方法和经典龙格-库塔方法.五.实验(上机)内容和基本要求本课程无实验和上机的教学安排,但要求学生结合本专业的特点和所研究的课题,选择部分算法自己上机实现程序尽量通用、结构化,或用现成的数学软件完成至少两大题的数值计算,要求输出计算结果,并对结果进行分析教学实验就是编程解决实际问题,至少做有求解足够规模的问题的大作业4-5次尽管本课程的重点放在运用算法解决问题上,但是仍然鼓励和希望学有余力的同学,对于问题建立模型、算法的性态分析和算法实际运行性质的分析,有实质性的研究和提高福州大学数学与计算机科学学院数学基础课教学团队
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