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文本内容:
习题
3.
11.试用变量分离法求下列一阶微分方程的解.1解:分离变量得两边积分得原方程的通解为2解:分离变量得两边积分得原方程的通解为.也是原方程的解.3解:分离变量得两边积分得原方程的通解为或4解:分离变量得即.两边积分得通解为5解:分离变量得积分得通解为.6解:分离变量得积分得微分方程的通解为7解:分离变量得积分得原方程的通解为.另外也是解.8解:分离变量得积分得原方程的通解为另外也是解.
2.作适当的变量变换求解下列方程.1解:令原方程变形为分离变量得积分得原方程的通解为2解:令原方程变形为分离变量得积分得原方程的通解为.3解:令得作代换原方程变为齐次方程再令该齐次方程变为分离变量得两端积分得原方程的通解为4解:令原方程变形为分离变量得原方程的通解为.5解:原方程即作代换令方程变为分离变量得原方程的通解为6;解:原方程即令方程变为齐次方程再令后一方程又变为积分得整理并代换变量得原方程的解散为:.7解:原方程即亦即1令1式可变为2作代换2式变为3作代换3式变为分离变量得44式两端积分得整理并代回变量得原方程的通解为
3.已知试求函数的一般表达式.解原方程变形为,两端求导得,并由已知式子可知求解该微分方程有,且,故4.求下列初值问题的解1解:所给方程的通解为满足初值条件的特解为2解:原方程变形为通解为特解为3解:原方程变形为通解为特解为4解:原方程变形为通解为特解为5解:原方程变形为通解为.特解为6解:
5.证明方程经过变换可化为变量分离方程并由此求解下列方程:12证明:作变换方程可变为该方程为可分离变量的微分方程.1作变换方程可变为即其通解为即2作变换方程可变为即其通解为即原方程的通解为
6.一曲线经过点它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分试求该曲线方程.解:设所求曲线方程为切点为则切线方程为.切线与轴的交点分别为由中点坐标公式有其通解为所求曲线为补题7.设对任意均有,且,求解:由已知易得故即从而8.设函数在上连续,存在且满足关系式,试求此函数.解:由已知可得解得再利用可得9.已知,求解:已知方程左端作变量代换方程可变为即两端求导整理得微分方程:其解为10.当和取何值时,利用代换可以把方程化为齐次方程?解在代换的作用下方程变为即要使该方程为齐次方程则习题
3.
21.验证下列方程是恰当方程并求出方程的解.1解:因在全平面连续具有一阶连续偏导数且故方程为恰当方程.原方程可变形为即原方程的通解为:2解:因在的区域上连续具有一阶连续偏导数且故所给方程为恰当方程.原方程可变形为即所给方程的通解为:3解:因在全平面连续具有一阶连续偏导数且故所给方程为恰当方程.方程左端的一个原函数为原方程的通解为:4解:因在全平面连续具有一阶连续偏导数且故所给方程为恰当方程.易知原方程的通解为:5题目有误所给方程不是恰当方程.建议删掉,这类题不必要这么多,因第3题的求解包含该类题.6解:因在不包含的区域上连续具有一阶连续偏导数且故方程为恰当方程.原方程可变形为即所以原方程的通解为:或7解:原方程即:因在全平面连续具有一阶连续偏导数且故方程为恰当方程.原方程变形为:即所以方程的通解为:题目已换8解:因在区域上连续具有一阶连续偏导数且故所给方程为恰方程.从而存在使.由知再利用得即有.所以方程左端的一个原函数为通解为题目已换9解:因在区域上连续具有一阶连续偏导数且故方程为恰当方程.又原方程的通解具有形式
2.试求变量分离方程的积分因子.解:用乘方程的两端得该方程为已分离变量的微分方程即为恰当方程故为原方程的积分因子.
3.求下列方程的解:题目已换1解:所给方程不是恰当方程但因故原方程有积分因子.从而方程为恰当方程易知其通解为2解:因故原方程有积分因子.从而方程为恰当方程其通解为即题目已换3解:因故方程有积分因子.从而为恰当方程易知其通解为也是解.或将通解写成当时4解:原方程可变形为即故原方程的通解为5解:所给方程不是恰当方程可变形为有积分因子故通解为:或.注意也是原方程的解.注:所给方程可看成是关于与的一阶线性微分方程.6解:因故原方程有积分因子.从而为恰当方程.其通解为即7解:将方程分成两部分Ⅰ:和Ⅱ:对方程Ⅰ而言.对方程Ⅱ而言原方程有积分因子取利用可得故原方程的通解可表示为即亦即从而原方程的通解为增加题8解:将方程分成两部分Ⅰ:和Ⅱ:对方程Ⅰ而言对方程Ⅱ而言原方程的积分因子为即取则得因此可取.从而原方程的积分因子为对也适合利用即得原方程的通解为即.题目已换
4.假设积分因子具有形式或解下列方程.1解:寻找形如的积分因子.因故.从而原方程有积分因子.方程为恰当方程其通解为即亦即2解:寻找形如的积分因子.因故.从而原方程有积分因子.原方程可化为恰当方程求出其通解为即3解:寻找形如的积分因子.因故原方程有积分因子.从而原方程可化为恰当方程求它的积分得即题目已换
5.求贝努利方程的积分因子.解:贝努利方程两端同乘并作代换可化为一阶线性微分方程而一阶线性微分方程的积分因子为.故贝努利方程的积分因子为题目已换6.设函数连续、可微且,试证方程有积分因子证明:令原方程可化为即用乘此方程可化为已分离变量的微分方程即为恰当方程:所以原方程有积分因子.增加题
7.设及连续试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子.证明:设方程有仅依赖于的积分因子则方程为恰当方程从而有即可求得故所给方程为一阶线性微分方程.另一方面若所给方程的一阶线性微分方程则.此时故方程有仅依赖于的积分因子增加题8.设方程中的函数满足关系其中分别为和的连续函数,试证该方程有积分因子证明:设是所给方程的积分因子则满足利用已知条件并整理得现在找使上式恒成立.不妨设且由此两式可解得增加题9.设是方程的两个积分因子,且常数,求证(为任意常数)是该方程的通解.证明:因是方程的两个积分因子故有同时常数则.要证为方程的通解只需证明沿方程的导数恒等于零.事实上习题
3.3题目已换
1.求下列方程的通解.1解:将解出得通解为2解:关于解这个二次方程得两个一阶方程和.这两个方程是线性的其解分别为和.3解:这是一个关于的奇数次代数方程且系数为实数至少有一个实根设为则.又满足微分方程故方程的通解为4解:令方程明显有根即有.从而满足方程故原方程的通解为5解:引入参数则.因为所以从而.原方程的参数解为.或6解:引入参数则.因为所以即有由得;由得.方程的解为:7解:引入参数则.因故原方程的参数解为8解:设关于解方程得.从等式及上式可得解出和.原方程的解为和9解:令代入方程得.由得因此通解的参数表示为消去可得10解:令代入上方程可解出显然是原方程的解.从而利用得.故原方程的解为.11解:令代入方程可解得从而.利用等式得积分得原方程解的参表示为
2.已知某曲线它的方程满足微分方程且与另一曲线在点相切求此曲线方程.解:由于所求曲线方程包含在微分方程的通解中所以先求解微分方程.令则.利用得即解得.原方程的通解为另外也是解.由已知所求曲线方程满足故曲线方程为习题
3.4求下列高阶方程的解.1解:令原方程化为其解为即原方程的通解可表示为:2解:令则.原方程化为.当时当时解方程即亦即综上所述原方程的通解可表示为:3解:从而方程的通解为.当时已包含在通解中以下题目已换4解:令则.又再故原方程的参数解为5解:这是关于的齐次方程.令则代入原方程得从而原方程的通解为:6解:原方程可化为进一步有原方程的通解为:.同时也是解.7解:原方程可化为故原方程的解为即.8解:原方程可变形为令则有这是一阶线性微分方程其通解为.即有故方程的解为9解:原方程可变形为两端积分得再积分得故原方程的解为删掉该题
2.习题
4.
11.求方程通过点的第三次近似解.解:所给方程满足解的存在唯一性定理.
2.求方程通过点的第二次近似解.解:所给方程满足解的存在唯一定理.
3.求初值问题;的解的存在区间,并求第二次近似解给出在解的存在区间的误差估计.解:1由存在定理知解的存在区间是其中.而现在故23第次近似解与真解的误差估计公式为.其中为Lipschitz常数因故可取.则以下题目已发生变化
4.采用逐步逼近法求解初值问题.解:显然方程右端函数满足定理
4.
1.1条件.按逐步逼近法公式初值问题的各次近似解为原初值问题的解为
5.验证方程的右端函数在条形区域(为正常数)上满足李普希兹条件.解:因故其中即在所讨论的条形区域上满足李普希兹条件.这里不存在全平面适用的
6.验证方程的右端函数在区域上满足李普希兹条件解:由得可取李普希兹常数则故在所讨论的区域上满足李普希兹条件.
7.求初值问题解的存在区间.解:设则1在内连续;2有界.故原初值问题的解在上存在唯一.即原初值问题的解在上存在唯一.下求.令则在处取最大再利用解得从而解的最大存在区间为
8.证明初值问题的解在区间上存在.证明:取矩形区域1显然在上连续.2即关于满足李普希兹条件所以即解的最大存在区间为.
9.如果函数在带形区域上连续且关于满足李普希兹条件试证明方程
4.
1.1满足条件的解在整个区间上存在唯一.提示:用逐步逼近法取与教材定理
4.
1.1类似.
10.假设函数于的邻域内是的不增函数,试证方程满足条件的解于的一侧最多只有一个证明:设都是方程满足的解现要证当时.用反证法.设存在使不妨设.由的连续、可微及知必有使且当使.又当时上式的左端;由于对是不增函数所以上式右端为非正这是矛盾的.即不存在使.因此对有11.设定义于,满足条件其中,证明方程存在唯一的一个解.证明:条件说明在上连续任取作逼近序列考虑级数其部分和.因此只要证明此级数收敛则序列亦收敛.有估计用归纳法可知由于所以级数收敛从而有收敛.设由的连续性知:即是的解.另一部分设是方程的两个解则.又而故只有当时上面式子才成立.
12.在条形区域内假设方程的所有解都唯一对其中任意两个解如果有则必有证明:设因故用反证法.若不成立则在存在的同一区间上由的连续性必存在点使从而这与解的唯一存在相矛盾.故必有.
13.设方程中的在上连续且证明:对方程的任一非零解函数严格单调递增其中证明:只需证明时首先注意是微分方程的解故成立.从而又因为在上连续方程的解存在唯一任意与不能同时成立.故在上于是在上严格单调增加.
14.设在区域上连续关于是非减的且满足当时.试用逐次逼近法证明:初值问题的解在上存在其中.证:1初值问题等价于积分方程.2作逐次逼近序列3证明序列.由及数学归纳法对一切有.故4证明序列收敛.主要利用单调有界数列必有极限.注意到关于是非减的故当时有由归纳法知:这样单调有界的数列必有极限设.5证是初值问题的解.由于的收敛还是一致的将逼近序列两端取极限即得是积分方程的.事实上即.从而是初值问题的解.习题
4.
21.讨论方程分别过点的解的最大存在区间.解:所给方程右端函数满足解的延拓定理条件方程的通解为.过点的解为它可向左无限延拓且故解的最大存在区间为;过点的解为它可向右无限延拓且故解的最大存在区间为.
2.如果方程右端的函数在全平面上有定义、连续和有界同时存在关于的一阶连续偏导数则方程过点的解均可延拓到区间.证明:由于连续故满足局部李普希兹条件又连续故所给方程满足延拓定理过点的解可延拓到的边界.由已知存在使即积分曲线必夹在两直线与所形成的水平锥形区域之内而无限延拓到的边界故解的存在区间必为.
3.证明:对于任意的及满足条件的方程的满足条件的解在上存在.证明:设易知在全平面上连续故方程满足存在唯一及延拓定理.首先注意均为方程在上的解.一方面由解的延拓定理过点的解可向左右两端延拓而无限接近区域的边界.另一方面由解的唯一性定理过点的积分曲线夹在两直线与之间而不能越出.故解的存在区间为.
4.讨论方程解的最大存在区间以及当趋于这区间的两端点时解的性状.解:易知函数在全平面连续且关于有连续的偏导数方程过任意点的解存在唯一可延拓到无穷远.注意到是方程的解用直线将全平面分为三个区域:123在区域上,由于,任意初值,方程满足初值的解单调增加,存在区间为.当时,以为渐近线,当时,以为渐近线.在区域上,由于,任意初值,方程满足初值的解单调减少,存在区间为.当时,以为渐近线,当时,以为渐近线.在区域上,由于,任意初值,方程满足初值的解单调减少,存在区间为.当时,以为渐近线,当时,以.其积分曲线分布如图.
5.设是由不等式:所确定的区域方程的任一饱和解均有界其中在区域上连续则的存在区间必为整个区间.证明:设饱和解的存在区间为由于有界故存在常数使.任取一个小的正数在区域上应用延拓定理知当及时解趋于的边界但由于解有界它不能在方面趋于边界只能有及.由的任意性得习题
4.
31.略
2.证明Picard迭代序列满足Arzela-Ascoli引理的条件.证:考虑初值问题其中在上连续关于满足Lipschitz条件则初值问题的解在区间上存在唯一.其中该结论的证明过程中构造的Picard迭代序列为且有故在上一致有界.又由于对任意的有故在上是等度连续的.综上所述在上满足引理条件.增加题
3.证明函数序列1在区间上是一致有界且等度连续的;证:只证函数序列是等度连续.有所以当时有即是等度连续的.2在区间上是一致有界但非等度连续的;证明:只证函数序列是非等度连续的.取对任意当时虽有但.故是非等度连续的.3在区间上既不是一致连续的也不是等度连续的.证:略.增加题
4.通过下面三个例子说明Arzela-Ascoli引理中三个条件一致有界等度连续闭区间缺一不可.123解:1在上函数序列显然是等度连续的但不一致有界.这个函数显然不可能找出一致收的子列.2在区间上函数序列显然是一致有界的因为对任意的有;但不是等度连续的因为取则对任何虽有但只要充分大时有下面我们说明这个函数序列没有一致收敛的子列.因为任何子列在上是连续的若一致收敛则其极限函数是连续的但显然是不连续的所以在上没有一致收敛的子列.3显然在上是一致有界的.又有故在上也是等度连续的.可以证明这个函数序列不存在一致收敛的子列因为对任何子列及任意指定的当时.但无论多么大却有.
5.利用Peano存在定理证明隐函数定理的存在性部分.证明:隐函数定理的叙述是:设在的邻域内连续且有连续偏导数以及则在的某一邻域内存在唯一的函数满足它是单值连续的有连续导数且.下面我们用Peano存在定理的结论来证明的存在.作微分方程初值问题由隐函数存在定理的假设初值问题右端函数在的某邻域内连续按Peano存在定理存在解满足即亦即从而有由假设因此有由于是微分方程的解显然具有连续导数.
6.利用Osgood条件讨论初值问题常数的解的唯一性问题.解:因故当时在平面内任意有界闭区域内连续.从而存在使.故有其中记则连续函数且由Osgood唯一性定理知此时初值问题有唯一的解.当时初值问题的解为注意也是原方程过的解所以原初值问题的解不唯一.习题
4.
41.设是闭区间上的连续函数且试证当时证:设则且即有两端积分得即所以
2.用Gronwall不等式证明定理
4.
1.1中唯一性部分.证明:设初值问题有两个解.下面我们仅对区间来证明另一半区间同样证明.因应用Gronwall不等式这里可以有故得
3.如果函数在某区域内连续且关于满足李普希兹条件李普希兹常数为则对方程的任意两个解及在它们公共存在的区间内成立不等式其中为所考虑区间内的某一值.证明:设及在区间上有定义令则从而.因此对当时有.对于区间令并记则原方程变为并且已知它有两解及.类似上述推导过程令可得注意到及就有因此两边取平方根即得.
4.设在中连续且关于满足局部Lipschitz条件.进一步设存在非负连续函数使得.则初值问题的解在存在.证明:设的最大存在区间为.考虑初值问题这是一个可分离变量的微分方程直接求解得由第一比较定理的推论有同样有从而可知.类似可以证明习题
4.
51.假设函数及都在区域内连续又是方程
4.
1.1满足初始条件的解试证存在且连续并写出其表达式.证:略.
2.假设函数和在区间上连续是方程的解.试求及并从解的表达式出发利用对参数求导数的方法检验所得结果.解:显然线性方程右端函数满足解对初值的可微性定理故我们知道一阶线性微分方程满足初值解为并注意含参积分的求导公式:可得
3.给定方程试求在时的表达式.解:因在时连续故当时方程满足解对初值的可微性定理及解的存在唯一性定理.所以其中从而题目已改因没讲参数时的可微
4.设给定初值问题的解为求解:因在全平面连续方程满足解对初值的可微性定理及解的存在唯一性定理.所以其中从而PAGE30。