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第三章微分中值定理与导数的应用答案§
3.1微分中值定理1.填空题(1)函数在上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是.(2)设,则有3个实根,分别位于区间中.2.选择题(1)罗尔定理中的三个条件:在上连续,在内可导,且,是在内至少存在一点,使成立的(B).A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件(2)下列函数在上满足罗尔定理条件的是(C).A. B. C. D.(3)若在内可导,且是内任意两点,则至少存在一点,使下式成立(B).A.B.在之间C.D.3.证明恒等式.证明令,则,所以为一常数.设,又因为,故.4.若函数在内具有二阶导数,且,其中,证明:在内至少有一点,使得.证明由于在上连续在可导且,根据罗尔定理知,存在,使.同理存在,使.又在上符合罗尔定理的条件,故有,使得.5.证明方程有且仅有一个实根.证明设, 则,根据零点存在定理至少存在一个,使得.另一方面,假设有,且,使,根据罗尔定理,存在使,即,这与矛盾.故方程只有一个实根.6.设函数的导函数在上连续,且,其中是介于之间的一个实数.证明存在使成立.证明由于在内可导,从而在闭区间内连续,在开区间内可导.又因为,根据零点存在定理,必存在点,使得.同理,存在点,使得.因此在上满足罗尔定理的条件,故存在,使成立.
7.设函数在上连续在内可导.试证:至少存在一点使证明只需令,利用柯西中值定理即可证明.8.证明下列不等式(1)当时,.证明设,函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件,且故即因此,当时,.(2)当时,.证明设,则函数在区间上满足拉格朗日中值定理得条件,有因为,所以,又因为,所以,从而.§
3.1洛毕达法则1.填空题(1)(2)0(3)=(4)12.选择题(1)下列各式运用洛必达法则正确的是(B)A.B. C. 不存在D.=(2)在以下各式中,极限存在,但不能用洛必达法则计算的是(C)A.B.C. D.3.求下列极限(1).解=.(2).解===.(3).解==.(4).解==.(5).解 ,==.(6).解(7).解.(8).解===.(9).解因为,所以=1.§
3.3泰勒公式1.按的幂展开多项式.解,同理得,且.由泰勒公式得=.2.求函数的带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式.解因为,所以==.3.求一个二次多项式,使得.解设,则,.,故,则为所求.4.利用泰勒公式求极限.解因为,所以==,故.5.设有三阶导数且证明在内存在一点使.证明因为,所以.由麦克劳林公式得(介于0与之间),因此,由于,故.§
3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1.填空题(1)函数的单调增加区间是,单调减少区间.(2)若函数二阶导数存在,且,则在上是单调增加.(3)函数在内单调增加,则.(4)若点(1,3为曲线的拐点,则,,曲线的凹区间为,凸区间为.2.单项选择题(1)下列函数中,(A)在指定区间内是单调减少的函数. A. B. C. D. (2)设,则在区间内(B).A.单调增加,曲线为凹的B. 单调减少,曲线为凹的 C. 单调减少,曲线为凸的D.单调增加,曲线为凸的(3)在内可导且当时则DA.任意B.任意C.单调增D.单调增(4)设函数在上二阶导数大于0则下列关系式成立的是(B)A.B.C.D.2.求下列函数的单调区间(1).解,当时,所以函数在区间为单调增加;当时,,所以函数在区间为单调减少.(2).解,当,或时,所以函数在区间为单调增加;当时,,所以函数在区间为单调减少.(3)解,故函数在单调增加.3.证明下列不等式(1)证明对任意实数和成立不等式.证明令,则,在内单调增加.于是由就有即(2)当时.证明设,,由于当时,因此在单调递增当时故在单调递增当时有.故当时因此.(3)当时,.证明设,当,,所以在单调递增当时故在单调递增从而当时有.因此当时,.4.讨论方程其中为常数在内有几个实根.解设则在连续且,由,得为内的唯一驻点.在上单调减少,在上单调增加.故为极小值,因此在的最大值是最小值是.(1)当或时方程在内无实根;(2)当时有两个实根;(3)当时,有唯一实根.5.试确定曲线中的a、b、c、d,使得处曲线有水平切线,为拐点,且点在曲线上.解,所以解得.6.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间(1)解令得,当时不存在.当或时当或时.故曲线在上是凸的在区间和上是凹的,曲线的拐点为. (2)拐点及凹或凸的区间解,.当时,不存在;当时,.故曲线在上是凸的在上是凹的,是曲线的拐点7.利用凹凸性证明:当时证明令则.当时故函数的图形在上是凸的从而曲线在线段(其中)的上方,又因此即.§
3.5函数的极值与最大值最小值1.填空题(1)函数取极小值的点是.(2)函数在区间上的最大值为,最小值为.2.选择题(1)设在内有二阶导数,,问还要满足以下哪个条件,则必是的最大值?( C)A.是的唯一驻点B.是的极大值点C.在内恒为负D. 不为零(2)已知对任意满足,若,则( B )A.为的极大值B.为的极小值C.为拐点D.不是极值点不是拐点(3)若在至少二阶可导且则函数在处AA.取得极大值B.取得极小值C.无极值D.不一定有极值3.求下列函数的极值(1) .解由,得.,所以函数在点取得极小值.(2).解定义域为,,令得驻点,当时,,当时,.因此为极大值.4.求的在上的最大值与最小值.解.由,得.而所以最大值为132,最小值为7.5.在半径为的球内作一个内接圆锥体,问此圆锥体的高、底半径为何值时,其体积最大.解设圆锥体的高为底半径为故圆锥体的体积为,由于,因此,由,得,此时.由于内接锥体体积的最大值一定存在且在的内部取得.现在在内只有一个根故当时内接锥体体积的最大.
6.工厂与铁路线的垂直距离为点到火车站的距离为.欲修一条从工厂到铁路的公路已知铁路与公路每公里运费之比为,为了使火车站与工厂间的运费最省问点应选在何处? 解:设与间的运费为则(),其中是某一正数.由得由于其中以为最小因此当ADkm时总运费为最省.7.宽为的运河垂直地流向宽为的运河.设河岸是直的问木料从一条运河流到另一条运河去其长度最长为多少解问题转化为求过点的线段的最大值.设木料的长度为,木料与河岸的夹角为,则,且.则,由得此时,故木料最长为.§
3.6函数图形的描绘1.求的渐近线.解由,所以为曲线的铅直渐近线.因为所以为曲线的斜渐近线.2.作函数的图形解函数的定义域为..令,得;令,得.列表讨论如下+-++----+极大值拐点由于,,所以,是曲线的斜渐近线.又因为,所以是曲线的铅垂渐近线.当时;当时.综合上述讨论,作出函数的图形如下§
3.7曲率1.填空题:(1)曲线上任一点的曲率为,上任一点的曲率为__0__.(2)曲线在其顶点处曲率为___2____,曲率半径为.(3)曲线的弧微分.2.求常数,使在处与曲线相切,且有相同的凹向与曲率.解由题设可知函数与在处由相同的函数值,一阶导数值,二阶导数值,故.3.曲线弧上哪一点处的曲率半径最小求出该点的曲率半径.解曲线在一点处的曲率为令,当时故在上单调增加因此在上的最大值是即在点处的曲率半径最小其曲率半径为.4.求椭圆在点处的曲率及曲率半径.解因此曲率,曲率半径.§
3.7方程的近似解
1.试证明方程在区间内有唯一的实根,并用切线法求这个根的近似值,使误差不超过
0.
01.证明:令,函数在单调递增.在上连续,且故方程在区间内有唯一的实根.求近似值的过程略.第三章综合练习题1.填空题(1)0.(2)函数在区间内单调减少,在区间内单调增加.(3)曲线的渐近线是.(4)1.2.求下列极限(1)解=====.(2)解===.3.求证当时,.证明令则当时,故在单调增.当时,有,即. 4.设在上可导且,证明存在点使.证明设则,且.由拉格朗日中值定理知存在,使即.5.设函数在上连续在内具有二阶导数且存在相等的最大值且证明存在使得.证明设分别在取得最大值,则且.令.当时由罗尔定理知存在使进一步由罗尔定理知存在,使,即当时,由零点存在定理可知,存在,使.由于,由前面证明知存在,使,即.6.设证明方程有且仅有一个正的实根.证明设. 当,显然只有一个正的实根.下考虑时的情况.先证存在性 因为在内连续,且,,由零点存在定理知,至少存在一个,使,即至少有一个正的实根.再证唯一性假设有,且,使,根据罗尔定理,存在,使,即,从而,这与矛盾.故方程只有一个正的实根.7.对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明,一个中等水平的工人早上8时开始工作,在小时之后,生产出个产品.问在早上几点钟这个工人工作效率最高?解因为令得.又当时,.函数在上单调增加;当时,,函数在上单调减少.故当时,达到最大即上午11时这个工人的工作效率最高.23-2-1PAGE5。