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第十二章微分方程(数学竞赛部分)1.若,求.解由得,,故,2.设在区间上连续,且满足方程,且,求函数.解由已知得,,上式对求导,得,即,是一阶线性微分方程,所以,将代入,有,故3.求满足的可微函数.解,原式可化为,上式对x求导,得,即1式对x求导,得2式对x求导,得,于是,该微分方程通解为由12,可得,故4.设在,求.解由已知,得,又5.设是二阶常系数线性微分方程的一个特解,求解1将代入方程有,比较等式两端同类项系数,可得解得,,,所以解2由二阶常系数线性微分方程解的结构可知,是常系数齐次线性微分方程的两个特解,,是微分方程的特征根所以特征方程为,即,故,又是非齐次线性微分方程的一个特解,代入方程有,故,所以6.解所以7.设函数在内具有二阶导数,且是的反函数
(1)试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程;2求变换后的微分方程满足初始条件的解分析将转化为比较简单,=,关键是应注意==然后再代入原方程化简即可解1由反函数的求导公式知,于是有==代入原微分方程,得*2方程*所对应的齐次方程的通解为设方程*的特解为,代入方程*,求得,故,从而的通解为由,得.故,所求初值问题的解为8.利用代换将方程化简,并求出原方程的通解解由,即,可得,,代入原方程,得*此方程所对应的齐次方程的通解为,设方程*的特解为代入方程*,求得,,从而,方程的通解为,再将代入,得原方程通解为9.设函数可导且,二元函数满足,求解令,则,代入,整理得,是可分离变量微分原方程其通解为,再由得,故10.设函数方程,求解微分方程的通解为,由得于是.11.容器侧壁的形状问题一容器的侧面是由曲线绕铅直中心轴y轴旋转而成其中在连续容器底面过x轴的水平截面为半径R=1的圆即f0=
1.当匀速地向容器内注水时若液面高度h的升高速度与2V+π成反比这里V表示当时容器内水的体积求容器侧壁的轴截线.解设在时刻t容器内水的液面高度为h而水的体积为V则有.于是有.根据题意代如上式可得化简得.由f0=1可得上式两端同时对h求导得即.求出满足f0=1的解为即容器侧壁的轴截线为.第5页共5页。