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文本内容:
《数列、数学归纳法、数列极限》松江四中朱成兵第一部分《数列》
一、知识点1等差数列的通项公式推广;等比数列的通项公式推广2等差数列的前项和公式,;等比数列的前项和公式,3等差数列中,若,则;等比数列中,若,则4两个等差数列与的和差的数列、仍为等差数列;两个等比数列与的积、商、倒数组成的数列、、仍为等比数列5等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列;等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列6若为等差数列,则是等比数列;若是等比数列,则是等差数列7等差数列中,当时,是关于的一次式;当时,是一个常数8等差数列前项和公式当时,是关于的二次式且常数项为0,即;当时,是关于的正比例式;等比数列的前项和公式当时,是关于的正比例式9等差数列的任意连续项的和构成的数列、、、、……仍为等差数列;等比数列的任意连续项的和构成的数列、、、、……仍为等比数列10数列的通项与前项和的关系
二、专题复习专题一基本量法根据等差(比)数列的定义,它由首项和公差(比)所确定,因此首项和公差(比)是等差(比)数列的基本量,解决等差(比)数列的问题可以把问题中的其它量转化为求基本量首项和公差(比),使求解的数列问题转化为求首项和公差(或公比)的等式或不等式问题例题
1.是等差数列,且,求的值解法一(基本量法)得解法二,又,而注意在解答等差数列或等比数列的有关问题时,“基本量法”是常用方法,但不一定是最好的方法不过,对于条件不复杂的问题,“基本量法”是够用的专题二方程思想在等差数列中,有五个量,它们是项数、首项、通项、公差及前项和基本公式有三个;;在等比数列中,也有五个量,它们是项数、首项、通项、公比及前项和基本公式也有三个;;每个公式中含有四个量,一般情况下,在五个量中知道了其中的三个量,通过求代数式的值或解方程、方程组可以求出其他两个量这种解法称为“知三求二法”,它渗透了方程的思想方法例题
1.在等比数列中,,,,求和解专题三函数思想由于数列可以看作定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数,因此数列和函数之间有着密切的联系,许多数列问题可以用函数的方法来处理,通过研究函数的性质(如函数的单调性、最大值和最小值等)来解决有关的数列问题特别地,对于等差数列有
(1)等差数列
(2)等差数列
(3)时,递增;时,为常数列;时,递减例题
1.在等差数列中,若,且,问数列前多少项之和最大?解法一根据等差数列的性质,公差不为0的等差数列,其前项和是的二次函数(其中常数项为0)设,因为,故此二次函数对称轴,且由可得,所以因此,该数列前13项之和最大解法二由得,又,故,因为,所以该等差数列单调递减且正数项有限,令,又因为,故解法三由得,又,故这是关于正整数的二次函数且开口向下,所以当时,最大解法四因为,所以即,则,所以,而,由于等差数列可以看成是关于正整数的单调函数,所以,因此前13项之和最大专题四类比思想等差数列与等比数列在定义、通项公式、递推公式以及其他一些相关的性质和解题方法上,都有类比之处例题
1.2000年高考第12题“在等差数列中,若则有等式成立,类似上述性质,相应地在等比数列中,若则有等式成立”答案练习1
(1)已知等差数列的前项和记为,且,求证;
(2)类比
(1),在等比数列中,你能够得出什么结论?并证明你得出来的结论解答
(1)证明在等差数列中,设是其前项的和,因为、、成等差数列,所以,即
(2)类比猜测等比数列的前项积记为,且,,则证明在等比数列中,设是其前项的积,因为、、、成等比数列,所以即练习2
(1)已知是等差数列,且、,求证
(2)类比猜测正项等比数列{中相应的命题并加以证明证明
(1),==
(2)类比猜测已知为等比数列,且,且、,则证明专题五分类思想在运用等比数列的前项和公式时,要注意按公比和分类讨论;在已知求时,应先分和两种情况分别运算,然后验证能否统一例题
1.已知为等比数列,且,求与的值解答
(1)当时,,故
(2)当时,两式相除得综上所述或练习已知为等比数列的前项和,且,,求答案76例题
2.已知数列的前项和,则通项=解答
(1)当时,
(2)当且,由于时,所以,追问若数列的前项和为,则这个数列一定是BA等差数列,B非等差数列C常数列D等差数列或常数列练习1已知数列的前项和,则通项=2若数列的前项和为,,则2解答
(1)时,
(2)且时,由于时,因此,,专题六化归思想有意识加强化归的思想方法的运用,将非等差数列、非等比数列化归为等差数列、等比数列,使原问题得以解决例题1在数列中,,,(),求解得,从而,即,数列是以为首项,以2为公比的等比数列,所以,,得例题2在数列中,,,(),求解由得,数列是以1为首项,以2为公差的等差数列,即,例题3在数列中,,,(),求解由,可设,即,对比系数,于是是以2为首项,以2为公比的等比数列,得到形如的数列可构造等比数列,从而求出通项专题七求通项公式
(一)由递推公式求通项递推数列求通项的常用方法有累加法、累乘法、构造新数列法累加法例题1在数列中,,,(),求解由知得到……累加得即注意形如的数列可通过累加法求通项累乘法例题2在数列中,,,(),求解由知得到,,,……,累乘得,,,即注意形如的数列可通过累乘法求通项构造新数列法例题3在数列中,,,(),求例题4在数列中,,,(),求例题5在数列中,,,(),求例题
3、
4、5的解答过程见专题六化归思想的例题
1、
2、3
(二)由前项和求通项例
1.已知数列的前项和,求通项解
(1)时,
(2)且时,由于时,因此,,练习已知数列的前项和,求通项答案例
2.已知数列的前项和为,且,求数列的通项公式分析已知与间的递推关系一般利用,将问题转化为与间的递推关系或与间的递推关系,再利用变形构造常见数列求通项解
(1)
(2)得,即,得为以为首项,以为公比的等比数列因此,,专题八数列求和数列求和的常用方法公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等关键是找数列的通项结构
(一)、分组求和法例题
1.求和…解…=+==形如的数列可以化归为等差、等比数列求和
(二)、倒序相加法例题
2.设,利用课本中推导等差数列前项和公式的方法,求的值(03上海春考题)解设
(1)则
(2)易证明
(1)+
(2)得得,即注意此题型特征与首末两端等距离的两项间的关系有一定的规律(相等或和相等等)倒序相加法可应用于解决函数、三角、立体几何和组合等方面的问题练习
1.求和答案
2.求和答案
(三)、错位相减法求和例题
3.已知数列是等差数列,且,(03年高考北京)
(1)求数列的通项公式;
(2)令,()求数列的前项和的公式解
(1)易得,
(2),设即当时,两式错位相减,得当时,综合可得注意当一个数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到的可以利用乘公比错位相减法练习若,求数列的前项和的公式
(四)、裂项法求和例题
4.已知,求数列的前项和的公式解其题型特征数列中的每一项都能拆成相邻两项的差的形式
(五)、含绝对值的求和例题
5.设数列的通项为,求值(01年上海理2).解时,;时,设的前项和为;设的前项和为=()+()=+===58练习数列满足,,求数列的前项和为答案专题九应用性问题例题1.(03春22)在一次人才招聘会上,有两家公司分别开出了它们的工资标准公司允诺第一个月工资为1500元,以后每年月工资比上一年月工资增加230元;公司允诺第一年月工资数为2000元,以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%,设某人年初被两家公司同时录取.试问1若该人分别在公司或公司连续工作年,则他在第年的月工资收入分别是多少?2若该人连续在一家公司工作10年,仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不记其它因素),该人应该选择哪家公司,为什么?3在公司工作比在公司工作的月工资收入最多可以多多少元(精确到1元),并说明理由.解答:
(1)an=1500+230·(n-1),=2000(1+5%)n-1,(n∈N);
(2)选择A公司;
(3)当n=19时,an-bn取得最大值约为827元.例题2.(05年20)假设某市2004年新建住房400万平方米其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外每年新建住房中中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么到哪一年底1该市历年所建中低价房的累计面积以2004年为累计的第一年将首次不少于4750万平方米2当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%解答:1设中低价房面积形成数列{an}由题意可知{an}是等差数列其中a1=250d=50则Sn=250n+=25n2+225n令25n2+225n≥4750即n2+9n-190≥0而n是正整数∴n≥
10.到2013年底该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.2设新建住房面积形成数列{bn}由题意可知{bn}是等比数列其中b1=400q=
1.08则bn=400·
1.08n-1·
0.
85.由题意可知an
0.85bn有250+n-1·50400·
1.08n-1·
0.
85.由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=
6.到2009年底当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.专题十探究性学习例题
1.(06春22)已知数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列;是公差为的等差数列;是公差为的等差数列().
(1)若,求;
(2)试写出关于的关系式,并求的取值范围;
(3)续写已知数列,使得是公差为的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同
(2)类似的问题(
(2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?解法
(1).
(2),,当时,.
(3)所给数列可推广为无穷数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列,当时,数列是公差为的等差数列.研究的问题可以是试写出关于的关系式,并求的取值范围.研究的结论可以是由,依次类推可得当时,的取值范围为等第二部分《数学归纳法》
一、知识点数学归纳法的一般步骤是
(1)当取第一个值时,命题成立;
(2)假设当时,命题成立,证明当时命题也成立根据
(1)和
(2)可以断定,命题对任何都成立
二、典型例题例题
1.欲用数学归纳法证明“对于足够大的正整数,总有”则所取的第一个值,最小应是答案10例题2(07理15)设是定义在正整数集上的函数,且满足“当成立时,总可推出成立”.那么,下列命题总成立的是( )A.若成立,则当时,均有成立B.若成立,则当时,均有成立C.若成立,则当时,均有成立D.若成立,则当时,均有成立解答因为若成立,则当时,均有成立,所以错;因为若成立,则当时,均有成立,所以错;原命题的逆否命题为设是定义在正整数集上的函数,且满足当不成立时,总可推出不成立因此,若不成立,则当时,均有不成立,显然也是错误的因为若成立,则当时,均有成立,故对练习
1.某个命题与正整数有关,如果当时该命题成立,那么可推得当时该命题也成立现在已知时该命题不成立,那么可推得()答案CA当时该命题不成立B当时该命题成立C当时该命题不成立D当时该命题成立2.如果命题对成立,则它对也成立,又若对成立,则下列结论正确的是()答案A对所有的正整数都成立B对所有的正偶数都成立C对所有的正奇数都成立D对所有大于1的正整数都成立例题3:用数学归纳法证明:从“到”时,左边应增添的因式是()ABCD答案B练习设,,则ABCD答案D例题
4.计算前几项等各项的值,可以猜想解答,,猜想例题5已知数列的各项均为正数,且满足,,,猜测并证明数列的通项公式解答,,,猜测,证明
(1)当时,,等式成立;
(2)假设当时,等式成立,即,那么当时,等式也成立根据
(1)和
(2)可以断定,等式对任何都成立练习是否存在常数,使得等式对一切正整数都成立,并证明你的结论答案此题为1989年全国卷高考题,,证明(略)第三部分《数列的极限》
一、知识点
(一)定义一般地,在无限增大的变化过程中,如果无穷数列中的无限趋近于一个常数,那么叫做数列的极限,或叫做数列收敛于记作,读作“趋向于无穷大时,的极限等于”
(二)常用数列的极限
(1)当时,;
(2)
(3),(为常数)
(三)四则运算法则如果,那么
(1)
(2)
(3)
(四)无穷等比数列的各项的和把的无穷等比数列的前项和当时的极限叫做无穷等比数列的各项的和,并用符号表示,即
二、典型例题例题
1.数列中,,则数列的极限值(B)A.等于B.等于C.等于或D.不存在注意此题为07年文科第14题,数列的极限跟前面的有限项无关例题
2.判断下面命题的真假,并说明理由在无限增大的变化过程中,如果无穷数列中的越来越接近于某个常数,那么是数列的极限解答不正确,因为“无限趋近于”的说法不能用“越来越接近于”代替反例中的随着的无限增大越来越接近于0,但不能够无限趋近于0即,事实上,例题
3.计算
(1)(06春1),
(2)(06文4)解答
(1);
(2)注意在无限增大的变化过程中,分子、分母都无限增大,而在分子、分母趋于无穷大的过程中,起决定作用的量分别是的次数的最高项,而其他的项对极限值没有影响练习
1.(07年春1)计算答案
2.(00春7)若数列的通项为求值答案
3.若,,求的值答案
4.(06理4)计算答案
5.(04春7)在数列中,,且对任意大于1的正整数,点在直线上,则=_____解答,例题
4.(课本P43,No.2)判断下列计算是否正确,并说明理由解上述计算正确也可以这样计算如下例题
5.(课本P
43.例4)计算解原式=注意例题5括号中的项数不是有限的,不能直接用和的极限的性质,应先求出括号内项的和,使其变成一个式子,然后求极限练习
1.(05春2)答案
02.答案2例题
6.(05理7)计箅:解答注意“指数型”极限的解题要点是分子、分母同时除以分子、分母各项中底数绝对值最大的项的一个最高次数,使之分子、分母中能出现,从而利用求解当底数不确定时,应进行分类讨论如下例例题
7.求极限解答当时,原式=当,时,原式=当时,原式=综上所述练习
1.(08春2)计算解答
2.(02年5)在二项式1+3xn和2x+5n的展开式中,各项系数之和分别记为an、bn,n是正整数,则=.解答,
3.求极限答案
4.求极限解答例题
8.若,,求的值解答令,解得,练习若,,求的值答3例题
9.求数列……所有项的和解答练习
1.(04年4)设等比数列的公比,且,则答案2例题10将循环小数化为分数解答,相应的无穷等比数列是……,它的首项是,公比是,于是有练习将循环小数化为分数答案例题
11.若无穷等比数列的各项和是6,求首项的取值范围解答,得,于是练习(01年6)设数列是公比q>0的等比数列,Sn是它的前n项和.Sn=7,则此数列的首项a1的取值范围是答案例题12.(03年8)若首项为a1,公比为q的等比数列的前n项和总小于这个数列的各项和,则首项a1,公比q的一组取值可以是(a1,q)=.解答由题意,得,,得,不妨取练习08年14若数列是首项为1,公比为的无穷等比数列,且各项的和为,则的值是()A.1B.2C.D.答案PAGE1。