数学必修2人教A333点到直线的距离和两条平行直线间的距离

3.

3.3点到直线的距离【教学目标】

1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.

2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.【重点难点】教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.【教学过程】导入新课思路

1.点P05到直线y=2x的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中如果已知某点P的坐标为x0y0直线l的方程是Ax+By+C=0怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢这节课我们就来专门研究这个问题.思路

2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图1已知点Px0y0和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离为使结论具有一般性，我们假设A、B≠

0.图1新知探究提出问题

①已知点Px0y0和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么各种做法的优缺点是什么

②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？

③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？如何求两条平行线间的距离活动

①请学生观察上面三种特殊情形中的结论:ⅰx0=0y0=0时，d=；ⅱx0≠0y0=0时，d=；ⅲx0=0y0≠0时，d=.观察、类比上面三个公式，能否猜想对任意的点Px0y0，d=学生应能得到猜想d=.启发诱导当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理证明设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令y=0，得P′

0.∴P′N=.*∵P在直线l1:Ax+By+C1=0上∴Ax0+By0+C1=

0.∴C1=-Ax0-By

0.代入*得|P′N|=即d=.

②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.

③引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=.证明设P0x0y0是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=.又Ax0+By0+C2=0即Ax0+By0=-C2，∴d=.讨论结果

①已知点Px0y0和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离公式为d=.

②当A=0或B=0时，上述公式也成立.

③两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=.应用示例例1求点P0-1，2到下列直线的距离12x+y-10=0;23x=

2.解:1根据点到直线的距离公式得d=.2因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|--1|=.点评例11直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；2体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.变式训练点Aa，6到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.解:=4|3a-6|=20a=20或a=.例2已知点A1，3，B3，1，C-1，0，求△ABC的面积.解:设AB边上的高为h，则S△ABC=|AB|·h.|AB|=，AB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在的直线方程为即x+y-4=

0.点C到x+y-4=0的距离为h=，因此，S△ABC=×=

5.点评通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.变式训练求过点A-12且与原点的距离等于的直线方程.解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式即可求出直线方程为x＋y－1=0或7x＋y＋5=

0.例3求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在直线2x-7y-6=0上任取一点例如取P30则点P30到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此d=.点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离.变式训练求两平行线l1:2x+3y-8=0l2:2x+3y-10=0的距离.答案.解:点O0，0关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′-，则直线MO′的方程为y-3=x.直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P即为所求，相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=.课堂小结通过本节学习，要求大家

1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.

2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作.

3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用.当堂检测导学案当堂检测【板书设计】

一、点到直线距离公式

二、例题例1变式1例2变式2【作业布置】课本习题

3.3A组

9、10；B组

2、4及导学案课后练习与提高

3.

3.3点到直线的距离课前预习学案

一、预习目标让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离

二、学习过程预习教材P117~P119，找出疑惑之处问题1．已知平面上两点，则的中点坐标为，间的长度为.问题2．在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线的方程是，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离呢5分钟训练

1.点（0，5）到直线y=2x的距离是A.B.C.D.

2.两条平行直线3x+4y-2=03x+4y-12=0之间的距离为________________.

3.已知点a2a＞0到直线l x-y+3=0的距离为1则a的值等于A.B.C.D.答案C3．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案

一、学习目标1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题学习重点:点到直线距离公式的推导和应用.学习难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立

二、学习过程知识点1已知点和直线，则点到直线的距离为.注意⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.问题1在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为，直线方程中，如果，或，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢并画出图形来.例分别求出点到直线的距离.问题2求两平行线，的距离.知识点2已知两条平行线直线，，则与的距离为注意应用此公式应注意如下两点

（1）把直线方程化为一般式方程；

（2）使的系数相等.典型例题例1求点P0-1，2到下列直线的距离12x+y-10=0;23x=

2.变式训练点Aa，6到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.例2已知点A1，3，B3，1，C-1，0，求△ABC的面积变式训练求两平行线l1:2x+3y-8=0l2:2x+3y-10=0的距离当堂检测课本本节练习.拓展提升问题已知直线l:2x-y+1=0和点O0，

0、M0，3，试在l上找一点P，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值..学习小结

1.点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式课后巩固练习与提高30分钟训练

1.点

（32）到直线l:x-y+3=0的距离为A.B.C.D.

2.点Pm-n-m到直线=1的距离为A.B.C.D.

3.点P在直线x+y-4=0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为A.B.C.D.

24.到直线2x+y+1=0的距离为的点的集合为A.直线2x+y-2=0B.直线2x+y=0C.直线2x+y=0或直线2x+y-2=0D.直线2x+y=0或直线2x+y+2=

05.若动点A、B分别在直线l1x+y-7=0和l2x+y-5=0上移动则AB的中点M到原点的距离的最小值为A.B.C.D.

6.两平行直线l

1、l2分别过点P

110、P215且两直线间的距离为５，则两条直线的方程分别为l1_________________l2_______________.

7.已知直线l过点A-23且点B1-1到该直线l的距离为3，求直线l的方程.

8.已知直线l过点11且点A

13、B5-1到直线l的距离相等，求直线l的方程.

9.已知三条直线l12x-y+a=0a＞0直线l24x-2y-1=0和直线l3x+y-1=0且l1与l2的距离是.1求a的值.2能否找到一点P使得P点同时满足下列3个条件:

①P是第一象限的点；

②P点到l1的距离是P到l2的距离的；

③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是？若能求P点的坐标;若不能请说明理由.参考答案

1.解析:由点到直线的距离公式可得d=.答案C

2.解析:nx+my-mn=0，由点到直线的距离公式，得.答案A

3.解析:根据题意知|OP|最小时，|OP|表示原点O到直线x+y-4=0的距离.即根据点到直线的距离公式，得.答案B

4.解析:根据图形特点，满足条件的点的集合为直线，且该直线平行于直线2x+y+1=0，且两直线间的距离为.设所求直线的方程为2x+y+m=0根据平行线间的距离公式，得｜m-1｜=1，解得m=2或m=

0.故所求直线的方程为2x+y=0或2x+y+2=

0.答案D

8.解直线l平行于直线AB时，其斜率为k=kAB==-1，即直线方程为y=-x-1+1x+y-2=0；直线l过线段AB的中点M21时也满足条件，即直线l的方程为y=

1.综上，直线l的方程为x+y-2=0或y=

1.

9.解1根据题意得l1与l2的距离d=a=3或a=-4舍.2设P点坐标为x0y0则x0＞0y0＞

0.若P点满足条件

②则2×｜8x0-4y0+12｜=｜4x0-2y0-1｜8x0-4y0+12=4x0-2y0-1或8x0-4y0+12=-4x0-2y0-14x0-2y0+13=0或12x0-6y0+11=0;

①若P点满足条件

③则｜2x0-y0+3｜=｜x0+y0-1｜2x0-y0+3=x0+y0-1或2x0-y0+3=-x0+y0-1x0-2y0+4=0或3x0+2=0;

②由

①②得解得故满足条件的点P为-3或或或.PAGE11。