步步高》高考数学第一轮复习08空间向量及其运算

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8.6　空间向量及其运算2014高考会这样考　

1.考查空间向量的线性运算及其数量积；

2.利用向量的数量积判断向量的关系与垂直；

3.考查空间向量基本定理及其意义．复习备考要这样做　

1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；

2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积．1．空间向量的有关概念1空间向量在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．2相等向量方向相同且模相等的向量．3共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量．4共面向量平行于同一个平面的向量．2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理1共线向量定理对空间任意两个向量a，bb≠0，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.推论　如图所示，点P在l上的充要条件是＝＋ta

①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则

①可化为＝＋t或＝1－t＋t.2共面向量定理的向量表达式p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝__1__.3空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律1数量积及相关概念

①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.

②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2空间向量数量积的运算律

①结合律λa·b＝λa·b；

②交换律a·b＝b·a；

③分配律a·b＋c＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及应用1数量积的坐标运算设a＝a1，a2，a3，b＝b1，b2，b3，则a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b

3.2共线与垂直的坐标表示设a＝a1，a2，a3，b＝b1，b2，b3，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3λ∈R，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a，b均为非零向量．3模、夹角和距离公式设a＝a1，a2，a3，b＝b1，b2，b3，则|a|＝＝，cos〈a，b〉＝＝.设Aa1，b1，c1，Ba2，b2，c2，则dAB＝||＝.[难点正本　疑点清源]1．空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似，故在学习空间向量时，如果注意与平面向量的相关内容相类比进行学习，将达到事半功倍的效果．比如1定义式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉或cos〈a，b〉＝，用于求两个向量的数量积或夹角；2非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，用于证明两个向量的垂直关系；3|a|2＝a·a，用于求距离等等．2．用空间向量解决几何问题的一般步骤1适当的选取基底{a，b，c}；2用a，b，c表示相关向量；3通过运算完成证明或计算问题．1．已知向量a＝4，－2，－4，b＝6，－32，则a＋b·a－b的值为________．答案　－13解析　∵a＋b＝10，－5，－2，a－b＝－21，－6，∴a＋b·a－b＝－20－5＋12＝－

13.2．下列命题

①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；

②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；

③若a、b共线，则a与b所在直线平行；

④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z其中x、y、z∈R，则P、A、B、C四点共面．其中不正确的所有命题的序号为__________．答案　

②③④解析　

①中四点恰好围成一封闭图形，正确；

②中当a、b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|；

③中a、b所在直线可能重合；

④中需满足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四点共面．3．同时垂直于a＝221和b＝453的单位向量是____________________．答案　或解析　设与a＝221和b＝453同时垂直b单位向量是c＝p，q，r，则解得或即同时垂直a，b的单位向量为或.4．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是　　A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋c答案　A解析　＝＋＝＋－＝c＋b－a＝－a＋b＋c.

5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则　　A．EF至多与A1D、AC之一垂直B．EF与A1D、AC都垂直C．EF与BD1相交D．EF与BD1异面答案　B解析　设AB＝1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A1101，D000，A100，C010，E，F，B110，D1001，＝－10，－1，＝－110，＝，＝－1，－1，1，＝－，·＝·＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.题型一　空间向量的线性运算例1　三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.思维启迪利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可．解　＝＋＝＋＝＋－＝＋[＋－]＝－＋＋.＝＋＝－＋＋＝＋＋.探究提高　用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．如图所示，ABCD－A1B1C1D1中，ABCD是平行四边形．若＝，＝2，若＝b，＝c，＝a，试用a，b，c表示.解　如图，连接AF，则＝＋.由已知ABCD是平行四边形，故＝＋＝b＋c，＝＋＝－a＋c.由已知，＝2，∴＝＋＝－＝－＝c－c－a＝a＋2c，又＝－＝－b＋c，∴＝＋＝－b＋c＋a＋2c＝a－b＋c．题型二　共线定理、共面定理的应用例2　已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，1求证E、F、G、H四点共面；2求证BD∥平面EFGH；3设M是EG和FH的交点，求证对空间任一点O，有＝＋＋＋．思维启迪对于1只要证出向量与共线即可；对于2只要证出＝＋即可；对于3，易知四边形EFGH为平行四边形，则点M为线段EG与FH的中点，于是向量可由向量和表示，再将与分别用向量，和向量，表示．证明　1连接BG，则＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋，由共面向量定理的推论知E、F、G、H四点共面．2因为＝－＝－＝－＝，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.3找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由2知＝，同理＝，所以＝，即EH綊FG，所以四边形EFGH是平行四边形．所以EG，FH交于一点M且被M平分．故＝＋＝＋＝＋＝＋＋＋．探究提高　在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解．若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a＝λb关系，即可判定两直线平行．如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，D为BC边上的中点，求证A1B∥平面AC1D.证明　设＝a，＝c，＝b，则＝＋＝＋＝a＋c，＝＋＝＋＝－a＋b，＝＋＝－＋＝b－a＋c，＝－2，∵A1B⊄平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D.题型三　空间向量数量积的应用例3　已知空间三点A023，B－216，C1，－15．1求以，为边的平行四边形的面积；2若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标．思维启迪利用两个向量的数量积可以求向量的模和两个向量的夹角．解　1由题意可得＝－2，－13，＝1，－32，∴cos〈，〉＝＝＝＝.∴sin〈，〉＝，∴以，为边的平行四边形的面积为S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝

7.2设a＝x，y，z，由题意得，解得或，∴向量a的坐标为111或－1，－1，－1．探究提高　1当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；2当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算；3通过数量积可以求向量的模.如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.1求AC1的长；2求BD1与AC夹角的余弦值．解　1记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝.||2＝a＋b＋c2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋b·c＋c·a＝1＋1＋1＋2×＝6，∴||＝，即AC1的长为.2＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝，·＝b＋c－a·a＋b＝b2－a2＋a·c＋b·c＝

1.∴cos〈，〉＝＝.∴AC与BD1夹角的余弦值为.空间向量运算错误典例12分如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1，设＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示以下向量1；2；3；

4.易错分析　解本题易出错的地方就是对空间向量加减法的运算，特别是减法运算理解不清，如把误认为是－；另一个错误是向量的数乘表示不准，如把＝，误认为＝.规范解答解　如图连接AC，AD

1.1＝＋＝＋＋＝a＋b＋c．[3分]2＝＋＝＋2＋＝a＋2b＋c．[6分]3＝＋＝[＋＋＋＋]＝＋2＋2＝a＋2b＋2c＝a＋b＋c.[9分]4＝＋＝＋－＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.[12分]温馨提醒　1空间向量的加减法运算和数乘是表示向量的基础；2空间任一向量用一组基底表示是唯一的；3空间向量共线和两直线平行是不同的.方法与技巧1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．失误与防范1．向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b＝b·a，a·b＋c＝a·b＋a·c成立，a·b·c＝a·b·c不一定成立．2．用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．A组　专项基础训练时间35分钟，满分57分

一、选择题每小题5分，共20分1．已知O，A，B，C为空间四个点，又，，为空间的一个基底，则　　A．O，A，B，C四点不共线B．O，A，B，C四点共面，但不共线C．O，A，B，C四点中任意三点不共线D．O，A，B，C四点不共面答案　D解析　，，为空间的一个基底，所以，，不共面，但A，B，C三种情况都有可能使，，共面．2．已知a＝λ＋102，b＝62μ－12λ，若a∥b，则λ与μ的值可以是　　A．2，B．－，C．－32D．22答案　A解析　由题意知解得或

3.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为　　A．111B.C.D．112答案　A解析　设PD＝aa0，则A200，B220，P00，a，E，∴＝00，a，＝，∵cos〈，〉＝，∴＝a·，∴a＝

2.∴E的坐标为111．4．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于　　A．6B．6C．12D．144答案　C解析　因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝

144.所以||＝

12.

二、填空题每小题5分，共15分

5.在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________用a，b，c表示．答案　a＋b＋c解析　＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.6．若向量a＝1，λ，2，b＝2，－12且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.答案　－2或解析　由已知得＝＝，∴8＝36－λ，解得λ＝－2或λ＝.7．在空间直角坐标系中，以点A

419、B10，－

16、Cx43为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．答案　2解析　由题意知·＝0，||＝||，可解得x＝

2.

三、解答题共22分8．10分如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶

3.求证B、G、N三点共线．证明　设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋＝－a＋a＋b＋c＝－a＋b＋c，＝＋＝＋＋＝－a＋b＋c＝.∴∥，即B、G、N三点共线．9．12分已知空间中三点A－202，B－112，C－304，设a＝，b＝.1求向量a与向量b的夹角的余弦值；2若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．解　1∵a＝110，b＝－102，∴a·b＝110·－102＝－1，又|a|＝＝，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.2方法一　∵ka＋b＝k－1，k2．ka－2b＝k＋2，k，－4，且ka＋b与ka－2b互相垂直，∴k－1，k2·k＋2，k，－4＝k－1k＋2＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－，∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－.方法二　由2知|a|＝，|b|＝，a·b＝－1，∴ka＋b·ka－2b＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－.B组　专项能力提升时间25分钟，满分43分

一、选择题每小题5分，共15分1．有下列命题

①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；

②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；

③若＝x＋y，则P，M，A、B共面；

④若P，M，A，B共面，则＝x＋y.其中真命题的个数是　　A．1B．2C．3D．4答案　B解析　其中

①③为真命题．2．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为　　A.aB.aC.aD.a答案　A解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则Aa00，C10，a，a，N.设Mx，y，z．∵点M在AC1上且＝，∴x－a，y，z＝－x，a－y，a－z∴x＝a，y＝，z＝.∴M，∴||＝＝a.

3.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为　　A．0B.C.D.答案　A解析　设＝a，＝b，＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，·＝a·c－b＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝

0.

二、填空题每小题5分，共15分4．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.答案　60°解析　由条件知a＋3b·7a－5b＝7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0，及a－4b·7a－2b＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝

0.两式相减，得46a·b＝23|b|2，∴a·b＝|b|

2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|＝|b|.∴cos〈a，b〉＝＝＝.∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝60°.

5.如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________．答案　解析　＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cosπ－θ＝3－2cosθ.所以||＝，即AD的长为.6．已知a＝1－t1－t，t，b＝2，t，t，则|b－a|的最小值为________．答案　解析　b－a＝1＋t2t－10，∴|b－a|＝＝，∴当t＝时，|b－a|取得最小值.

三、解答题7．13分直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．1求证CE⊥A′D；2求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．1证明　设＝a，＝b，＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴·＝－c2＋b2＝

0.∴⊥，即CE⊥A′D.2解　∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|.·＝－a＋c·＝c2＝|a|2，∴cos〈，〉＝＝.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.。