还剩34页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
高等数学知识总结TOC\o1-2\h\u
一、空间解析几何31.向量代数32.曲面及其方程53.空间曲线及其方程64.平面及其方程65.空间直线及其方程6
二、极限和连续81.数列极限82.函数极限83.几个重要极限84.无穷小量85.连续函数8
三、一元函数的微分学101.导数的定义102.导数运算103.常数和基本初等函数的导数104.微分概念及其运算法则105.Lagrange中值定理116.函数的单调性与曲线的凹凸性117.函数的极值与最大值最小值118.Cauchy中值定理11HYPERLINK\l_Toc68339.法则型未定式或型未定式不是未定式不能用洛必达法则1210.泰勒Taylor公式——用多项式近似表示函数12
四、多元微分学131.极限与连续性132.微分和偏导数133.复合函数的微分法144.方向导数和梯度145.空间曲线的切线与法平面156.曲面的切平面与法线方程157.Taylor公式168.多变量函数的极值16
五、一元函数的不定积分181.不定积分182.基本积分表——(求导的逆运算)183.不定积分的性质184.换元法185.分部积分法19
六、定积分201.定积分定义(分割,近似,求和,取极限)202.牛顿-莱布尼兹公式203.定积分的性质(设所列定积分都存在)204.广义积分20
七、多变量函数的重积分211.二重积分——“分割,近似,求和,取极限”212.二重积分的累次积分213.二重积分换元法224.三重积分22
八、曲线积分与曲面积分241.第一类曲线积分——对弧长的曲线积分242.第一类曲面积分243.第二类曲线积分254.格林公式265.第二类曲面积分276.Gauss定理及散度287.Stokes定理即旋度——Green定理的推广288.保守场29
九、无穷级数301.无穷级数基本性质302.正项级数及其审敛法303.级数收敛的一般判别法314.绝对收敛与条件收敛315.幂级数及其收敛性326.傅里叶级数32
十、常微分方程341.一阶微分方程342.二阶线性齐次方程解的结构353.二阶线性非齐次方程解的结构354.用常数变易法求非齐次的特解——常用来由齐次推非齐次、由线性推非线性355.二阶常系数线性齐次方程
361、空间解析几何1.向量代数向量的线性运算向量加法三角形法则或平行四边形法则1交换律abba2结合律abcabc实数与向量的运算法则设、为实数,则有1结合律aaa;2分配律aaa;abab空间直角坐标系设aaxayazbbxbybz,则有1)abaxbxaybyazbz2)abaxbxaybyazbz3)aaxayaz4)b//ababxbybzaxayaz5)向量模6)两点间的距离7)方向角非零向量r与三条坐标轴的夹角、、称为向量r的方向角方向余弦向量的数量积a·b|a||b|cos几何意义数量积a·b等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积1)a·a|a|2)aba·b03)交换律a·bb·a;4)分配律abcacbc5)a·ba·ba·ba·ba·b、为数6)a·baxbxaybyazbz向量的向量积cabc的模|c||a||b|sin其中为a与b间的夹角;c的方向垂直于a与b所决定的平面c的指向按右手规则从a转向b来确定几何意义以a与b为两邻边的有向面积1)aa02)a//bab03)交换律abba4)分配律abcacbc)ababab6)混合积,,共面2.曲面及其方程旋转面方程母线柱面方程,母线平行于轴的柱面方程,母线平行于轴的柱面方程椭球面方程,当或或时为旋转椭球面,当时,为球面方程双曲面方程锥面方程抛物面方程其中3.空间曲线及其方程空间曲线的一般方程(两个曲面方程的交线)空间曲线的参数方程空间曲线关于坐标面的投影柱面方程为消去得到的方程,在坐标面上的投影曲线方程为4.平面及其方程平面方程一般方程AxByCzD0【平面的一个法线向量n为nABC】点法式Axx0Byy0Czz00【通过点M0x0y0z0】截距式方程【a、b、c依次为平面在x、y、z轴上的截距】两平面的夹角两平面的法线向量的夹角通常指锐角称为两平面的夹角平面1和2垂直A1A2B1B2C1C20平面1和2平行或重合点P0x0y0z0到平面的距离5.空间直线及其方程直线方程一般方程(两平面的交线)点向式方程【过点M0x0y0x0】参数方程【且方向向量为smnp】两点式【过点M1x1y1x1】两直线的夹角两直线的方向向量的夹角通常指锐角1)L1L2m1m2n1n2p1p202)L1L2直线与平面的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角1)L2)LAmBnCp0平面束通过定直线的所有平面的全体称为平面束过直线的平面束方程为A1xB1yC1zD1A2xB2yC2zD
202、极限和连续1.数列极限数列极限若数列及常数,当时,有,则称该数列的极限为,记作或此时也称数列收敛,否则称数列发散(学会用定义证明数列极限,关键在于如何求得N)数列极限的四则运算若则有a.;b.;c.夹逼准则设,当时,有,则2.函数极限,当时,有,当时,有左极限右极限3.几个重要极限1)2)3)4)5)6)7)4.无穷小量无穷小量若,则称函数是当时的无穷小量等价无穷小定理设且存在,则熟记的等价无穷小时,,,,,,,,,,5.连续函数函数在处连续==间断点a.第一类间断点及均存在,若称为可去间断点;若称为跳跃间断点;b.第二类间断点及中至少一个不存在,若其中一个为,称为无穷间断点;若其中一个为振荡,称为振荡间断点闭区间上连续函数的性质1)零点定理设,且则必有使得2)介质定理设,则上能取到;3)最大值最小值定理设,则上能取到最大值和最小值;
3、一元函数的微分学1.导数的定义设函数,在的某邻域内有定义,若存在,则称函数在点处可导并称此极限为在处的导数,记做;几何意义曲线在处的斜率,可导性与连续性的关系(连续未必可导)2.导数运算四则运算1)2)3)复合函数求导法则参数方程求导法对参数方程,,有3.常数和基本初等函数的导数⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂⒃⒄⒅4.微分概念及其运算法则微分定义若函数在点的增量可表示为,为不依赖于的常数,则称函数在点处可微,记定理在点处可微即微分运算法则1); 2);3);4)微分形式不变性设,分别可微,则复合函数的微分5.Lagrange中值定理费马Fermat引理设是的极值点,在可微,则罗尔Rolle定理满足1)在区间[ab]上连续;2在区间ab内可导3在ab内至少存在一点,使得拉格朗日中值定理满足1)在区间[ab]上连续;2在区间ab内可导在ab内至少存在一点,使得推论若函数在区间I上满足,则在I上必为常数.6.函数的单调性与曲线的凹凸性单调性的判定法设函数在开区间I上可导,若,则在I内递增(递减)7.函数的极值与最大值最小值极值可疑点使导数为0或不存在的点极值第一判别法设函数在的某领域内连续,且在空心领域内有导数,当由小到大通过时,1)“左正右负”,则在取极大值;2)“左负右正”,则在取极小值极值第二判别法设函数在处具有二阶导数,且,,1)若,则在取极大值;2)若,则在取极小值最值判定设函数在闭区间[ab]上连续,则其最值只能在极值点或端点处达到8.Cauchy中值定理Cauchy中值定理及满足1)在区间[ab]上连续;2在区间ab内可导3在区间ab内在ab内至少存在一点,使得9.法则型未定式或型未定式不是未定式不能用洛必达法则洛必达法则;(或)2)与在可导,且;存在(或为)10.泰勒Taylor公式——用多项式近似表示函数设函数在包含的某开区间ab处具有直到阶的导数,则当ab时,有
①其中(在与之间)
②特例1)当时,泰勒公式变为拉格朗日中值定理;2)在泰勒公式中若取则有麦克劳林(Maclaurin)公式
4、多元微分学1.极限与连续性平面上的点列的极限设为平面点列,,若,则称是收敛点列,是点列的极限,记做()极限设元函数,,是的聚点,若存在常数,对,对一切,有,则称常数为函数当时的极限,记做(也叫重极限)PS多元函数极限要求自变量沿任何方向、任何路径趋于,若找到其两个不同路径上极限不同,则判断多元函数极限不存在二元函数的极限可写作连续性为的聚点时,;或为的孤立点时,也是连续点2.微分和偏导数微分偏导数设在点的某邻域中有极限(将当做常数)存在,则称此极限为函数在点对的偏导数,即设在处可微,二元函数偏导数的几何意义是曲线在点处的切线对轴的斜率是曲线在点处的切线对轴的斜率高阶偏导数设在域内存在连续的偏导数和,若这两个偏导数仍存在偏导数,则称它们是的二阶偏导数按求导顺序不同有下列四个二阶偏导数,,,定理若和都连续,则=(否则不一定成立)3.复合函数的微分法复合函数求导的链式法则若函数可微,,有一阶偏导数,则对和有偏导数,并有口诀分段用乘分叉用加单路全导叉路偏导微分中值定理若函数在区域可微,连接和的线段全在内,则必有,使得定理若在区域中,则全微分的不变性设函数,,都可微,则复合函数的全微分为即无论是自变量还是中间变量其全微分表达形式都一样叫做全微分形式不变性4.方向导数和梯度方向导数若函数在点处沿方向(方向角为)存在极限()则称为函数在点处沿方向的方向导数定理则函数在该点沿任意方向的方向导数存在,且有由,故当方向一致时,方向导数取最大值,梯度定义向量为函数在点处的梯度,记做,即PS函数的方向导数为梯度在该方向上的投影梯度的几何意义沿梯度正向,方向导数最大,即函数值增长最快,其增长率为;而沿梯度负向,方向导数最小,即函数值减小最快,其减小率为5.空间曲线的切线与法平面参数形式切线向量两柱面交线切线向量两曲面交线切线向量6.曲面的切平面与法线方程法线向量(梯度方向)7.Taylor公式Taylor定理,的某一邻域内有直到阶连续偏导数,为此邻域内任一点,则有其中,(拉格朗日余项)8.多变量函数的极值定理(必要条件)存在且在该点取得极值,则有PS使偏导数都为0的点称为驻点,但驻点不一定是极值点定理(充分条件)若的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数且令,则有1)当时,具有极值且时取极大值;时取极小值;2)当时,没有极值3)当时,不能确定,需另行讨论最值可疑点驻点,不可偏导点,边界上的最值点PS当区域内部最值存在且只有一个极值点时,则该极值点即为最值点条件极值对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制的极值问题(约束极值问题)条件极值的求法:1)代入法求的无条件极值问题2)拉格朗日乘数法求函数在条件和下的极值构造辅助函数F(Lagrange函数),引入拉格朗日乘数,令(可推广)解方程组,可得到条件极值的可疑点
5、一元函数的不定积分1.不定积分原函数若在区间I上满足,则称Fx为fx在区间I上的一个原函数定理1存在原函数定理2原函数都在函数族内不定积分fx在区间I上的全体原函数称为不定积分,记做=2.基本积分表——(求导的逆运算)3.不定积分的性质12)4.换元法第一类换元法(也称配元法凑微分法)则有换元公式目的凑已知的积分公式;关键凑微分第二类换元法设是单调可导函数,且,具有原函数,则目的去根号等5.分部积分法由导数公式积分得或1v容易求得;容易计算
6、定积分1.定积分定义(分割,近似,求和,取极限),任一种分法,,令,任取,,总趋于确定的极限,则称此极限为函数在区间上的定积分,记作,即定积分的几何意义曲边梯形的有向面积2.牛顿-莱布尼兹公式设在上可积并有原函数,则3.定积分的性质(设所列定积分都存在)1)2)3)4)5)4.广义积分无穷限的广义积分(第一类反常积分)设,取,若存在,记广义积分无界函数的广义积分(瑕积分或第二类广义积分)设,而在点的右邻域内无界,取,若存在,则记广义积分
7、多变量函数的重积分多元函数积分学重积分、曲线积分、曲面积分1.二重积分——“分割,近似,求和,取极限”二重积分存在定理若有界函数在有界闭区域上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续,则在上可积定理若两个二元有界函数在有界闭区域上除去有限个点或有限个光滑曲线外都相等,则二者可积性相同,若可积,其积分相等二重积分的性质设和在上可积,1)2)若在上,则3)设在上可积,则4)在上也可积5),则6)(微分中值定理)设函数在闭域上连续,为的面积则至少存在一点,使得2.二重积分的累次积分a.型积分积分区域b.型积分积分区域PS若积分区域既是型区域又是型区域,PS若积分域较复杂可将它分成若干X-型域或Y-型域,则3.二重积分换元法面积元素变换雅克比行列式3)对变换有特别地,直角坐标转化为极坐标时,,故4.三重积分累次积分三种方法(12种形式)各有特点,应根据被积函数及积分域的特点灵活选择1)投影法“先一后二”;(细长柱体)2)截面法“先二后一”;3)“三次积分法”变量代换体积元素变换特别地1)柱坐标计算2)球坐标计算积分学定积分二重积分三重积分曲线积分曲面积分积分域区间域平面域空间域曲线域曲面域
8、曲线积分与曲面积分1.第一类曲线积分——对弧长的曲线积分定义设是空间中一条有限长的光滑曲线,是定义在上的一个有界函数,若通过对的任意分割和对局部的任意取点,下列“乘积和式极限”存在,则称此极限为函数在曲线上第一类曲线积分,或对弧长的曲线积分PS对弧长的曲线积分要求,但定积分中可能为负曲线积分的性质(与其他积分性质类似)1)(为曲线弧的长度)2)线性性质3)可加性曲线积分的计算(转化为求定积分)设是定义在光滑曲线的连续函数,若的参数方程可表示为,则PS1)上述公式可看做“换元法”,因为2)如果曲线的方程为,则3)在极坐标下2.第一类曲面积分定义设是空间中一光滑曲面,是定义在上的一个有界函数,若通过对的任意分割和对局部的任意取点,下列“乘积和式极限”存在,则称此极限为函数在曲面上第一类曲面积分,或对面积的曲面积分第一类曲面积分的性质与第一类曲线积分类似,线性性质和可加性第一类曲面积分的计算方法设有光滑曲面,(或,,,)在上连续,则曲面积分存在,且有=(转化二重积分)推导用和两簇曲线分割曲面,则面积微元特别地若,则,故3.第二类曲线积分定义设为平面内从到的一条有向光滑弧,在上定义了一个向量函数,若通过对的任意分割和对局部的任意取点,“乘积和式极限”存在,则称此极限为函数在有向曲线弧上对坐标的曲线积分,或第二类曲线积分PS若为空间曲线性质1)2)(必须注意积分弧段的方向!)PS定积分是第二类曲线积分的特例第二类曲线积分的计算在有向光滑弧上有定义且连续,的参数方程为,则曲线积分存在,且有特别地,则两类曲线积分之间的联系切向量的方向余弦为,故令,,为在上投影,则4.格林公式GREEN设区域是由分段光滑正向曲线围成,函数在上具有连续一阶偏导数,则有(将区域分割为既是X型区域,又是Y型区域)PS域边界的正向域的内部靠左PS X型区域Y型区域推论正向闭曲线所围区域的面积为平面上曲线积分与路径无关的等价条件设是单连通域,在上具有连续一阶偏导数,则以下四个条件等价1)沿中任意光滑闭曲线,2)在内每一点都有3)中任一分段光滑曲线,与路径无关,只与起止点有关4)在内是某一函数的全微分,即PS1)计算曲线积分时若在某区域内,可选择方便的积分路径;2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;3)可用积分法求在域内的原函数取定点及动点,则原函数为5.第二类曲面积分双侧曲面及其定向指定了侧的曲面叫有向曲面,其方向用法向量指向表示方向余弦封闭曲面侧的规定0为前侧0为右侧0为上侧外侧0为后侧0为左侧0为下侧内侧PS设为有向曲面,其面元在面上的投影记为,的面积为,则规定类似规定PS光滑参数曲面,,,的两个法向量为(PS非单位法向量)显式曲面,的法向量定义设在光滑的有向曲面上定义向量场,则称为向量场在曲面上第二类曲面积分在直角坐标系下,可表示为性质1)对场的线性,即若,则2)若由协调拼接而成,则=;3)两类曲面积分的关系第二类曲面积分的计算法(单位法向量面元)PS1)如果是显式曲面,则(计算时注意轮转对称性)2)(上正下负)(前正后负)(右正左负)6.Gauss定理及散度高斯定理设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面围成若函数在上连续,且有一阶连续偏导数,则向量场的通量,向量场通过的通量为,如果为双侧封闭曲面,如果,说明内部有产生向量的能力,即为有“源”的;如果,说明向量在内流失,即为有“汇”或“漏”向量场的散度故高斯定理又可以写成向量形式散度的性质1)=+2)=+7.Stokes定理即旋度——Green定理的推广Stokes定理设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线若函数在(连同)上连续,且有一阶连续偏导数,则(其中的法向与的方向满足右手法则确定) 或旋度向量场沿有向曲线的积分定义为环量,定义向量场的旋度为(代表流场的涡旋特性)故Stokes定理可以写成8.保守场保守场设是区域中的连续向量场,如果沿任何铸锻光滑的闭路,都有,则称是中的一个保守场恰当微分形式和有势场函数在上连续,若,则称是一个恰当微分或全微分若,则,则称是有势场,是的一个势函数,同时,也是的势函数全微分的积分设是内的一个全微分,则光滑曲线上(与路径无关)定理下面三个等价命题1)是有势场(即恰当微分)2)与路径无关3)沿任何中的闭路(即是保守场)4)(即是无旋场)
9、无穷级数1.无穷级数基本性质无穷级数;部分和若存在,则称无穷级数收敛,并记级数的和定理若收敛级数,则各项乘以常数所得级数也收敛,其和为定理设两个收敛级数和则级数也收敛,其和为定理在级数前面加上、去掉或改变有限项不会影响级数的敛散性定理收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和定理设收敛级数,则必有2.正项级数及其审敛法定义若,则称为正项级数定理正项级数收敛部分和序列有界定理比较审敛法设,是两个正项级数,且存在,对一切,有(常数),则有1)若强级数收敛,则弱级数也收敛;2)若弱级数发散,则强级数也发散定理(柯西积分判别法)设为定义于上的非负单调递减函数,则与同时收敛或同时发散定理比较审敛法的极限形式设,是两个正项级数,且满足则有1)当时,两个级数同时收敛或发散;2)当时,收敛,也收敛;3)当时,发散,也发散定理(比值审敛法/D’alembert判别法)设为正项级数,且,则1)当1时,级数收敛;2)当1或时,级数发散定理(根值审敛法/Cauchy判别法)设为正项级数,且,则1)当1时,级数收敛;2)当1或时,级数发散;3)=1时,级数可能收敛,也可能发散3.级数收敛的一般判别法Cauchy收敛原理级数收敛的充分必要条件是对任意给定的0,存在正整数N,使得下式对一切与一切正整数p成立Leibnitz判别法设单调趋于零,则级数收敛4.绝对收敛与条件收敛定义对任意项级数,若收敛,则称原级数绝对收敛若原级数收敛但发散则称原级数条件收敛定理3设收敛,则也收敛定理
6.14若级数绝对收敛,则它的更序级数也绝对收敛,且和不变,即=推论1)绝对收敛的充分必要条件是和都收敛;2)条件收敛则和都发散5.幂级数及其收敛性定义形如的函数项级数称为幂级数,其中数列称为幂级数的系数后面着重讨论的情形,即Abel定理若幂级数在点收敛,则对满足不等式的的一切幂级数都绝对收敛反之,若当点发散,则对满足不等式的的一切幂级数都发散由Abel定理可以看出,的收敛域是以原点为中心的区间用表示幂级数收敛与发散的分界点称为收敛半径,称为收敛区间,加上收敛的端点称为收敛域定理若的系数满足,则1)当时,;2)当时,;3)当时,比值审敛法(即)定理若的系数满足,则收敛半径Cauchy判别法6.傅里叶级数定理(三角函数正交性)组成三角级数的函数系在上正交,即其中任意两个不同的函数之积在上的积分等于0定理设是周期为的周期函数,且
①右端级数可逐项积分,则有
②狄利克雷Dirichlet条件1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点则的傅里叶级数收敛,且有PS1周期为的奇、偶函数的傅里叶级数奇函数只有正弦级数项,即=0;偶函数只有余弦级数项,即=0PS2非周期函数,可以先进行周期延拓,再进行傅里叶变换PS3以2为周期的函数的傅里叶展开定理设周期为2的周期函数满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在的连续点处)其中,复数形式,其中,
10、常微分方程方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶一般地,阶常微分方程的形式是微分方程的通解指解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同特解是指满足定解条件,不含任意常数的解,其图形称为积分曲线1.一阶微分方程一阶微分方程关系图分离变量型方程齐次方程方程叫齐次方程变换,则,代入原方程可得(变量分离方程)一阶线性微分方程方程称为一阶线性齐次方程方程是一个变量可分离方程若,则一阶线性齐次方程的解存在,且唯一,其通解为方程称为一阶线性非齐次方程方程,利用“常数变易法”,设其通解为,代入方程得因此,一阶线性非齐次方程的通解为2.二阶线性齐次方程解的结构(
5.
3.1)定理则存在上唯一的解,使(解的存在唯一性定理)定理若函数,是(
5.
3.1)的两个线性无关特解,则是该方程的通解求通解的关键找到两个线性无关的解(基解)推论是阶齐次方程的个线性无关解,则方程的通解为3.二阶线性非齐次方程解的结构定理设是二阶非齐次方程(
5.
4.1)的一个特解,是相应齐次方程的通解,则是非齐次方程的通解(关键两个基解,一个特解)定理(非齐次方程之解的叠加原理)设分别是的特解,则是方程的特解4.用常数变易法求非齐次的特解——常用来由齐次推非齐次、由线性推非线性对一阶非齐次微分方程对应齐次方程的通解为,则设非齐次方程的解为,代入原方程确定对二阶非齐次微分方程1)若已知对应齐次方程的通解为,则设非齐次方程的解为;2)仅知已知对应齐次方程的一个非零特解,则令5.二阶常系数线性齐次方程基本思路求解常系数线性齐次微分方程求特征方程代数方程之根二阶常系数齐次线性微分方程(
5.
6.1)可能有形式解,代入上式,得,由于,故有(
5.
6.2)称(
5.
6.2)为微分方程(
5.
6.1)的特征方程,其根称为特征根推广高阶常系数线性微分方程的特征方程若特征方程含重实根,则其通解中必含对应项若特征方程含重复根则其通解中必含对应项。