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【2012考研必备资料】高等数学知识点归纳第一讲:极限与连续一.数列函数:
1.类型:1数列:*;*2初等函数:3分段函数:*;*;*4复合含函数:5隐式方程:6参式数一二:7变限积分函数:8级数和函数数一三:
2.特征几何:1单调性与有界性判别;单调定号2奇偶性与周期性应用.
3.反函数与直接函数:二.极限性质:
1.类型:*;*含;*含
2.无穷小与无穷大注:无穷量:
3.未定型:
4.性质:*有界性*保号性*归并性三.常用结论:四.必备公式:
1.等价无穷小:当时;;;;;;;
2.泰勒公式:1;2;3;4;
5.五.常规方法:前提:1准确判断其它如:;2变量代换如:
1.抓大弃小
2.无穷小与有界量乘积注:
3.处理其它如:
4.左右极限包括:1;2;;3分段函数:
5.无穷小等价替换因式中的无穷小注:非零因子
6.洛必达法则1先”处理”后法则最后方法;注意对比:与2幂指型处理:如:3含变限积分;4不能用与不便用
7.泰勒公式皮亚诺余项:处理和式中的无穷小
8.极限函数:分段函数六.非常手段
1.收敛准则:12双边夹:**3单边挤:***
2.导数定义洛必达:
3.积分和:
4.中值定理:
5.级数和数一三:1收敛如23与同敛散七.常见应用:
1.无穷小比较等价阶:*
122.渐近线含斜:
123.连续性:1间断点判别个数;2分段函数连续性附:极限函数连续性八.上连续函数性质
1.连通性:注:“平均”值:
2.介值定理:附:达布定理1零点存在定理:根的个数;
2.第二讲:导数及应用一元含中值定理一.基本概念:
1.差商与导数:;1注:连续2左右导:;3可导与连续;在处连续不可导;可导
2.微分与导数:1可微可导;2比较与的大小比较图示;二.求导准备:
1.基本初等函数求导公式;注:
2.法则:1四则运算;2复合法则;3反函数三.各类求导方法步骤:
1.定义导:1与;2分段函数左右导;3注:求:及的连续性
2.初等导公式加法则:1求:图形题;2求:注:3求及待定系数
3.隐式导:1存在定理;2微分法一阶微分的形式不变性.3对数求导法.
4.参式导数一二:求:
5.高阶导公式:;;;注:与泰勒展式:四.各类应用:
1.斜率与切线法线;区别:上点和过点的切线
2.物理:相对变化率速度;
3.曲率数一二:曲率半径曲率中心曲率圆
4.边际与弹性数三:附:需求收益成本利润五.单调性与极值必求导
1.判别驻点:1;;2分段函数的单调性3零点唯一;驻点唯一必为极值最值.
2.极值点:1表格变号;由的特点2二阶导注1与的匹配图形中包含的信息;2实例:由确定点“”的特点.3闭域上最值应用例:与定积分几何应用相结合求最优
3.不等式证明1区别:*单变量与双变量*与2类型:*;**;*3注意:单调性端点值极值凹凸性.如:
4.函数的零点个数:单调介值六.凹凸与拐点必求导!:
1.表格;
2.应用:1泰勒估计;2单调;3凹凸.七.罗尔定理与辅助函数:注:最值点必为驻点
1.结论:
2.辅助函数构造实例:1234;
3.有个零点有个零点
4.特例:证明的常规方法:令有个零点待定
5.注:含时分家!柯西定理
6.附达布定理:在可导使:八.拉格朗日中值定理
1.结论:;
2.估计:九.泰勒公式连接之间的桥梁
1.结论:;
2.应用:在已知或值时进行积分估计十.积分中值定理附:广义:[注:有定积分不含变限条件时使用]第三讲:一元积分学一.基本概念:
1.原函数:1;2;3注1连续不一定可导;2连续
2.不定积分性质:1;2;二.不定积分常规方法
1.熟悉基本积分公式
2.基本方法:拆线性性
3.凑微法基础:要求巧简活如:
4.变量代换:1常用三角代换根式代换倒代换:2作用与引伸化简:
5.分部积分巧用:1含需求导的被积函数如;2“反对幂三指”:3特别:*已知的原函数为;*已知
6.特例:1;2快速法;3三.定积分:
1.概念性质:1积分和式可积的必要条件:有界充分条件:连续2几何意义面积对称性周期性积分中值*;*3附:4定积分与变限积分反常积分的区别联系与侧重2:变限积分的处理重点1可积连续连续可导2;;3由函数参与的求导极限极值积分方程问题
3.公式:在上必须连续!注:1分段积分对称性奇偶周期性2有理式三角式根式3含的方程.
4.变量代换:12如:34;
55.分部积分1准备时“凑常数”2已知或时求
6.附:三角函数系的正交性:四.反常积分:
1.类型:1连续2:在处为无穷间断
2.敛散;
3.计算:积分法公式极限可换元与分部
4.特例:1;2五.应用:柱体侧面积除外
1.面积12;3;4侧面积:
2.体积:1;23与
3.弧长:123:
4.物理数一二功引力水压力质心
5.平均值中值定理:1;2以为周期:第四讲:微分方程一.基本概念
1.常识:通解初值问题与特解注:应用题中的隐含条件
2.变换方程:1令如欧拉方程2令如伯努利方程
3.建立方程应用题的能力二.一阶方程:
1.形式:1;2;
32.变量分离型:1解法:2“偏”微分方程:;
3.一阶线性重点:1解法积分因子法:2变化:;3推广:伯努利数一
4.齐次方程:1解法:2特例:
5.全微分方程数一:且
6.一阶差分方程数三:三.二阶降阶方程
1.:
2.:令
3.:令四.高阶线性方程:
1.通解结构:1齐次解:2非齐次特解:
2.常系数方程:1特征方程与特征根:2非齐次特解形式确定:待定系数;附:的算子法3由已知解反求方程.
3.欧拉方程数一:令五.应用注意初始条件:
1.几何应用斜率弧长曲率面积体积;注:切线和法线的截距
2.积分等式变方程含变限积分;可设
3.导数定义立方程:含双变量条件的方程
4.变化率速度
5.
6.路径无关得方程数一:
7.级数与方程:1幂级数求和;2方程的幂级数解法:
8.弹性问题数三第五讲:多元微分与二重积分一.二元微分学概念
1.极限连续单变量连续偏导全微分偏导连续必要条件与充分条件123判别可微性注:点处的偏导数与全微分的极限定义:
2.特例:1:点处可导不连续;2:点处连续可导不可微;二.偏导数与全微分的计算:
1.显函数一二阶偏导:注:1型;2;3含变限积分
2.复合函数的一二阶偏导重点:熟练掌握记号的准确使用
3.隐函数由方程或方程组确定:1形式:*;*存在定理2微分法熟练掌握一阶微分的形式不变性:要求:二阶导3注:与的及时代入4会变换方程.三.二元极值定义;
1.二元极值显式或隐式:1必要条件驻点;2充分条件判别
2.条件极值拉格朗日乘数法注:应用1目标函数与约束条件:或:多条件2求解步骤:求驻点即可.
3.有界闭域上最值重点.12实例:距离问题四.二重积分计算:
1.概念与性质“积”前工作:12对称性熟练掌握:*域轴对称;*奇偶对称;*字母轮换对称;*重心坐标;3“分块”积分:*;*分片定义;*奇偶
2.计算化二次积分:1直角坐标与极坐标选择转换:以“”为主;2交换积分次序熟练掌握.
3.极坐标使用转换:附:;;双纽线
4.特例:1单变量:或2利用重心求积分:要求:题型且已知的面积与重心
5.无界域上的反常二重积分数三五:一类积分的应用:
1.“尺寸”:1;2曲面面积除柱体侧面;
2.质量重心形心转动惯量;
3.为三重积分格林公式曲面投影作准备.第六讲:无穷级数数一三一.级数概念
1.定义:12;3如注:1;2或;3“伸缩”级数:收敛收敛.
2.性质:1收敛的必要条件:;2加括号后发散则原级数必发散交错级数的讨论;3;二.正项级数
1.正项级数:1定义:;2特征:;3收敛有界
2.标准级数:
1233.审敛方法:注:1比较法原理:估计如;2比值与根值:**应用:幂级数收敛半径计算三.交错级数含一般项:
1.“审”前考察:12;3绝对条件收敛注:若则发散
2.标准级数:1;2;
33.莱布尼兹审敛法收敛1前提:发散;2条件:;3结论:条件收敛.
4.补充方法:1加括号后发散则原级数必发散;
2.
5.注意事项:对比;;;之间的敛散关系四.幂级数:
1.常见形式:
1232.阿贝尔定理:1结论:敛;散2注:当条件收敛时
3.收敛半径区间收敛域求和前的准备注1与同收敛半径2与之间的转换
4.幂级数展开法:1前提:熟记公式双向标明敛域;;2分解:注:中心移动特别:3考察导函数:4考察原函数:
5.幂级数求和法注:*先求收敛域*变量替换:12注意首项变化34的微分方程5应用:.
6.方程的幂级数解法
7.经济应用数三:1复利:;2现值:五.傅里叶级数数一:
1.傅氏级数三角级数:
2.充分条件收敛定理:1由和函数
23.系数公式:
4.题型:注:1且分段表示2或3正弦或余弦*4*
5.
6.附产品:第七讲:向量偏导应用与方向导数一一.向量基本运算
1.;平行
2.;单位向量方向余弦
3.;投影:;垂直:;夹角:
4.;法向:;面积:二.平面与直线
1.平面1特征基本量:2方程点法式:3其它:*截距式;*三点式
2.直线1特征基本量:2方程点向式:3一般方程交面式:4其它:*二点式;*参数式;附:线段的参数表示:
3.实用方法:1平面束方程:2距离公式:如点到平面的距离3对称问题;4投影问题.三.曲面与空间曲线准备
1.曲面1形式:或;注:柱面2法向或
2.曲线1形式或;2切向:或
3.应用1交线投影柱面与投影曲线;2旋转面计算:参式曲线绕坐标轴旋转;3锥面计算.四.常用二次曲面
1.圆柱面:
2.球面:变形:
3.锥面:变形:
4.抛物面:变形:
5.双曲面:
6.马鞍面:或五.偏导几何应用
1.曲面1法向:注:2切平面与法线:
2.曲线1切向:2切线与法平面
3.综合:六.方向导与梯度重点
1.方向导方向斜率:1定义条件:2计算充分条件:可微:附:3附:
2.梯度取得最大斜率值的方向:1计算:;2结论;取为最大变化率方向;为最大方向导数值.第八讲:三重积分与线面积分数一一.三重积分
1.域的特征不涉及复杂空间域:1对称性重点:含:关于坐标面;关于变量;关于重心2投影法:3截面法:4其它:长方体四面体椭球
2.的特征:1单变量
2343.选择最适合方法:1“积”前:*;*利用对称性重点2截面法旋转体:细腰或中空3投影法直柱体:4球坐标球或锥体:5重心法:
4.应用问题:1同第一类积分:质量质心转动惯量引力2公式二.第一类线积分
1.“积”前准备:1;2对称性;3代入“”表达式
2.计算公式:
3.补充说明:1重心法:;2与第二类互换:
4.应用范围1第一类积分2柱体侧面积三.第一类面积分
1.“积”前工作重点:1;代入2对称性如:字母轮换重心3分片
2.计算公式:12与第二类互换:四:第二类曲线积分1:其中有向
1.直接计算:常见1水平线与垂直线;
22.Green公式:1;2:*换路径;*围路径3但内有奇点变形
3.推广路径无关性:1微分方程道路变形原理2与路径无关待定:微分方程.
4.应用功环流量:有向五.第二类曲面积分:
1.定义:或其中含侧
2.计算:1定向投影单项:其中特别:水平面;注:垂直侧面双层分隔2合一投影多项单层:3化第一类不投影:
3.公式及其应用:1散度计算:2公式:封闭外侧内无奇点3注:*补充“盖”平面:;*封闭曲面变形含奇点
4.通量与积分:有向六:第二类曲线积分2:
1.参数式曲线:直接计算代入注1当时可任选路径;2功环流量:
2.Stokes公式:要求:为交面式有向所张曲面含侧1旋度计算:2交面式一般含平面封闭曲线:同侧法向或;3Stokes公式选择:化为;化为;化为PAGE16。