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新东方在线[www.koolearn.com]2010考研数学网络课堂电子教材系列高等数学2010考研数学冲刺班高等数学讲义主讲汪诚义欢迎使用新东方在线电子教材第一章函数、极限、连续§
1.1函数
一、有关四种性质奇偶性、单调性、周期性、有界性
1.口诀1奇偶函数常遇到;对称性质不可忘
2.在ab内,若,则单调增加若,则单调减少口诀2单调增加与减少;先算导数正与负例1求解是奇函数,∵是奇函数,∵因此是奇函数于是例2设,则下列结论正确的是A若为奇函数,则为偶函数B若为偶函数,则为奇函数C若为周期函数,则为周期函数D若为单调函数,则为单调函数解B不成立,反例C不成立,反例D不成立,反例A成立证明为奇函数,所以,为偶函数例3设,是恒大于零的可导函数,且,则当时,下列结论成立的是ABCD解∵,∴单调减少于是xb,则有,故A成立
二、有关复合函数
1.已知,求
2.已知和,求例
1、已知和求解例
2、已知,且,求解令,则,因此于是,§
1.2极限
一、有关无穷小量
1.有界变量乘无穷小量仍是无穷小量;
2.等价无穷小代换;
3.无穷小的阶的比较例1求解原式例2设当x→0时1-cosxln1+x2是比xsinxn高阶的无穷小,而xsinxn是比高阶的无穷小,则正整数n等于A1B2C3D4解由题意可知,4n+12,∴n+1=3n=2选B例3设,则当x→0时,是的A高阶无穷小B低阶无穷小C同阶但不等价的无穷小D等价无穷小解选C
二、有关两个准则准则1单调有界数列极限一定存在准则2夹逼定理例1设,,证明存在,并求其值解∵,∴几何平均值≤算术平均值用数学归纳法可知n1时,,∴有界又当n1时,∴,则单调增加根据准则1,存在把两边取极限,得舍去得,∴口诀3递推数列求极限;单调有界要先证;两边极限一起上;方程之中把值找例2求解令,则0xnyn,于是由夹逼定理可知,于是原极限为0
三、有关两个重要公式公式
1、公式
2、例1求解当x=0时,原式=1当x≠0时,原式===∵例2设在内可导,且,,求c的值解则拉格朗日中值定理,有其中ξ介于x-1与x之间,那么于是,e2c=e2c=1,则口诀4函数之差化导数;拉氏定理显神通
四、用洛必达法则求极限洛必达法则主要处理七种待定型极限“”型,“”型,“0·∞”型,“∞-∞”型,“1∞”型,“00”型和“∞0”型口诀5待定极限七类型,分层处理洛必达第一层次直接用洛必达法则“”型用洛必达法则Ⅰ“”型用洛必达法则Ⅱ第二层次间接用洛必达法则“0·∞”型例变为“”型“∞-∞”型例变为“”型第三层次间接再间接用洛必达法则“1∞”型,“00”型,“∞0”型均为形式而称为冪指函数,比较复杂口诀6冪指函数最复杂;指数、对数一起上而上面三种类型化为这时一定是“0·∞”型再用第二层次的方法处理即可例例1求解原式=======例2设函数连续,且,求解原式=分母令=用积分中值定理=ξ在0和x之间=.口诀7变限积分是函数;遇到之后先求导公式当连续时例3高a0b0常数,求解先考虑它是“”型令因此,于是,口诀8离散数列“洛必达”;先要转化连续型
五、求分段函数的极限例求解∴口诀9分段函数分段点;左右运算要先行六用导数定义求极限例设曲线与在原点相切,求解由题设可知,于是七用定积分定义求极限公式连续例1求分析如果还想用夹逼定理中方法来考虑而,由此可见,无法再用夹逼定理,因此我们改用定积分定义来考虑解=例2求解∵而由夹逼定理可知,口诀10数列极限逢绝境;转化积分见光明
八、求极限的反问题例1设,求a和b.解由题设可知,∴1+a+b=0再对极限用洛必达法则例
2、设在0,+∞内可导,0,且满足,求解先用冪指函数处理方法再用导数定义取,于是这样所以再由,可知C=1,则§
1.3连续
一、连续与间断例1设,在内有定义,为连续,且,有间断点,则下列函数中必有间断点为ABCD解A,B,C不成立可用反例,D成立可用反证法假若不然没有间断点,那么为两个连续函数乘积,一定连续故矛盾,所以一定有间断点例2求的间断点,并判别其类型解,考虑∴()可见为间断点,是可去间断点,其它皆为第二类间断点
二、闭区间上连续函数的性质(重点为介值定理及其推论)例1设在上连续,且,,证明存在,使得证令,则在上连续,,根据介值定理推论,存在使,即证例2设在上连续,且,求证存在,使证∵在上连续,故有最大值M和最小值m,于是根据介值定理,存在使∴.口诀
(11)函数为零欲论证;介值定理定乾坤第二章一元函数微分学§
2.1导数与微分
一、可导性与连续性例设,问a和b为何值时,可导,且求解∵x>1时,x<1时,.∴由处连续性,,,可知再由处可导性,存在存在且根据洛必达法则∴于是.
二、导数与微分的运算法则和计算公式(要求非常熟练地运用,具体例题可看参考书)
三、切线和法线方程例1已知曲线的极坐标方程,求曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程解曲线的参数方程为故切线方程即法线方程即例2设为周期是5的连续函数,在邻域内恒有其中,在处可导,求曲线在点()处的切线方程解由题设可知,,故切线方程为所以关键是求出和由连续性由所给条件可知,∴再由条件可知令,,又∵∴上式左边则所求切线方程为即
四、高阶导数
1.求二阶导数例
1、设,求解例2设由方程所确定,求解,得
2.求n阶导数例1设,求n正整数解先用多项式除法,得,然后把真分式再化为最简公式令令令口诀
(12)有理函数要运算;最简分式要先行例2设(n为正整数)解口诀
(13)高次三角要运算;降次处理先开路〔注〕有时求可以通过幂级数的系数公式反过来来计算,这就需要掌握把函数展成幂级数的有关技巧,数学一和数学三在无穷级数中有专门讨论§
2.2微分中值定理
1、罗尔定理罗尔定理设在上连续,内可导,且=,则存在使口诀
(14)导数为零欲论证;罗尔定理负重任在考研考题中,经常要作辅助函数,而对用罗尔定理,从而得出的有关结论,为此,我们引进两个模型及有关例题
1.模型Ⅰ设在上连续,内可导,且,是内的连续函数,则存在,使成立证令,其中于是在上连续,在内可导,根据罗尔定理,存在使而因此例1设在上连续,在内可导,,,试证
(1)存在,使;
(2)存在,使(为任意实数)证1令,显然,在上连续又,根据介值定理推论存在,使,即
(2)令相当于模型Ⅰ中,)∵在上用罗尔定理,存在,使即从而口诀
(15)导数、函数合为零;辅助函数用罗尔
2.模型Ⅱ设,在上连续,内可导,且,,则存在,使证令,则,在上用罗尔定理,存在,使,即 例2设在上连续,内可导,,k为正整数,求证存在,使得证取a=0b=1,令,用模型Ⅱ,存在,使得故
3.例3设设在上连续,内可导,对任意k>1,有,求证存在,使证由定积分中值定理可知存在,使得令,可知对在上用罗尔定理,存在,使,而从中消去因子,得
4.例4设在上连续,,求证存在,,,使证令则又如果在内不变号,由于连续性,积分不为0,故在内一定有正有负,故存在使,而,于是分别在和上对用罗尔定理则存在,,使和,即
2、拉格朗日中值定理和柯西中值定理
1.拉格朗日中值定理设在上连续,内可导,则存在,使,即口诀
(4)函数之差化导数;拉氏定理显神通
2.柯西中值定理设,在上皆连续,在内皆可导,且,则存在,使例1设在上连续,内可导,且证明存在使证考虑柯西中值定理最后一步是把分子用拉格朗日中值定理再把欲证的结论变形,两式比较,看出令即可类似地,欲证,则取即可例
2.已知在上连续,在内可导,且,,证明(Ⅰ)存在,使得(Ⅱ)存在两个不同,,使得证(Ⅰ)令,则在上连续,又有,根据介值定理,所以存在,使得即(Ⅱ)根据拉格朗日中值定理,存在,使得,,从而在上面两个例子中,都是寻找的问题,但所用方法完全不同,我们可以用两个口诀来加以区别口诀
(16)寻找无约束,柯西、拉氏先后上口诀
(17)寻找有约束,两个区间用拉氏
3、泰勒定理设在包含的区间内有n+1阶导数,在上有n阶连续导数,则对,存在在与之间,有公式(称为拉格朗日余项形式的泰勒公式)例设在上具有三阶连续导数,且求证,使证麦克劳林公式其中,介于0与之间,后式减前式,得上连续,设其最大值为M,最小值为m则再由介值定理,使§
2.3导数的应用
1、不等式的证明例1求证当时,证令,只需证明时,,易知由于的符号不易判别,再求导得再考虑可见当时,;单调减少,当时,,单调增加,是的最小值,由于,单调增加,而,时,,则单调减少,时,,单调增加,于是,例2设,求证证令则于是可知在时单调增加,又时,这样单调增加,因此,时,,得证口诀
(18)数字不等式难证,函数不等式先行
2、极值与拐点例1设有二阶导数,满足求证当时,为极小值证
(1)情形故为极小值
(2)情形这时方程条件用代入不行,无法得出上面的方式存在连续,(用洛必达法则)(再用洛必达法则)是极小值例2设,则(A)是的极值点,但不是曲线的拐点(B)不是的极值点,但是曲线的拐点(C)是的极值点,且是曲线的拐点(D)不是的极值点,也不是曲线的拐点解在0的两侧异号,故0是的极值点又点两侧,凸凹性不同(两侧异号)所以是曲线的拐点,应选C例3设的导数在处连续,又,则()(A)是的极小值点(B)是的极大值点(C)是曲线的拐点(D)不是极值点,也不是曲线的拐点分析题目只设在a点连续,无法考虑a点两侧二阶导数故(C)D不行又由可知存在和内当时,则当时,则故是的极大值点,应选B上面用极值第一充分条件来判断,也可以用第二充分条件来判断由可知根据在处连续,则于是根据极值第二充分条件则知为极大值故是的极大值点
3、最大值和最小值的应用题
1.数学一和数学二要考物理、力学方面内容
2.数学三要考经济方面内容,我们这里不再统一讨论第三章一元函数积分学§
3.1积分的概念与计算
1、一般方法例1设的一个原函数解例2设,当时,,,求解而,因此则例3设,求解一令则解二令则.例4设连续函数满足求解令,两边从1到e进行积分,得于是则例5设连续,且解变上限积分的被积函数中出现上限变量必须先处理令,则代入条件方程后,两边对求导,得即令代入,化简后得
2、递推方法例1设
(1)求证当
(2)求解
(1)
(2),当,正偶数时,当,正奇数时,例2设,求证证令则例3设求证解
3、反常积分例1计算解(这里)于是例2设
(1)求证(n为正整数);
(2)求解
(1)
(2).§
3.2有关变上(下)限积分和积分证明题
1、有关变上(下)限积分基本公式1设,f连续则2设,f连续,可导则口诀
(7)变限积分是函数;遇到之后先求导例1设(a为常数)求解例2设在内可导,,对所有,均有,求解把所给方程两边求x求导,把代入,得再两边对t求导,得于是则,令代入得例3设在内可导,,反函数为,且,求解方程两边对x求导得于是,故,由,得则口诀
(19)正反函数连续用;最后只留原变量
二、积分证明题例1设,在上连续,且试证存在使.证一令在上满足柯西中值定理有关条件,故存在,使即.证二令令在上连续,在内可导,且根据罗尔定理,存在,使则即例2设,在上的导数连续,且证明对任何有.证法设.则在上的导数连续,并且由于时,,因此,即在上单调递减注意到,而考试之星网www.kaoshistar.com,故因此时,,由此可得对任何有§
3.3定积分的应用
一、几何方面例1设在上连续,在内,证明,且惟一,使得,所围面积是所围面积的三倍证令由连续函数介值定理的推论可知,使再由,可知的单调增加性,则惟一例2设在上为任一非负连续函数1试证,使上以为高的矩形面积等于上以为曲边的曲边梯形面积;2又设在内可导,且,证明
(1)中惟一1证设,则,且,对在上用罗尔定理,使,即证毕2证令,当时,(由
(2)的已知条件)因此在内,单调减少,是惟一的例3设是由抛物线和直线及所围成的平面区域;是由抛物线和直线所围成的平面区域,其中1试求绕轴旋转而成的旋转体体积绕轴而成的旋转体体积(如图);2问当a为何值时,取得最大值?试求此最大值.解
(1)或
(2)由得区间内的惟一驻点又,因此是极大值点,也是最大值点此时的最大值为
二、物理、力学方面的应用(数学一和数学二)
三、经济方面的应用(数学三)第四章多元函数微分学§
4.1偏导数与全微分
1、几个关系连续存在例存在是连续的()条件(A)充分(B)必要(C)充分必要(D)无关解从上面的关系中可以看出应选D
2、多元复合与隐函数的微分法
1.多元复合函数微分法——锁链公式模型Ⅰ设则模型Ⅱ设则模型Ⅲ设则其它各种模型,可类似地讨论口诀20多元复合求偏导;锁链公式不可忘
2.隐函数微分法设确定若连续,且,则口诀21多元隐函求偏导;交叉偏导加负号例1设有连续的一阶偏导数,又函数及分别由下列两式确定和,求解由两边对求导,得解出分子和分母消去公因子由两边对求导,得解出所以.例2设有连续偏导数,由方程所确定,求解一令得,,则用隐函数求导公式得于是解二在两边求微分得解出代入合并化简也得.例3设具有二阶连续偏导数,且满足,又,求解,,则.于是而把这两个式子,代入上面就得同理,所以∵∴例4设,求解对的两边求全微分,得,,〔注〕例4的技巧在于如果先求出是的函数,比较复杂,这时再偏导数就繁现在这样先用微分的方法得出它们作为的函数是线性函数,因此很容易求出有关的偏导数§
4.2多元函数的极值
1、二元函数的普通极值例1求函数的极值解要求,得故知,由此解得三个驻点又在点处,,又是极小值点极小值在点处,,,也是极小值点极小值在点,,不能判定,这时取其中为充分小的正数则而取时,由此可见不是极值点例2设是由确定的函数,求的极值点和极值解因为,每一项对求导,看作的函数,得,1每一项对求导,看作的函数,得2令得故将上式代入可得或把1的每一项再对求导,和看作的函数得把1的每一项再对求导,和看作的函数得把2的每一项再对求导,和看作的函数得,所以,,,故,又,从而点9,3是的极小值点,极小值为类似地,由,,,可知,又,所以点-9,-3是的极大值点,极大值为
2、条件极值问题例1在椭球面第一象限上P点处作切平面,使与这三个坐标平面所围四面体的体积最小,求P点坐标解设P点坐标,则椭球面在P点的切平面的法向量为切平面即X轴截距y轴截距z轴截距所以四面体的体积约束条件用拉格朗日乘子法,令1234用x乘1+y乘2+z乘3得则5将5分别找代入1,2,3得所以P点坐标为而最小体积例2求坐标原点到曲线的最短距离解设曲线C上点到坐标原点的距离为d,令,约束条件,用拉格朗日乘子法,令12345首先,由1,2可见,如果取,则,由3可知,再由4,5得解得这样得到两个驻点其次,如果取,由3得,再由12得这样4成为,是矛盾的,所以这种情形设有驻点最后,讨论情形,由1,2,3可得代入4,5消去得此方程无解,所以这种情形也没有驻点综合上面讨论,可知只有两个驻点,它们到坐标原点的距离都等于1,由实际问题一定有最短距离,所以最短距离为1例3已知函数的全微分,并且,求在椭圆域上的最大值和最小值解一由,可知,再由,得,故令,解得驻点在椭圆上,,即其最大值为,最小值为,再与比较,可知在椭圆域D上的最大值为3,最小值为-2解二同解一,得驻点用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆上的极值设令解得4个可能的极值点又再与比较,得在D上的最大值为3,最小值为-2第五章二重积分
一、二重积分的计算口诀22二重积分的计算;累次积分是关键例1计算,其中D由和轴所围区域解如果那么先对求原函数就不行,故考虑另一种顺序的累次积分这时先对x积分,当作常数处理就可以了原式例2计算.解原式例3求D:解一对称性.解二由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知原式.
二、交换积分的顺序例1交换的积分顺序解原式其中D由和以及所围的区域.由解出解出因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三个小区域得原式例2设连续,证明证明交换积分次序令,则则
三、证明题例1证明证例2设在上连续,试证.证则但故口诀23定积分化重积分;广阔天地有作为第六章常微分方程§
6.1一阶微分方程
一、规定类型的微分方程求解略
二、常用的处理技巧
1、变量替换例求微分方程的通解解令,原方程化为化简为再令,则方程化为化简为
2.化为反函数的微分方程例求微分方程的通解解此题不是一阶线性方程,但把x看作未知函数,y看作自变量,所得微分方程即是一阶线性方程,求通解得
3.求导处理后得规定类型的微分方程例1设连续,,求解两边对x求导,得为一阶线性方程,从而容易求解例2设,其中在内满足以下条件,且1求所满足的一阶微分方程2求出的表达式解1由可知所满足的一阶微分方程为2将代入,可知于是口诀24微分方程欲规范;变换,求导,函数反
三、应用例求通过的曲线方程,使曲线上任意点处切线与y轴之交点与切点的距离等于此交点与原点的距离解设曲线上任意一点,则其切线方程为,故切线与y轴交点A的坐标为,由题意所以,这样,令解得,即则.§
6.2特殊的高阶微分方程
一、规定类型微分方程的求解略
二、常用的处理技巧
1.变量替换例求微分方程的通解解这是二阶非常系数线性方程,不是规定类型令,则,这样,原方程变为是规定类型二阶常系数线性非齐次方程解出于是
2.化为反函数的微分方程例在内二阶可导,为反函数1试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程;2求变换后的微分方程满足初始条件的解解1由反函数导数公式知即上式两端关于x求导,得所以代入原微分方程得*
(2)方程*所对应的齐次线性方程的通解为设方程*的特解为代入方程*求得,故,从而的通解是由,得,故所初值问题的解为
3.求导后化为规定类型的微分方程例设,连续,求解由表达式可知是可导的,两边对x求导,则得这里再分别求导再对两边关于x求导,得即属于常系数二阶非齐次线性方程对应齐次方程通解非齐次方程特解设代入方程求出系数则得故的一般表达式由条件和导数表达式可知可确定出因此
4.线性方程的性质与结构例已知是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解,求此微分方程及其通解解由线性微分方程的解的结构定理可得,是该方程对应的齐次方程的解,由解与的形式,可得齐次方程为设该方程为,代入,得所以,该方程为其通解为.[注]数学二到这里全部结束第七章无穷级数数学一和数学三§
7.1数项级数例1若级数收敛,则收敛,收敛,收敛,证1收敛∴,取,存在N,当时,,于是再用比较判别法由收敛可知收敛.2几何平均值算术平均值.已知收敛,收敛,故收敛再用比较判别法,可知收敛.3∵已知收敛,用比较判别法可知收敛例2正项数列单调减少,且发散,问是否收敛?并说明理由解∵又单调减少,∴存在,如果,根据莱布尼兹判别法可知收敛,与假设矛盾,,这样,由等比级数收敛和比较判别法可知收敛例3设.1求的值2证明对任意正常数,收敛证12∵,收敛,由比较判别法可知收敛[注]数学三的考生对上面例2,例3的要求不高,可以只作参考,它们都是数学一的历年考题§
7.2幂级数这部分的重点和难点是求幂级数的和函数,它的基本方法有三个
1.将的公式,反过来作为幂级数求和公式例求幂极数的和函数解原式
2.通过逐项求导和逐项积分的方法化为等比级数,求出和函数后再反回去例1例2求的和函数解令可知则于是例1和例2是这方法最容易理解的原理,其它比较复杂的例子可以类似地处理,这种方法是历年考试中用得最多的方法例3求下列幂级数的和函数12解1可求出收敛半径,故收敛域为2可求出收敛半径,故收敛域为而因此,例4设满足n为正整数,且,求函数项级数之和解解一组微分方程可得通解由初始条件,得故从而,令而在内,故于是又因此,在时,都有
3.列出幂级数和函数的微分方程从而解之例设级数的和函数为,求1所满足的一阶微分方程;2的表达式解1得因此,是初值问题的解2为一阶线性非齐次方程,它的通解.由初始条件,求出,故于是〔注〕事实上这个考题如果不是规定列微分方程的方法来求解,也可以把第一种方法中的例作适当处理来求和函数§
7.3函数展开成幂级数
一、将展成的幂级数的方法
1.套公式的方法,其中例ⅰⅱ,ⅲ,为实常数
2. 逐项求导的方法例ⅰ, ⅱ,
3. 变量替换的方法例ⅰ, , ⅱ,
4. 逐项积分的方法例ⅰ , 由此可得, ⅱ 由此可得
5. 其它方法例1 ⅰ ⅱ , , 例2 将函数展开成的幂级数,并求级数的和解 因为 , 又,所以 ,因为级数收敛,函数在处连续,所以 , 令,得,再由,得
二、将展成幂级数的方法例1 将展开成的幂级数,并指出其收敛区间(此题为2007年数学三的一个考题)解 因为要求 , 所以 收敛半径为2, 故收敛区间为例2 , , 因此 , 例3 ∴ 例4 (数学三到此结束)zuvxyuxzxyyuxzxyuvxyPAGE6。