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论数学史上的三次危机提到数学,我有一种感觉,数学是自然中最基础的学科,它是所有科学之父,没有数学,就不可能有其他科学的产生就人类发展史而言,数学在其中起的作用是巨大的,难怪有人说数学是人类科学中最美的科学但在数学的发展史中,并不是那么一帆风顺的,其中历史上曾发生过三大危机,危机的发生促使了数学本生的发展,因此我们应该辨证地看待这三大危机人类数学史上出现过三次“危机”,这实际上是数学发展中三次伟大的突破,都是人们认识领域中的变革性发展,都是人们头脑中数学认识结构的转换第一次数学危机使数系扩展了,万物皆数的整数算术观念被动摇了,世界上竟存在着不能用整数表示的、不可通约的非比实数,被认为是“异物”的东西,成了新体系中合理的“存在物”第二次数学危机是方法论的领域扩大了,确立了一种崭新的“分析方法”“分析”的结果与“运算”或“证明”的结果有着同等程度的确定性第二次数学危机先后沿续一百多年,无非是为“分析”结果的确定性寻找基础,寻求证明和建立“分析”的步骤程序这在数学发展史上被称之为“分析中注入严密性”第三次数学危机是人的认知领域扩展到无穷,扩大了人们的思维方式,通过对一系列悖论的研究,确立了关于无穷运算的规则人类对数的认识经历了一个不断深化的过程,在这一过程中数的概念进行了多次扩充与发展其中无理数的引入在数学上更具有特别重要的意义,它在西方数学史上曾导致了一场大的风波,史称“第一次数学危机”第一次危机发生在公元前580~568年之间的古希腊,数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派这个学派集宗教、科学和哲学于一体,该学派人数固定,知识保密,所有发明创造都归于学派领袖当时人们对有理数的认识还很有限,对于无理数的概念更是一无所知,毕达哥拉斯学派所说的数,原来是指整数,他们不把分数看成一种数,而仅看作两个整数之比,他们错误地认为,宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比该学派的成员希伯索斯根据勾股定理(西方称为毕达哥拉斯定理)通过逻辑推理发现,边长为1的正方形的对角线长度既不是整数,也不是整数的比所能表示希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条,也冲击了当时希腊人的传统见解使当时希腊数学家们深感不安,相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死,这就是第一次数学危机最后,这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决两个几何线段,如果存在一个第三线段能同时量尽它们,就称这两个线段是可通约的,否则称为不可通约的正方形的一边与对角线,就不存在能同时量尽它们的第三线段,因此它们是不可通约的很显然,只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制,所谓的数学危机也就不复存在了我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生,比如说我们现在说的,都无法用来表示,那么我们必须引入新的数来刻画这个问题,这样无理数便产生了,正是有这种思想,当我们将负数开方时,人们引入了虚数i(虚数的产生导致复变函数等学科的产生,并在现代工程技术上得到广泛应用),这使我不得不佩服人类的智慧但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义,因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的
十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论,被称为第二次数学危机从历史或逻辑的观点来看,它的发生也带有必然性第二次次危机的萌芽出现在大约公元前450年,芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾,提出了关于时空的有限与无限的四个悖论“两分法”向着一个目的地运动的物体,首先必须经过路程的中点,然而要经过这点,又必须先经过路程的1/4点……,如此类推以至无穷——结论是无穷是不可穷尽的过程,运动是不可能的“阿基里斯《荷马史诗》中的善跑的英雄追不上乌龟”阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点,因而乌龟必定总是跑在前头这个论点同两分法悖论一样,所不同的是不必把所需通过的路程一再平分“飞矢不动”意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上,因而是静止的,所以箭就不能处于运动状态“操场或游行队伍”A、B两件物体以等速向相反方向运动从静止的c来看,比如说A、B都在1小时内移动了2公里,可是从A看来,则B在1小时内就移动了4公里运动是矛盾的,所以运动是不可能的芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分,因而运动是连续的观点,后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分,因而运动是间断的观点芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景,不一定是专门针对数学的,但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大被它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾,但他们无法解决这些矛盾其后果是,希腊几何证明中从此就排除了无穷小经过许多人多年的努力,终于在17世纪晚期,形成了无穷小演算——微积分这门学科牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者,他们的功绩主要在于把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法;有明确的计算步骤;微分法和积分法互为逆运算由于运算的完整性和应用的广泛性,微积分成为当时解决问题的重要工具同时,关于微积分基础的问题也越来越严重关键问题就是无穷小量究竞是不是零?无穷小及其分析是否合理?由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论,造成了第二次数学危机无穷小量究竟是不是零?两种答案都会导致矛盾牛顿对它曾作过三种不同解释1669年说它是一种常量;1671年又说它是一个趋于零的变量;1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替但是,他始终无法解决上述矛盾莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量,但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁英国大主教贝克莱于1734年写文章,攻击流数导数“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人,是不会因吞食了神学论点就呕吐的”他说,用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误,“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题,不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护,而不是出自对科学的追求和探索当时一些数学家和其他学者,也批判过微积分的一些问题,指出其缺乏必要的逻辑基础例如,罗尔曾说“微积分是巧妙的谬论的汇集”在那个勇于创造时代的初期,科学中逻辑上存在这样那样的问题,并不是个别现象18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的,强调形式的计算而不管基础的可靠其中特别是没有清楚的无穷小概念,从而导数、微分、积分等概念不清楚;无穷大概念不清楚;发散级数求和的任意性等等;符号的不严格使用;不考虑连续性就进行微分,不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等直到19世纪20年代,一些数学家才比较关注于微积分的严格基础从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始,到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束,中间经历了半个多世纪,基本上解决了矛盾,为数学分析奠定了一个严格的基础波尔查诺给出了连续性的正确定义;阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和;柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发,认识到函数不一定要有解析表达式;他抓住极限的概念,指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量,无穷小量是以零为极限的变量;并且定义了导数和积分;狄里赫利给出了函数的现代定义在这些工作的基础上,威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方,给出现在通用的极限的定义,连续的定义,并把导数、积分严格地建立在极限的基础上19世纪70年代初,威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论,而且在实数理论的基础上,建立起极限论的基本定理,从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上第三次数学危机发生在1902年,罗素悖论的产生震撼了整个数学界,号称天衣无缝,绝对正确的数学出现了自相矛盾我从很早以前就读过“理发师悖论”,就是一位理发师给不给自己理发的人理发那么理发师该不该给自己理发呢?还有大家熟悉的“说谎者悖论”,其大体内容是一个克里特人说“所有克里特人说的每一句话都是谎话”试问这句话是真还是假从数学上来说,这就是罗素悖论的一个具体例子罗素在该悖论中所定义的集合R,被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合事实虽是这样但原因却又是什么呢?这是由于R是集合,若R含有自身作为元素,就有RR,那么从集合的角度就有RR一个集合真包含它自己,这样的集合显然是不存在的因为既要R有异于R的元素,又要R与R是相同的,这显然是不可能的因此,任何集合都必须遵循RR的基本原则,否则就是不合法的集合这样看来,罗素悖论中所定义的一切RR的集合,就应该是一切合法集合的集合,也就是所有集合的集合,这就是同类事物包含所有的同类事物,必会引出最大的这类事物归根结底,R也就是包含一切集合的“最大的集合”了因此可以明确了,实质上,罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论从此,数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法,其中之一是把集合论建立在一组公理之上,以回避悖论首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗,他提出七条公理,建立了一种不会产生悖论的集合论,又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进,形成了一个无矛盾的集合论公理系统(即所谓ZF公理系统),这场数学危机到此缓和下来现在,我们通过离散数学的学习,知道集合论主要分为Cantor集合论和Axiomatic集合论,集合是先定义了全集I,空集,在经过一系列一元和二元运算而得来得而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论,使现代数学得以发展我们应该怎样看待这三次数学危机呢?我认为数学危机给数学发展带来了新的动力在这场危机中集合论得到较快的发展,数学基础的进步更快,数理逻辑也更加成熟然而,矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现,而且今后仍然会这样就拿悖论的出现来说,从某种意义上并不是什么坏事,它预示着更新的创造和光明,推进了科学的进程,我们应用辨证的观点去看待他通过数学的发展史和这三次数学危机,我越来越感到M克莱因教授著的一本书,是关于确定性的丧失,其中书中说道:数学需要绝对的确定性来证实自身吗?特别是,我们有必要确保某一理论是相容的或确保其在使用之前是通过非经验论时期绝对可靠的直觉得到的吗?在其他科学中,我们并没要求这样做在物理学中所有的定理都是假设的,一个定理,只要能够作出有用的预告我们就采用它而一旦它不再适用,我们就修改或丢弃它过去,我们常这样对待数学定理,那时矛盾的发现将导致数学原则的变更,尽管这些数学原则在矛盾发现前还是为人们所接受的因此我们看问题的观念应该改变一下,数学是不确定性的不管数学以后向何处发展,但就数学仍然是可用的最好知识的典范数学的成就是人类思想的成就,作为人类可以达到何种成就的证据,它给予人类勇气和信心,去解决那些一度看上去不可测知的宇宙秘密,去制服那些人类易于感染的致命疾病,去质疑去改善那些人们生活中的政治体系,因此我们说数学在这个大自然中是无处不在的,数学在人类发展中的作用也是不可估量的。